微积分中若干问题的研究(Ⅰ)

对于复合函数的求导法则,给出一种令人信服的严格的完整证明(其它教材中的证明均不完整[1,2,3]或证明不能令人满意[4,5,6,7,8]);明确了∞-∞型的未定式定义,并给出了该未定式化为0/0型或∞/∞型的未定式的理论依据;利用两个推广定理[9,10]证明了弱条件下不定积分的分部积分公式及变上限的定积分所确定的函数的奇偶性.     

微积分中若干问题的研究（Ⅰ）

对于复合函数的求导法则，给出一种令人信服的严格的完整证明(其它教材中的证明均不完整或证明不能令人满意)；明确了∞-∞型的未定式定义，并给出了该未定式化为0／0型或∞／∞型的未定式的理论依据；利用两个推广定理证明了弱条件下不定积分的分部积分公式及变上限的定积分所确定的函数的奇偶性。     

利用中值定理和泰勒公式求函数极限

用罗必达法则求未定式的极限是很有效的,但对某些0/0型的极限它并不方便,甚至用它不能求出。对这种极限,可利用泰勒公式和中值定理加以解决。     

医用高等数学0/0型未定式极限的求法探析

求解0/0型未定式极限的方法是求其他极限的基础,本文从五个方面对0/0型未定式的求解方法进行分析和归纳。     

关于“O°”型及“∞°”型未定式极限的一个定值方法

本文对“O°”’型及“∞°”型未定式的极限给出一个充分性定理。该定理在泰勒(Taylor)公式的支持下,经过等价无穷小量的代换,使上述复杂的未定式极限的计算化得简单、且有定量的结果,从而在相当宽泛的条件下,这两种未定式成为定式。     

关于“O°”型及“∞°”型未定式极限的一个定值方法

本文对“O°”’型及“∞°”型未定式的极限给出一个充分性定理。该定理在泰勒(Taylor)公式的支持下,经过等价无穷小量的代换,使上述复杂的未定式极限的计算化得简单、且有定量的结果,从而在相当宽泛的条件下,这两种未定式成为定式。     

L.Hospital法则教学小记

介绍了L.Hospital法则在求0/0型、∞/∞型及其他类型未定式极限问题中的应用。     

微分中值定理的应用

本文主要介绍常用微分中值定理在证明中值等式问题,证明不等式,讨论方程根的存在性与个数,研究函数性态和求未定式极限五个方面的应用。     

关于00型未定式的三个定理

给出在一些特定条件下,0^0型未定式的极限为的三个定理.     

应用洛必达法则求极限

求极限是高等数学中最重要的内容之一,也是高等数学的基础知识。求极限的方法有很多,其中之一是用洛必达法则求解未定式0/0型与∞/∞ 型及其相对应变形形式,本文具体给出了利用洛必达法则求极限值题。     

Cauchy定理及L''''hopital法则的推广

本文通过对Lagrange中值定理的证明中辅助函数的分析入手,描述了其构造特征。尤其通过选择新的辅助函数减弱了Cauchy定理的条件,推广了Cauchy定理并相应在L'hopital法则的定理证明中减弱了定理的适用条件,随之推广了L'hopital法则,可以使用L'hopital法则求取更多未定式形式的极限。     

Cauchy定理及L′hopital法则的推广

本通过对Lagrange中值定理的证明中辅助函数的分析入手，描述了其构造特征。尤其通过选择新的辅助函数减弱了Cauchy定理的条件，推广了Cauchy定理并相应在L′hopital法则的定理证明中减弱了定理的适用条件，随之推广了L′hopital法则，可以使用L′hopital法则求取更多未定式形式的极限。     

要充分发挥例题(习题)的效能

例题(习题)教学是课堂活动的重要组成部分,它不仅使理论知识得以巩固和深化。还使理论知识得以巩固和深化。认真做好例题(习题)教学,充分发挥其效能,可提高学生分析问题和解决问题的能力,提高教学质量,这是实现素质教育的重要环节。笔者根据教学体会,就如何发挥例题(习题)的效能,谈几点看法。 1 改变题目的条件或结论,引导学生从多角度来分析问题 例1 已知线段a,b,求作线段x,使x~2=ab。根据条件和结论,可以从下列两方面来引导学生:(1)在作法上要求分别用相交弦定理和切割线定理作题。 (2)在条件不变下,如何作线段x,使x=ab~(1/2)或x=2ab(1/2)等。 例2 已知抛物线的顶点坐标为(2,-1),且过点(0,3),求此抛物线的解析式。 由抛物线的有关性质,可改变条件,使原题变为:已知二次函数y=ax~2 bx c的最值为-1,其图象的对称轴为x=2,且过点(0,3),求其解析式。     

泰勒公式求极限

泰勒公式是高等数学中一个极其重要的中值定理,它的应用展现在数学的各个方面.例如很多超越函数sin x,e2等是无法算出精确值的,但在实际应用中又需要计算这些函数的较为精确的函数值,利用泰勒公式可以近似计算这些函数值;泰勒公式也可以证明一些不等式等等.在高等数学中求未定式极限对于学生来说是一个难点,未定式极限的计算方法也比较多,比如分母有理化后约分,等价无穷小代换,洛必达法则等,其中泰勒公式求未定式极限就是计算未定式极限的一种重要方法.     

《高等数学》(一元函数微积分)学习辅导(2)

例2. 求下列极限:(1)(?)e~x~2+x~2-1/x~4 (2)(?)x+sinx/x-cosx解:(1)易判定这是“0/0”型未定式极限,若用初等方法求解是比较困难的.用洛必达法则,有原式=(?)(e~n~2+x~2-1)~(?)/x~4=(?)2xe~x~2-2x~(0/0)/4x~3     

0/0型未定式极限的求法总结

0/0型未定式极限在学生平时测验及考研中都是一个重要的考点,其他未定式如∞-∞、∞·0、1^∞等类型的极限,往往需要转化为0/0型才可以求得.然而学生对于该类型极限内在含义并不真正理解,对它的求法也没有全面认识.基于此,文章给出0/0型未定式极限的概念理解和常见6种求解方法.     

0/0型未定式极限求解方法的探索

0/0型未定式是极限计算中较为常见的一种极限类型。0/0型未定式极限的计算方法主要有约去趋向于零的公因式、等价无穷小量的替换、罗必达法则。什么情况下使用哪种方法可以使计算过程更加简单快捷是教师在教学中需要着重引导学生思考的问题。     

谈洛必达法则

洛必达法则是求待定式(亦称未定式)“○/○”型与“∝/∝”型的极限的重要方法。为了“吃透”洛必达法则,能运用它顺利解决有关问题,今举出若干例子,提出几点值得注意之处。     

第二重要极限的简单推广及运用

第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位,它是解决未定型极限的一个重要工具。但它形式变化多样,在学习和使用中不易把握,是学生学习中的一个重点和难点。本文在分析了lim x→∞（1＋1/x）x=e及其常用推广公式的共同特征后,对其解决O/O型未定式求极限作了进一步的推广,得到简易公式,并给出相应运用。     

施笃兹(Stolz)定理的推广及应用

极限论中求型和型的数列极限,应用Stolz定理非常有效,Stolz定理可说是求数列极限的洛必达(LHospital)法则。现将数列极限的Stolz定理推广到函数极限并结合例子说明其应用,为求函数极限提供新的方法。