解后反思明方法 基本图形巧利用

K型图是初中数学重要的基本图形(数学模型)之一,也是中考常见的考点.当遇到构造一个角等于已知定角问题,其中定角的顶点在一条已知直线上时,我们可以借助K型图来解决.下面谈谈如何利用K型图巧妙构造定角,再由定角模型解决相关问题.     

新型a±kb型线段和最大值问题

<正>在定角对定边问题中,我们探讨了夹定角的两边之和最大值问题,记为a+b型.如果将其拓展为a±kb(常数k>0)型线段和最大值问题,发现这不同于阿氏圆和胡不归问题,是一种新型加权线段和最值问题.解决策略是转化为原型a+b线段和最大值问题,下面分享探究结果.思路:由于三角形定角对定边模型中,定角顶点在这个三角形外接圆上,所以构造相应三角形外接圆是关键,为利用圆的有关性质创造条件.     

初中常见的动点轨迹问题归纳与突破策略

动点轨迹问题对于初中生来说既是重点也是难点.文章归纳出初中常见的两大类动点轨迹类型——圆弧型和直线型.列举具体实例对学生比较困惑的两种动点轨迹问题(即"定边对定角"的动点轨迹和动点与定点的连线与定直线的夹角为定角的动点轨迹)进行分析讲解:题目中如能找到定边对定角,则该动点的运动轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧上,这一类型关键的突破口是求出定边对面角的具体度数,为定值.而题目中如出现动点与定点的连线与定直线的夹角为定角时,则该动点的轨迹为直线型(这个夹角的另一边),解决这一类型的方法为夹角定位法.     

转化思想在“定角定周”三角形中的运用

<正>在初中阶段的数学学习过程中,转化思想是最重要的思想方法之一,也是数学学习中的基本思想.通过转化思想,我们可以将不熟悉的复杂的问题转化为熟悉的简单的问题来解决.本文通过转化的思想策略,来破解"定角定周"三角形的求解方法,以期让学生了解此类"定角定周"三角形问题的解题技巧,同时也更深刻地体会到转化思想在解题过程中的精妙之处.一、"定角定周"三角形定义如图1,在△ABC中,△ABC的周长为定值,其中一个角∠A为定角,     

深度挖掘素材 提升核心素养——“K”型图多彩解法赏析

<正>"K"型图是初中几何中的重要模型,在研究直角、特殊角,全等三角形等方面都发挥着重要的作用,也是中考复习阶段教师必讲的知识点.但是,学生对"K"型图的理解时常停留在表面,缺乏对其本质属性的深层认识,特别是对"K"型图的构造和运用能力较为薄弱.本文以一道作业题为例,构造"K"型图来深度挖掘素材,提升学生数学核心素养.     

定弦定角在解题中的运用

<正>定弦定角模型在近些年各地中考压轴题中经常出现,此类问题综合性强,常与三角形、四边形等知识同时出现,考生很容易失分.很多同学遇到此类问题时无从下手,主要原因是对相关模型缺乏总结和概括.基于此,笔者对定弦定角常见的几个模型进行总结,帮助同学们在运用相关模型中掌握知识和技能,从而提高解决数学压轴题的能力.定弦定角问题:动点对某条长度恒定的线段张成的角固定不变,即动角的大小恒定不变,该线段称为“定弦”,定弦所对的角称为“定角”.     

当特殊角遇上K字型

<正>30°,45°,60°角在初中数学几何图形中一直扮演着重要的角色,我们称之为特殊角.当直角三角形中含有某个特殊角时,三角形的三边长便存在特殊的比例.抓住这一点,通过构造含特殊角的直角三角形,进而构造K字型三角形全等或相似,可以帮助我们解决很多几何难题,且操作方便,计算简单,起到化繁为简,化难为易的效果.下面举例说明.例1 (2017年金华中考题)如图1,已知     

浅谈定角对动线段的最值问题

<正>近年来,定角对动线段的最值问题常出现在各地的考卷中.较常见的有两类:一类是已经有圆的,另一类是无圆的,无圆的可转化有圆的来解决.解题思路是,利用圆周角定理把定角转化为定圆心角,然后确定以这个定圆心角为顶角的等腰三角形底边与腰的数量关系.这样,就将所求动线段长的最值问题转化为求半径长的最值问题,从而使问题得到解决.下面举例说明.例1如图1,∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线     

你可会用角的对称性?(初二)

角平分线,是将一个角平分成两个相等的角的射线.它是轴对称图形,它所在的直线是它的对称轴.因此,含有“角平分线”的问题,可考虑利用对称性通过构造全等三角形来解决. 例1 已知:如图1,在△ABC中,∠A=108°AB=AC,BD是角平分线.求证:BC=AB+CD.     

“定角度+定长度”构造辅助圆的策略

<正>许多几何问题,表面看来好像与圆毫无关系,实际其中隐含着圆的知识.若能恰当地构造出辅助圆,充分利用圆的性质,可以收到避繁就简的效果.但构造圆的解答过程极具想象力和创造力,对解题者来说有一定难度.本文结合实例谈谈"定角度+定长度"构造辅助圆的一些策略.一、定角对定长,构造辅助圆例1 如图1,AB是半⊙O的直径,点C在半⊙O上,AB=5cm,AC=4cm.D是弧BC上的一个动点,连结AD,过C点作CE⊥AD于E,     

一道质检压轴题的再思考

在高中数学习题中,能不给图就尽量不给图,需要解题者有基本的构图能力,于是,在各级的考试中对构图能力的要求就相应提高了,例如"构造角相等"的问题,若已知一个角,构造角平分线可得到角相等,这个问题确实简单,但是若需要构造角的顶点,使得两个角相等,则这个问题就不简单了,为了说明这个问题,本文采撷两例,以饗读者.     

相同的题型 不同的思路——“将军饮马”问题的延伸探究

<正>继"胡不归"、"阿氏圆"最值问题外,文[1]探讨了定边对定角三角形中a+kb型最值问题,我们不妨统称为k系数线段和最值问题.这里再介绍一种新型a+kb最小值问题,我们称为第四类k系数最小值问题,虽然是同样的题型,却需要独特的思路: 先构造相似三角形转移线段,再转化为"将军饮马"a+b型. 现整理成文,与大家分享.一、两定两动型     

构造等腰三角形解题的五种途径

等腰三角形是一类特殊的三角形,它的性质和判定在几何证明和计算中有着广泛的应用.有些几何图形中不存在等腰三角形,可根据已知条件和图形特征,通过添加适当的辅助线,巧妙构造等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质使问题获解.一、利用角平分线+平行线,构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线,我们可以通过作平行线构造等腰三角形.如图1,AD是△ABC的角平分线.     

变形式定圆运动 求最值动中取静

<正>定角对定边类问题在各地的中考试题中屡见不鲜,且多以压轴题的形式出现,在此基础上,进一步思考:当问题中出现"定角定高"、"定角定中线"、"定角定角平分线"时,又该如何转化?为使读者清楚问题的背景,先给出定角对定边的基本问题.如图1,线段AB的长是定长,在平面内一点C,∠ACB度数为定值,则点C的运动轨迹是三角形ABC外接圆上的圆弧,解决与之相关的问题,通常做     

倍角问题的一般解题思路

倍角问题是几何中经常出现的问题,本文拟以一例说明倍角问题的一般解题思路,希望能对同学们的学习有所帮助. 解决倍角问题的关键是:抓住两个角之间的倍数关系,适当添加辅助线使两个角直接建立联系. 例如图1,已知在四边形ABCD中,AB// CD,     

求解线段比最值问题的“减元”策略

<正>对于两线段(视作二元)之比的最值问题,常见的解决策略是"减元",即通过构造相似,或二次函数等方法,将"二元"转化为"一元",将问题化为线段的最值问题.下面举例说明.一、构造"X"型相似例1如图1,已知Rt△ABC中,AC=6,     

构造直角三角形解题

在直角三角形中,边与边、角与角、边与角之间有着内在的特殊联系.因而,在解有关三角形问题时,如果能够利用题设条件构造出直角三角形,便可实现由未知向已知的转化,使问题得以解决.那么,怎样构造直角三角形呢?本文介绍几种方法,供大家参考.     

关于平面几何定值的证明思路

几何定值问题就是研究运动图形中的不变量。由于图形是运动着的,在证明定值问题时,这个定值究竟是什么题目中是不明确的,这就造成了学生在证明这类问题时感到困难,有时甚至束手无策,由此可见证明定值问题,找出“定值”是关键,一旦找出这个定值,那问题就转化为一般相等关系的证明了。本文就定值问题中几类常见类型的证明时怎样寻找“定值”,谈一谈自己肤浅的认识,供参考。一、定角问题定角问题就是证明某一动角是一个定值。这类问题往往可通过特殊情况求出动角等于某一个定     

一道质检压轴题的再思考

<正>在高中数学习题中,能不给图就尽量不给图,需要解题者有基本的构图能力,于是,在各级的考试中对构图能力的要求就相应提高了,例如"构造角相等"的问题,若已知一个角,构造角平分线可得到角相等,这个问题确实简单,但是若需要构造角的顶点,使得两个角相等,则这个问题就不简单了,为了说明这个问题,本文采撷两例,以饗读者.例1(2017年泉州质检)如图1,在直角坐标系中,抛物线y=-x²+bx+2与x轴交于A、B两点,与直     

几何证明中的定值问题

在几何证明题中,有一类题目是求证某些几何量之间具有定长、定比、定值、定角或者定方向等等的问题,这类问题统称几何定值问题。 [例1] 已知菱形ABCD外切于⊙O,MN是与AD、CD分别交于M、N的⊙O的任一切线,求证AM·CN=定值。