2022北大强基凸四边形内切圆心轨迹探求与推广应用

<正>我们知道两组对边长度之和相等的凸四边形一定存在内切圆，在刚结束的2022年北大强基测试中就出现了关于凸四边形内切圆的问题.笔者在探求该问题的过程中发现了四边长度确定时内切圆心轨迹的变化规律，并将此结论推广到了更一般情形，然后应用该结论得到了一个关于圆外切四边形面积的简洁公式，也为2021年中国数学奥林匹克(CMO)试题中涉及凸四边形内切圆的问题提供了一种新的证明方法，现整理如下，以飨读者.     

中位四边形面积定理的推广

《数学通报》1992年第9期“中位四边形面积定理”一文,给出了凸四边形的中位四边形面积为(1/(2n+1))S(其中n是一组对边的等分数,S是凸四边形的面积)。本文给出这个定理的更一般情形,并由此得出另一个有趣的结论。     

探析四边形的一个不等式

在初中数学中,四边形是一个知识重点,在四边形中对于四边形变成和面积的考察越来越成为中考的重点,根据四边形的各个边长之间的性质,本次研究针对四边形中的不等式来进行研究和分析,通过四边形的性质和不等式的性质,在不等式和四边形的考试中建立考点,找到知识的重点,有针对性地对此类问题进行解决.     

边长确定的四边形面积最大值定理

《数学通报》2009年第11期有如下一个数学问题：1817四边之长分别为定值的凸四边形的两对角线互相垂直,求此四边形面积的最大值．     

论边长确定的四边形面积最大值定理

《数学通报》2009年第11期有如下一个数学问题： 题目 四边之长分别为定值的凸四边形的两对角线互相垂直，求此四边形面积的最大值．     

凸四边形又一性质的证明与应用

凸四边形具有这样一个性质：任意凸四边形被两条对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等。     

四边形对角线的另一个性质

<正>我们已经在教材中学过平行四边形对角线的性质.本文介绍一般四边形对角线的另一个性质,并利用其解决初中数学竞赛中的一些与面积有关的问题.一般四边形对角线性质:     

关于四边形内接矩形问题

近几年数学竞赛中常涉及的一个问题是: 设ABCD为凸四边形,是否存在矩形A_1B_1C_1D_1,使得顶点A_1、B_1C_1、D_1分别在边AB、BC、CD、DA上(但不在顶点)? 结论1 若凸四边形任一组对边所成的角大于或等于90°,则必不存在内接矩形. 结论2 在四边形ABCD中,如果∠DAC≥90°且∠DBC≥90°,则必不存在内接矩形. 以上是两个必要条件.还获得了若干充分条件: 结论3 对角线互相垂直的四边形,存     

面积的一个重要性质及其应用

凸四边形中有一个关于面积的重要性质:四边形一条对角线上任一点与另两个顶点的连线把四边形分为四个小三角形,其中对顶的两个三角形的面积之积相等。如图1,设这四个小三角形的面积为     

1991中国数学奥林匹克试题及其主要部分解答

1991中国数学奥林匹克试题一、平面上有一个凸四边形ABCD. (1)如果平面上存在一点P,使得△ABP,△BCP,△CDP和△DAP的面积都相等,问四边形ABCD要满足什么条件     

一面积问题的多种解法

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛第14题是一道涉及四边形面积的问题．计算一般四边形的面积，直接算并不好算，往往要归结为三角形或其他规则图形的面积来做．下面从多个方面人手，解决这道面积问题．     

初中数学二次函数动点问题解题方法探究

初中数学二次函数动点问题主要涉及与角、三角形、四边形相关的问题,求解此类问题,需要依据二次函数性质,判定是单动点还是双动点,找出变量与不变量,作图并分类讨论,综合运用多种数学思想方法,有效求解.     

有关圆内接四边形的两个新结论

给出圆内接四边形一个新的性质定理和判定一个凸四边形是圆内接四边形的充要条件.     

解析平面几何图形的面积

涉及到阴影部分面积的内容比较广泛,有规则的图形和不规则的图形,常将问题转化到三角形、圆、特殊四边形中,应用相关面积公式求解,有时要综合考虑问题,将不规则图形转化到规则图形中求解.这类数学问题在近年的中考中频频出现,现撷取几例,以飨读者.     

平面四边形的解析研究

该文首开运用射影变换和矩阵研究四边形绝对值方程的先例,得到了平面凸四边形和凹四边形的绝对值方程,并给出了凸四边形和凹四边形的判定法则、面积公式,讨论了四边形的全等和相似及众多特殊四边形的解析特征.     

俄罗斯萨温竞赛题选(五)

在历年的萨温数学竞赛题中,有不少涉及了图形面积.它们都要求证明所给的面积是否相等,证法也千变万化.现介绍几例:1.在任意凸四边形ABCD中取各边的中点,并与它相对的一个顶点连结,如图1所示.那么所围成的中央四边形面积与周围那4个阴影三角形的面积总和相等吗?2.在等边三角形内任意取一点,该点与3个顶点连线,又从该点向3条边作出垂线,如图2所示.这样图中的3个阴影三角形的面积总和与余下的3个三角形的面积总和相等吗?3.过正方形内某一点,先作出两条与正方形边平行的直线,再作两条与正方形对角线平行的直线,把正方形分割成8块,如图3所示.图…     

初中数学圆的内接四边形问题解法探究

<正>作为一个几何概念,圆内接四边形是指四个顶点均在同一个圆上的四边形．圆内接四边形的几何性质较多,能够在数学几何问题求解中进行运用．本文以初中数学中圆的内接四边形问题的解法为例,对圆内接四边形相关性质进行分析．一、探究圆的内接四边形对角互补为提高同学们的解题能力,更好地理解圆的内接四边形对角互补的性质,同学们可通过如下例题巩固认知．     

任意凸四边形的一个面积公式

设凸四边形的一组对边中点连线为a.另一组对边中任一边中点到a的距离为h.则凸四边形面积.     

问题5.1解法

题目如图1,把一个任意凸四边形ABCD的一组对边分别3等分,连结对边分点,将四边形分为3块,试判断中间一块的面积是整个面积的几分之几,请说明理由. 结论四边形几了MGHN的面积是四边形ABCD 证明分别连结AG、GN、NC、AC.     

谈直线均分多边形面积

文[1]对过四边形边上任意一点作直线等分已知四边形面积的问题进行了讨论;文[2]从合理选择顶点,通过降边转化成等面积的凸四边形的角度