分式函数值域问题分类导析

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具。本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法。首先我们给出分式函数的定义：形如f（x）＝p（x）q（x）的函数叫做分式函数，其中p（x）、q（x）是既约整式且q（x）的次幂数不低于一次。下面就p（x）、q（x）的次幂数不超过二次的分式函数进行分类讨论。１．一次分式函数p（x）、q（x）的次幂数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如f（x）＝ax＋bcx＋d，x∈A…     

容易忽视的两种求值域的方法

在高中函数值域问题中,经常出现求自变量在特定范围内变化的分式函数的值域.对这样的问题,学生往往感到困难,不知如何下手,但若能利用下面的两种方法往往能顺利地解决.1 利用反比例函数的性质 将己知分式函数通过化简变形后,利用反比例函数y=1/x的性质求解. 例1 求函数y=2x 1/3x-2(1≤x≤3)的值域. 分析:所给函数是分式函数,且分子与分母都是一次,因此考虑对其进行变形化去分子中的变量,即     

假分式变形巧解题

对于只含一个字母的分式,如果分子的次数不低于分母的次数,那么这个分式被称为假分式,否则就被称为真分式.对于形如2sin（ x-1）/sin （x＋3）的式子,若令sin x=t,则可得（2t-1）/（t＋3）,故不妨称之为形式上的假分式.任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式,这种变形在解题中有着广泛的应用.     

分离常数法与分离参数法的应用

分离常数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有y=ax＋b/cx＋d,y=ax^2＋bx＋c/mx^2＋nx＋p,y=m·a^z＋n/p·a^z＋q,y=m·sinx＋n/p·sinx＋q等．解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数．     

“分式”函数值域的求法

我们把形如y＝ax２＋bx＋cpx２＋qx＋r（a、b、c、p、q、rR，p、q不全为０）的函数称为“分式”函数．现在介绍求这种函数值域的方法．一、形如y＝bx＋cqx＋r（q≠０）的函数值域的求法将函数解析式变形为y＝bq－brq－cqx＋r，当c＝brq，即bq＝cr（分子分母有共同的因式）时，y＝bq，函数的值域为狖bq狚；当c≠brq，即bq≠cr时，由于函数y＝brq－cqx＋r的值域为所有非零实数，所以原函数的值域为y｜y≠bq ．例如，函数y＝４x－２２x－１的值域为 ，函数y＝３x＋４２x－１的值域为y｜y≠３２ ．二、形如y＝ax２＋bx＋cpx２＋qx＋r（p…     

函数f（x）=q/cos^nx＋b/sin^nx最小值的另一求法

文[1]利用组合数的性质等知识解决了函数f（x）=q/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a,b为大于0的常数，n∈N）的最小值问题，但解题过程较为复杂．笔者经过探索，找到一种较为简单的解法，供参考．     

探究反比例函数 提高应用规律解决问题能力

一、反比例函数的相关概念 一般地,形如）y=k/x（k是常数,k≠0）的函数叫做反比例函数.（1）反比例函数的表达式中,等号左边是函数y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式.如：y=1/（2x）,y=-（1/2）/x等都是反比例函数,而y=1/（x＋1）就不是反比例函数.     

分离分式的整数部分

如果我们把含有同一个字母且分子字母的指数大于或等于分母字母指数的分式,称为假分式,则此分式可以分离出整式（包括整数）,分式的这种变形,在解有关假分式的问题中,可以简化解题过程．     

正确运用分式中的隐含条件

<正> 我们知道,分式中分母的取值是不能为零的,否则分式无意义.在解分式问题中,如果我们正确运用这个条件,就能帮助我们避免错误,正确解题. 例1 (2003郑州)当x=______时,代数     

探究与零有关的限制条件

正在初中数学表达式中,与零有关的限制条件是满足定义、性质的重要前提.如不深刻理解概念,并从正、反方面把握其实质,在解题中忽略这些与零有关的限制,就会出错解与漏解.例1当x=时,分式|x|-1x2-2x-3的值为零.错解由|x|-1=0,解得x=±1.剖析当分子为零,且分母不为零时,分式的值为零,显然,当x=-1时,分母x2-2x-3=0.解题中忽略了分母的限制条件.所以正确答案是x=1.     

分式运算应注意的几个问题

在进行分式运算时，要特别注意以F几个问题，以提高解题的准确性．一、注意分母不能为零例1若分式的值为零，则。的值是（）（A）2或一2；（B）2；（C）一2；（D）4（1994年河北省中考题）错且要使分式的值为零，只须／‘一4一0，柯得x1一2，x；—一王故选（A）．分析当X一2时，分式的分母。“一。－2一0，分式无意义，就谈不上有什么值存在．出现错误的原因是忽视了分式的分母不能为零这一先决条件．正仅要使分式的值为零，必须二‘一4一0巳。、’一。·－2乒0．解得x—一2，故应选（C）．二、注意运＊顺序不能倾倒＿：＿、，＿J‘11二…     

从必要条件入手

若已知“p(?)q”,则q是p的必要条件．q是p的必要条件意味着q是p成立的必不可少的条件．解题时恰当利用必要条件可帮助探求解题思路,简化解题过程．例1 (1999年高中联赛)已知当x∈[0,1],不等式x2 cosθ-x(1-x) (1-x)2 sinθ>0恒成立,求θ的取值范围．     

复合函数定义域的求法

求复合函数的定义域,在高考和数学竞赛中经常出现。本文介绍这类问题的几种类型及相应的解题方法．一、已知函数,f（x）的定义域。求函数y=f[g（x）]的定义域方法：如果已知函数八菇）的定义域为[α,b],那么求满足不等式α≤g（x）≤b的x的取值范围,即为y=f[g（x）]的定义域．     

巧用对勾函数y=x＋p/x（p〉0）图像性质解题

所谓的对勾函数,是形如y=ax＋b/x（a·b〉0）的函数（本文重点研究对勾函数y=x＋p/x（p〉0）,因为y=ax＋b/x=a（x＋b/a/x）,都能化为y=x＋p/x（p〉0形式）,函数y=x＋p/x（p〉0）的图像形似两个中心对称的对勾“√”,故名“对勾函数”,对勾函数是一种教材上没有,但考试经常考的函数,以它为模型的题型新颖、综合性强,解法灵活多样,近几年高考试题中,对勾函数部分占有相当大比重,是高考的热点内容之一．     

中考试卷中的分式问题

分式是初中代数的一个重要内容，因而在中考试卷中占有一定的比例．总体来说，不外乎以下三类（以九五年中考试题为例）：一、有无意义问题若分式有意义，则分母不为零；若分式无意义，则分母为零．分析当分式的分母为零时分式无意义·故当ZX－‘一O，即X一了时分式无意义·例2下列分式中一定有意义的是（鹤分析在以上四个分式的分母中，只有y‘＋l不可能等于0，因此，只能选（B）．＝、值为本问题要使分式的值为零，必须分母不为零且分子为零．分析由分子X’－9一0得X一上3．由于分母x－3学0，所以，只能有x—－3．的值为0的所有X的值…     

学习函数定义域应注意的几个问题

一、函数定义域的求法1.如果只给出了解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.此时,求函数的定义域的常见类型有: 当f(x)为整式结构时,其定义域为R; 当f(x)为分式结构时,其定义域为使分母不为0的x的集合; 当f(x)为二次根式结构(或n次根式中     

方程中的函数思想 函数中的方程观点

方程是中学数学的重要知识点 ,函数是高考和竞赛的热点 ,许多方程问题常常运用函数思想解决 ,而数学中不少函数问题往往转化为方程解决 .因此 ,在解决一些函数和方程问题时 ,既要善于运用函数思想解决方程问题 ,又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题 .本文举例说明如下 .1　方程中的函数思想例 1　已知实数 p,q满足方程 lg( lg3p)= lg( 2 - q) + lg( q+ 1 ) ,求 p的取值范围 .简解　可将 p表示成 q的函数 ,从而转化为求函数的值域 .∵lg3p=( 2 - q) ( q+ 1 ) ,∴ p=3(2 - q) (q+1 ) 　 ( - 1 相似文献   

巧用分母整体换元法解题

对于一些分式不等式证明题，如果各项分式的分母比较复杂，而且不容易找到解题的思路时，我们就可以考虑把分母看作一个整体进行换元，从而将分式的分母简化，使问题化繁为简，化难为易，以便于寻找解题的突破口，下面举几例加以说明。[第一段]     

吃准关键词巧解一类题

解题要善于抓住题设中的关键词,当对关键词有了深刻的理解,就将有利于我们对问题的正确判断,有利于我们实现对知识的灵活运用.下面以两道含绝对值的函数最值的题为例说明.例1设函数f(x)=x2 px q,p、q∈R,若f(x)在[-1,1]上的最大值为M,求M的最小值.分析此题叙述简单,下手困难,通     

《分式》错解剖析

一、忽视“且”与“或”的不同含义 例1当x为何值时，分式x^2-x/（x＋2）（x-1） 有意义。错解：当分母等于零时，分式无意义由分母（x＋2）（x-1）-0，得x=2或1所以，当x≠-2或aT≠1时．分式有意义.