关于分周线的三个定理

首先,把平分三角形周长的直线叫做三角形的分周线.如图1,在△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,周长为2p,直线l与AB、AC交于D、E,且有AD AE=BD BC CE=a b c/2=p,则直线l是△ABC     

Gerasimov不等式的加强

1971年,JU.I.Gerasimov给出下述三角不等式: 设△ABC内部任一点P到三边BC、CA、AB的距离为r_1、r_2、r_3,BC=a,CA=b,AB=c。则 r_1r_2/(ab) r_2r_3/(bc) r_3r_1/(ca)≤1/4。 (1) 最近,刘健先生在文[1]中将(1)推广到两个三角形中。本文拟给出(1)的如下加强:     

直角三角形中一个定理的推广

在Rt△ABC中,AC=b,BC=a,斜边AB上的高为h,则1/h^2=1/a^2＋1/b^2它有点类似于勾股定理,加以推广,即得类似于正、余弦定理的命题．     

余弦定理的变形及应用

大家熟知的余弦定理是: △ABC中,AB=c,BC=a,CA=b则有a~2=b~2+c~2-2bccosA (1) 又由正弦定理:a=2RsinA,b=2RsinB,C=2RsinC(2R为△ABC外接圆直径)代入(1)得:     

关于费尔马点的一个不等式

设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证     

Gergonne点与Kooi不等式

Gergonne点:△ABC的内切圆切BC、CA、AB分别于点D、E、F,则AD、BE、CF交于一点J。此点称为Gergonne点。 若记BC=a,CA=b,AB=c,s=1/2(a b c),则易见J关于△ABC的重心坐标为((s-b)(s-c),(s-a)(s-c),(s-a)(s-b))。 O.Kooi不等式:1969年,O.Kooi证明了     

关于费马点与重心的距离公式

命题 在△ABC中，F、G分别为费马点和重心，令BC=a，CA=b，AB=c，S为△ABC的面积．则GF=√1/2（a^2＋b^2＋c^2-4√3S）/3.     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

一道IMO试题的推广及简证

题 设P为△ABC内任意一点,P到三边BC、CA、AB的距离依次为d_1,d_2,d_3,记DC=O,CA=b,AB=c,求证:a/d_1 b/d_2 c/d_3≥(a b c)~2/2S_(△ABC).(IMO-22)     

一道习题的妙用

初中《几何》第二册第106页第二小题:设△ABC的边BC=a,CA=b,AB=c,且s=1/2(a+b+c),内切圆I和BC、CA、AB切于D、E、F(如图1),求证:AE=AF=s-a,BF=     

关联周界中点三角形的一个性质

文[1]给出了关于三角形外角平分线构成的三角形的一个性质,将其推广到周界中点三角形中得到.定理如下图,设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且△ABC与△DEF的三条中线长分别为ma,mb,mc,及ma1,mb1,mc1,则有222ma+mb+mc111≤4(ma2+mb2+mc2),(1)当且仅当△ABC为正三角形时取等号.为行文方便,约定BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2,EF=a1,FD=b1,DE=c1且AE=BD=s?c,AF=CD=s?b,BF=CE=s?a,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为?,R、r.证明如上图,在△AEF中应用余弦定理及cos2()2A s s abc=?,?2=s(s?a)(s?b)(s?c…     

据本巧设题(3)

1.M是边长为1的等边三角形△ABC内任意一点,求MA~2 MB~2 MC~2的取值范围(初中联赛级,江苏涟水,王明升)2.M是△ABC中任意一点,AB=4,BC=5,CA=6,试求MA~2 MB~2 MC~2的取值范围.(高中联赛级,江苏涟水,王明升)3.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.求证:     

Weitzenberk不等式的加强

Weitzenberk不等式:在△ABC中,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,△表示△ABC的面积.则 a2+b2+c2≥43△. (1) 不等式(1)有许多种加强,本文将给出不等式(1)的一种半对称形式加强.     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

与三角形的费尔马点有关的一个性质的别证

设△ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,如图1,当∠A、∠B、∠C都小于120°时,F为△ABC的费尔马点,FA=u,FB=v,FC=w.则     

垂足三角形旁切圆半径之间的一个恒等式

关于垂足三角形旁切圆半径之间有下面一个恒等式: 定理 若△ DEF 是锐角△ ABC 的垂足三角形,且 BC = a,CA = b,AB = c , p = (a b c) /2, △ ABC 的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为? 、R 、r ,△ DEF 的旁切圆半径依次为rd 、re 、rf ,则有 rd = re =     

shc 97的加强及其它

△ABC的三边BC、CA、AB分别记为a、b、c,设P是△ABC内部任意一点,点P到边BC、CA、AB的距离分别记为r_1、r_2、r_3,∠BPC、∠CPA、∠APB的平分线长分别记为ω_1、ω_2、ω_3,设AP、BP、CP的延长线七分别交BC、BA、AB于L、M、N,且记AL=l_a,BM=l_b,CN=l_c;Σ表示对a、b、c轮遍求和.     

关于角平分线的一个不等式的加强

定理 设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c,所对角平分线长分别为t_a、t_b、t_c,面积为△,又设△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有:     

再探三圆相关的几个不等式

文[1]给出如下一个定理: 定理若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别是⊙I1、⊙I2、⊙I3,其半径分别是r1、r2、r3,则有a/r1 b/r2 c/r3≥12√3.     

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式