一个猜想的证明

宋庆先生在《中学教研 (数学 )》1999年12期《一个代数不等式与一类几何不等式》一文中 ,提出了如下一个猜想 :在△ ABC中 ,有p- bb c p- ca c p- aa b≥ 34.其中 p=12 (a b c) .经研究 ,该猜想是正确的 ,证明如下 :证明　不妨设 a≥b≥c,于是p- bb c p- ca c p- aa b- 34=(p- bb c- 14) (p- ca c- 14) (p- aa b- 14)=2 a c- 3b4(b c) 2 b a- 3c4(a c) 2 c b- 3a4(a b)≥2 a c- 3b4(a b) 2 b a- 3c4(a b) 2 c b- 3a4(a b)=0 ,∴p- bb c p- ca c p- aa b≥ 34.由以上证明可知 ,当且仅当 a=b=c…     

2006年第5期问题解答

25.请加一个条件,将图中的阴影部分面积求出来(.长度单位是厘米)解:由于此题中正方形的边长是圆的直径,所以要求出阴影部分的面积,只要在正方形的边长、面积及圆的半径、直径、面积等这些量中任意知道其中一个,就可以求出阴影部分的面积.如,若增加正方形的面积为25平方厘米这个条件,则可以知道其边长为5厘米,所以阴影部分的面积为25-π×(2.5)2=25-6.25π(平方厘米).26.设三角形三边长分别为a,b,c,且有(1)a>b>c(;2)2b=a c(;3)b为正整数(;4)a2 b2 c2=84.求a c b2的值.解:由条件可得a c=2b,ac=5b22-84.构造一元二次方程x2-2bx 5b22-84=0.所以…     

勾股弦数的表法及一个性质

不定方程x~2+y~2=z~2 (1)的正整数解x=a,y=b,z=c,称为一组勾股弦数a、b、c. 《数学通报》1979年第5期,《勾股数组的一个性质》一文论证了一个有趣的性质: 勾股弦数a、b、c中,必有含因子3的数,必有含因子4的数,必有含因子5的数。     

对“肾单位”教具制作的改进

1998年第9期《生物学教学》上刊登了“‘肾单位’教具的制作和使用”一文,读完并制作后,在使用中笔者觉得有待进一步改进。1教具制作的改进1．1关于肾小球原22厘米长的红色灯头线改为66厘米,在一端取22厘米长并使其中央15厘米制出表示肾小球的细铜丝,在另一端取20厘米长,把全部包皮剥掉,露出的细铜丝编织成12厘米长的网,呈橄榄球状表示毛细血管网,剩下顶端8厘米细铜丝汇成一束,用蓝色及时贴缠绕成管状表示肾内小静脉。1．2关于肾小管把原10厘米的玻璃管用30厘米乳胶管代替,表示细长能弯曲的肾小管,一端套在肾小囊的咀上,另一端…     

一个三角形中的不等式

在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1　设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2　在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明　采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(…     

一个立方公式在解竞赛题中的应用

本文证明一个立方公式 ,通过这个公式能使一些涉及立方的问题得到轻松的解决 .这个公式是 :a3 b3 c3-abc=(a b c) (a2 b2 c2 -ab-bc-ca) . ①证明　由立方和公式a3 b3=(a b) (a2 -ab b2 )以及和的立方公式 (a b) 3=a3 b3 3ab· (a b) ,则a3 b3 c3- 3abc=(a b) 3 c3- 3ab(a b) - 3abc=(a b c) [(a b) 2 - (a b) ·c c2 ]- 3ab(a b c)=(a b c) [(a b) 2 - (a b)·c c2 - 3ab]=(a b c) (a2 b2 2ab-ac -bc c2 - 3ab)=(a b c) (a2 b2 c2 -ab -bc-ca)公式①是一个十分重要的公式 ,在①中 ,若a b c=0 ,则有a3 b3 c3=3abc. ②以下举…     

应用(ab-a-b+1)=(a-1)(b-1)解竞赛题

本文标题给出的公式是一个广为人知的简单事实 .若巧妙地应用它去解有关问题 ,往往能收到意想不到的效果 .下面以竞赛题为例谈应用它解题的技巧 ,供同学们参考 .例 1　已知三个质数之积恰好等于它们和的 5倍 ,则这三质数为 .解　设这三个质数为a、b、c ,由题意得 :abc =5(a+b +c) ,根据质数的定义知 :a、b、c中有一个等于 5,不妨令a=5,于是bc =5+b +c即 (b - 1) (c- 1) =6 ,显然b≠c ,不妨设b>c,则 b - 1=6c - 1=1或 b - 1=3c - 1=2解得 b =7c=2 或 b =4c=3(不符合题意 ,舍去 )故所求质数为 2、5、7.例 2　求所有实数k ,使方程kx2 + (k+ 1)x…     

热传导实验的改进

材料:厚0.3毫米左右薄钢片一块,长15厘米,宽1.5厘米;薄木条一块,长10厘米,宽1.5厘米,厚0.5厘米;长2厘米的小铁钉2颗。制作:从距铜片一端2.5厘米处起,每隔1.5厘米,在其宽度中央用小锤轻敲截去尖端的铁钉(长约6厘米铁钉),在铜片上做成四个小窝。将木柄与铜片的另一端用2颗小铁钉铆合,重叠部分为2厘米(如图)。演示(或学生分组实验):将火柴头用剪刀剪下4枚放入铜片窝内,然后手持木柄让铜片的另一端在酒精灯     

构造方程巧解题

例i已知5(a一。)+、厂息(。一。)+(。一。)一。(a举。),~(c一b)(c一a)‘二~户抓一一一一丁一-一一丁又爪片一一-口习1月‘. 气以—口,-解将已知等式变形为(a一占)(、/万),+(占一‘)·、污+(。一。)一0.这就是说,丫万是一元二次方程恤一b)x“+(b一c)x+(c一a)一O①的一个根.又因为(a一b)+(b一c)+(c一a)一。故方程①的另一个根是1,于是有一点点滴滴一厂污+1-生二“—息,轰—倪一b.厅由此可得(c一b)(c一a)(a一b)2了了十1).侧万一5+ 例2脚n4+趁2 m2一、_1 .1_匕翔砰十石一j-O,刀难+nZ3一。且六、nZ,求解的值.由已知条件知生,、,是方程尹十二一3…     

悬浮式反冲运动演示器

新编高一物理教材中 ,反冲运动的演示实验要求必做 .本文介绍悬浮式反冲运动装置 ,不仅能连续平稳地旋转 ,还能改变转向 ;不仅可见度高 ,还具有趣味性 .制作也很容易 .1　制作及组装( 1)两个磁环 ( 3)铜管转轴( 2 ) ( 4 ) ( 5 )三通喷管图 1如图 1所示 ,1根粗铁丝下部侧折 ,固定在底座的一端 ;上部横折为臂 ,臂前部弯成圆环 ,上端横臂与底座相距约 4 0ｃｍ .将两个滴管尖嘴端放酒精灯上烧至弯曲 ,锉去另一端的唇边 .用胶管将两喷管与三通管套连 [(图 1中 ( 2 ) ( 4 ) ( 5 ) ],三通的竖管穿插入橡皮塞 .截取一段拉杆天线作铜管转轴 [图 1中 (…     

两个新的不等式

文 [1 ]证明了如下不等式 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 :a2 b b2 c c2 a<18.(《数学通报》2 0 0 0年第 5期问题 1 2 52 )受文 [1 ]的启发 ,可得下面的不等式 :命题 1　设 a,b,c为满足 a b c=1的正数 ,则 ab( a 1 ) bc( b 1 ) ca( c 1 )≤49.证明　由算术平均 -几何平均不等式和恒等式 x3 y3 z3- 3xyz=12 ( x y z)[( x- y) 2 ( y- z) 2 ( z- x) 2 ],得a2 b b2 c c2 a≤ 12 7[( 2 a b) 3 ( 2 b c) 3 ( 2 c a) 3]=12 7{32 ( a b c) [( 2 a- b- c) 2 ( 2 b-c- a) 2 ( 2 c- a- b) 2 ] 3( 2 …     

1990年西班牙数学奥林匹克试题与解答

到目前为止,西班牙数学奥林匹克已举行了28届。每届有两轮,跨年度进行。这里提供的是1990年下半年举行的第27届第一轮的试题,根据前苏联《量子》的俄文稿译出,部分解答参考了《西班牙数学奥林匹克》(OLIMPIADA MATHEMATICA ESPA(?)OLA)。第一天 1.设a,b,c为直角三角形的边长。证明,若这些数是整数,则其乘积abc能被30整除。证明整数a,b,c为直角三角形的三边长,则有c~2=a~2+b~2(不妨设c为斜边)。(1)若a,b中有偶数,则2|ab,否则2|c,所以2|abc;(2)若a,c中有3的倍数,则3|ac,否则b~2=(c-a)(c+a)能被3整除,因为3是素数,所以3|b,因此有3|abc;(3)若5不整除a,b,c中的     

初中化学微型实验设计探究

一、制取O2实验的微型化设计1.实验用品带盖的青霉素瓶、输液器上的三通管、粗胶管及细短管、喜之郎果冻盒、蒙牛牌酸奶吸管、空墨水瓶。MnO2,5%的H2O2。2.实验装置实验装置如图1所示图13.实验过程(1)在青霉素瓶盖上插入输液器的三通管,正上方的一端连接盛有双氧水的粗胶管,侧管接上长约10～12cm的细短管,并将一端用热水烫制弯管。喜之郎果冻盒盛2/3体积的水。(2)将青霉素瓶装满水并倒立在果冻盒中。蒙牛牌牛奶吸管用剪刀剪成带尖纸槽。(3)实验时,用纸槽取3～4gMnO2放在青霉素瓶底部,然后将安装好的瓶盖盖紧瓶口,用手挤压粗胶管里H2O2大…     

((a-b c)/a)~(1/2) ((b-c a)/b)~(1/2) ((c-a b)/c)~(1/2)的一个下界

安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1　在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明　设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个…     

一堂活泼生动的制作课

人教版《物理》八年级课本上册“生活中的透镜”中的“想想做做”让学生制作一个“模型照相机”，并且告诉学生“模型照相机”的制作方法：“用硬纸板做两个粗细相差很少的纸筒，使一个纸筒恰好能套人另一个，在一个纸筒的一端嵌上一个焦距为5—10厘米的凸透镜，在另一个纸筒的一端蒙上一层半透明纸（或塑料薄膜）。”     

掌握仪器装置的连接 提高解组合实验题能力

一、复习要求1 会正确地连接常用仪器与零件。2 能正确选择仪器 ,熟练地安装初中化学中的各种实验装置 ,并能对这些装置进行简单的组合 ,进行有关气体制备、检验、鉴别、除杂的实验。3 能明确组合实验中各部分装置的作用。二、主要内容提示(一 )常用仪器零件的连接1 玻璃管与胶塞的连接左手拿胶塞 ,右手拿玻璃管靠近插入塞子的一端 (先用水润湿 ) ,稍稍用力转动 ,插入塞孔直至在塞孔另一端露出 1厘米左右即可。2 玻璃管和胶皮管的连接左手拿胶皮管 ,右手拿玻璃管 (先用水润湿 ) ,稍用力把玻璃管插入胶皮管即可。3 容器口塞胶塞左手拿容…     

U型简易渗透装置制作

1　材料鸭蛋 (或鸡蛋 )2　用具和试剂透明饮料管、透明胶、剪刀、小型烧杯、玻璃皿、蜡烛、火柴、镊子、铁丝、一次性注射器、盐酸。3　步骤3.1　半透膜的制作。把鸭蛋横放在盛有盐酸的小烧杯上 ,将鸭蛋 2 / 3的侧壳溶掉 ,留下鸭蛋卵膜作半透膜 (如图 1 )。图 13.2　制孔。把鸭蛋尖的一端顶部少许接触盐酸 ,溶掉蛋壳 ,用铁丝穿破鸭蛋卵膜可制成一小孔。用铁丝协助 ,将鸭蛋黄、蛋清倒出并清洗干净 (如图 2 )。图 23.3　装管。把透明饮料管 (剪3ｃｍ～ 5ｃｍ )插在小孔上 (如孔大 ,可在饮料管一端用透明胶带加粗 ) ,然后蜡封 (如图3)。注意 :…     

大象玩特技

工具剪刀材料白卡纸、吸管(可弯折的)、透明胶带、木工胶、图钉、彩色水笔、泡沫塑料制作1.先将白卡纸对半折,再将吸管弯折后放到如图一所示位置,并根据吸管的长度画出大象的形状,但要注意吸管要比大象长出3厘米左右。2.如图二将对折的卡纸沿着大象轮廓剪下,注意不要把背部的连接处剪开,然后给大象涂上颜色。3.将吸管折弯后,贴在大象的里侧,贴透明胶带时不要压坏吸管,把从大象鼻子中伸出的吸管竖着剪开,呈花瓣状,并在其末端缠上透明胶带,以免被撑坏(图三)。4.将泡沫塑料切成2厘米的立方体,在水泥地上磨去棱角(图四),也可用剪刀修剪,然后将涂…     

整除问题——初一数学竞赛系列讲座(5)

对整数a和b(b不为0),如果存在一个整数q,使a=b×q,则称a被b整除,也称b整除a,否则就称a不能被b整除.例如35=5×7,于是35被5(或7)整除.整除有许多性质,下面列出最常用的几个:1.如果b整除a,则b整除a的倍数.2.如果b整除a与c,则b整除(a±c).3.如果b整除a,a又整除c,则b整除c.4.如果a整除c,b也整除c,并且a与c互质,则ab整除c.在整除问题中,能被2,3,4,5,8,9,11,25等整除的数有如下的特征:1.如果一个整数的末位数字是偶数,则这个数必定被2整除.2.如果一个整数的末位数字是0或5,则这个数必定被5整除.3.如果一个整数的末两位数字组成的数被4(或25)整除,…     

导学案在数学教学中的应用及其思考

<正>导学案,作为引导学生自主学习、合作探究的教学方案,越来越多地被数学教师运用.笔者以《不等式的基本性质》一节课为例,谈谈如何利用导学案引导学生探索不等式的三个基本性质.一、案例1呈现探究一已知a、b和c在数轴上表示如图1:(1)你能说出a与b的大小吗?(2)b与c的大小呢?(3)a与c的大小呢?(4)你能得出什么结论?