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1.
设n个数据x1,x2 ,… ,xn 的平均数为x ,则其方差为s2 =1n[(x1-x) 2 +(x2 -x) 2 +… +(xn-x) 2 ]=1n[(x21+x22 +… +x2 n) -1n(x1+x2 +… +xn) 2 ]显然s2 ≥ 0 (当且仅当x1=x2 =… =xn=x时取等号 )。应用这一公式 ,可简捷、巧妙地解决一些竞赛试题中的最值问题 ,例说如下 :1 求函数的最值例 1 求函数 y=3x+1 -3x的最大值。(1 984年上海市中学生数学竞赛试题 )解 ∵ 3x、 1 -3x的方差是s2 =12 [(3x) 2 +(1 -3x) 2 -12 (3x +1 -3x) 2 ]=12 (1 -12 y2 )≥ 0 ,∴ y2 ≤ 2 ,故ymax=2。例 2 求… 相似文献
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邵剑波 《中学数学教学参考》2000,(6)
有的文献证明了对任何x∈R,f(x)>0.本文获得定理 设x∈R,则f(x)=x4 x2 x 1在x=x0=-14 3-564 56144 3-564-56144=-060582958…处,取得最小值f(x0)=516[(x0 1)2 2]=067355322…此定理可用微分法证明,同时得知x0是方程f’(x)=0的惟一实根.下面用不等式(A2 B2)(1 a2)≥(A aB)2(=|aA=B)来证明.对f(x)进行”双配方”,应用该不等式,有f(x)=(x2 12x)2 34(x 23)2 23=(x2 12x)2 (32x 33)2 23≥11 a2[x2 (12 32a)x 33a]2 23.设3a=b,13<b<3,则x2 (12 b2)x b3≥14[4b3-(12 b2)2]=(3b-1)(3-b)48>0… 相似文献
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现行高中教材《代数》下册 12页 2题 ( 1) :设x ,y都是正数 ,求证 :xy yx ≥ 2 .将此不等式变形 ,得xy - 1≥ 1- yx ,( )等号当且仅当x =y时成立 .应用 ( )可简便地证明一类分式不等式 .例 1 设a1,a2 ,… ,an 均为正数 ,且a1 a2 … an=1 (n >1) ,求证 : ni=1a2i 1ai≥n2 1. 证 ni =1a2i 1ai- (n2 1) = ni=11ai-n=n ni =11nai- 1≥n ni=1( 1-nai) =0 .∴ ni =1a2i 1ai≥n2 1.例 2 设ai∈R (i =1,2 ,… ,n) ,n≥ 2 ,且 ni=1ai=1.求证 : ni=1… 相似文献
4.
一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 f(x) =2 -x,log81x , x∈ ( -∞ ,1 ]x∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 f(x) =14 的x值为 .2 设数列 {an}的通项为an=2n -7(n∈N) ,则|a1| |a2 | … |a15| = .3 设P为双曲线x24 -y2 =1上一动点 ,O为坐标原点 ,M为线段OP的中点 ,则点M的轨迹方程是 .4 设集合A ={x| 2lgx =lg( 8x -1 5 ) ,x∈R} ,B={x|cos x2 >0 ,x∈R} ,则A∩B的元素个数为 个 .5 抛物线x2 -4 y -3=0的焦点坐标为 .6 设数列 {an}是公比… 相似文献
5.
《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设a、b、c∈R+ .试证 :ab2 + bc2 + ca2 ≥ 1a+ 1b+ 1c.①本文推广不等式① ,得到如下命题 设x1,x2 ,… ,xn ∈R+ ,n >1 ,αβ>0 .则xα1xβ2+ xα2xβ3+… + xαn - 1xβn+ xαnxβ1≥xα - β1+xα- β2 +… +xα - βn ,②等号当且仅当x1=x2 =… =xn 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当n =2时 ,式②左 -右 =xα1xβ2+ xα2xβ1-xα - β1-xα- β2=(xα1-xα2 ) (xβ1-xβ2 )xβ1xβ2.根据x1>0 ,x2 >0 ,αβ >0及幂函数… 相似文献
6.
一、填空题 (每空 2分 ,共计 50分 )1 x3·x2 ·x =;( -a2 b) 5 =。2 若x =2 ,y =5是方程ax - 2y =2的一个解 ,则a =。3 关于x的不等式组2x - 13 >x - 1x -k <0的解集为x <2 ,则k的取值范围是。4 ( - 25) 1 999·( 52 ) 1 999=。5 ( 2x - ) 2 =x2 - 13 x 。6 (a - 2b) ( ) =a3 - 8b3。7 - 10 2n× 10 0× ( - 10 ) 2n-2 =;( - 12 xyz) 2 ·23 x2 y2 =。8 598× 60 2 =;99 92 =。9 在同一平面内 ,两直线的位置关系是。10 如果一个角的余角与它的补角也互为补角 ,则这个角是。11 把一条弯曲的公路改为直… 相似文献
7.
方差的解题功能 总被引:1,自引:0,他引:1
对于n个实数x1、x2 、…、xn,记 x =1n ni=1xi,S2 =1n ni =1(xi- x) 2 =1n ni=1x2 i- x2 ,显然有S2 ≥ 0 , (1)S2 =0 x1=x2 =… =xn. (2 ) 本文通过构造一组数据的方差 ,巧妙地利用 (1)、(2 )两式解决几类问题 ,从而拓展方差公式在中学数学解题中的应用范围 .1 求代数式的值例 1 (1991年南昌市初中数学竞赛试题 )设x、y、z是三个实数 ,且有1x 1y 1z =2 ,1x2 1y2 1z2 =1,则1xy 1yz 1zx 的值是 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 32 (D) 3.解 关于三个实数 1x、1… 相似文献
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一、数论部分1.设k和n是正整数 ,且n >2 .证明 :方程xn -yn=2 k无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设n0 >2是满足xn0 -yn0 =2 m(m >0 )中最小的一个 .若n0 是偶数 ,设n0 =2l,l∈N ,则x2l-y2l =(xl-yl) (xl+yl) ,于是xl-yl 是 2的整数次幂 ,与n0 的最小性矛盾 .若n0 是奇数 ,定义集合A ={p|xn0 -yn0 =2 p,p、x、y均为正整数 } .设p0 是A中最小的一个元素 ,则xn0 -yn0 =2 p0 ,所以x、y的奇偶性相同 .又因为(x -y) (xn0 -1+xn0 -2 y +… +xyn… 相似文献
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一、选择题 (每小题 5分 ,共 6 0分 )1 .设集合P ={1 ,2 },则满足M∪P {1 ,2 ,3}的集合M的个数是 ( ) .(A) 1 (B) 4 (C) 7 (D) 82 .如果f(x)满足f(x 2 ) =f(x) (x∈R) ,且当 -1 ≤x≤ 1时f(x) =x2 3,则当x∈〔2n-1 ,2n 1 ) ,(n∈Z)时 ,函数的表达式是 ( ) .(A)x2 -4nx 4n2 3(B)x2 4nx 4n2 3(C)x2 -4nx 4n2 1(D)x2 4nx 4n2 13.已知f(x)是奇函数 ,g(x)是偶函数 ,且f(x) -g(x) =x2 2x 3,则f(x) g(x)等于 ( ) .(A)x2 2x 3 … 相似文献
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一、选择题1 .设x∈Z(整数集 ) ,则 f(x) =cos π3 x的值域是 ( ) (A) -1 ,-12 (B) -1 ,-12 ,12 ,1 (C) -1 ,-12 ,0 ,12 ,1 (D) 12 ,12 .下列函数中 ,既是区间 0 ,π2 上的增函数 ,又是以π为一个周期的偶函数是 ( ) (A) y =xtanx (B) y=|sinx| (C) y=cos 2x (D) y=sin|x|3 .函数 y=sin 3πx +lg13 ( ) (A)不是周期函数 (B)最小正周期为 π3 (C)最小正周期为 23 (D)最小正周期为2π34.f(x)是以 2π为一个周期的奇函数 ,且f -π2 =-1 ,… 相似文献
11.
《中学数学教学参考》2003,(3):58-61
一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合M ={y|y =2 -x},P ={y|y =x -1 },则M∩P等于 ( ) .A .{y|y>1 } B .{y|y≥ 1 }C .{y|y >0 } D .{y|y≥ 0 }2 .若 f(x) =x -1x ,则方程 f( 4x) =x的根是( ) .A .12 B .-12 C .2 D .-23 .设复数z1=-1 +i,z2 =12 +32 i,则arg z1z2等于 ( ) .A .1 3π1 2 B .71 2 πC .51 2 π D .-51 2 π4.函数 f(x) =11 -x( 1 -x) 的最大值是 ( ) .A .45 B .54 C .34 D .435… 相似文献
12.
第九届天原杯试题第 8题及常见解法为 :原题 :测得某溶液中含Cu2 、K 、SO42 - 、Cl- 四种离子 ,且阳离子个数比为 :Cu2 ∶K =3∶4,则SO42 - 与Cl- 的个数比可能是 ( )。A、3∶2 B、1∶3 C、1∶8 D、2∶5解析 :根据电荷守恒法 ,可得其比值。设溶液中含SO42 - x个 ,Cl- y个。则 :2x 5y=3n× 2 4n× 1所以SO42 - 与Cl- 的个数比可能有以下特征 :(1 )当x=n时 ,y =8n,x∶y =1∶8(2 )当x=2n时 ,y=6n ,x∶y=1∶3(3)当x=3n时 ,y=4n ,x∶y=3∶4(4 )当x=4n时 ,y=2n ,x∶y=2∶1… 相似文献
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20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设f(x)是在定义R上的偶函数 ,其图像关于直线x =1对称 ,对任意x1 ,x2 ∈0 ,12 ,都有f(x1 x2 ) =f(x1 ) ·f(x2 ) ,且f(1 ) =a>0 .(1 )求f 12 及f 14;(2 )证明f(x)是周期函数 ;(3)记an =f2n 12n ,求limn→∞(lnan) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函… 相似文献
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汪仁友 《中学数学教学参考》2000,(7)
本刊 1 999年第 1 1期刊出邵、高两位老师对sinnxsinx下界的改进 ,本文给出定理 设n∈N ,n >1 ,0 <nx <π2 ,则sinnxsinx >1sin π2n.证明 :由已知得 0 <x <π2n.下面证明 f(x) =sinnxsinx 在区间 (0 ,π2n)上为减函数 ,事实上 ,有f′(x) =ncosnxsinx -sinnxcosxsin2 x =u(x)sin2 x,则 u′(x) =(-n2 sinnxsinx ncosnxcosx) -(ncosnxcosx -sinnxsinx)=-(1 -n2 )sinnxsinx <0 .∴u(x)在 (0 ,π2n)上… 相似文献
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本文的f(x)是定义在A上的函数 ,对于任何一个x ∈A ,都有f(ωx φ) =f(x) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,f(x)是T=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,f(x)的图像关于直线x =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,f(x)是常值函数y =f(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,f(x)又是如何的函数呢 ?设u=ωx φ ,x0 是A上的任意一个自变量值 .1)若|ω| <1,记u1=ωx0 φ ,u2 =ωu1 φ=ω2 x0 ωφ φ ,… ,un=ωun-1 φ=ωnx0 ωn-1φ … ωφ φ=ωnx0 1-ωn1-ωφ ,… .当n→ ∞时 ,un… 相似文献
16.
何仁权 《中学数学教学参考》2002,(12)
引理[1] 设整数X≥ 2的标准分解式为X =x1t1·…·xntn,则对k∈N :(1 )Xk 互异因数恰有 (kt1 1 )·…·(ktn 1 )个 ;(2 )其中 ,满足X′|Xk,且 (X′,XkX′) =1的为 2 n个 ,且X′ =Xk1,XkX′=Xk2 (X1X2 =X ,(X1,X2 ) =1 ) .定理 1 对奇数X≥ 3 ,(1 )Xk 恰有 [12 Πni=1(kti 1 ) ]([x]表示x的整数部分 )组平方差分拆数 :y =12 | XkX′-X′| ,z =12 (XkX′ X′) ,(X′|Xk) ,即Xk=z2 -y2 ;(2 ) (1 )中满足 (x ,y ,z) =1的 y、z恰有 2 n - 1组 ,且可表示为 y =12 … 相似文献
17.
《中学数学杂志》2002,(12)
一、填空题1.a ;2 .(x y 2 ) (x y -2 ) ;3 .2 0 0 3 ;4.180元 ;5.1;6.x2 -1;7. 9.12 ;8.x≤c ;9. 0 .5;10 .n 1n · (n 1)= n 1n (n 1) ;11. -3 ;12 .S =4n -4(n≥ 2 ) ;13 .a d =b c或a b =d c -14 ;14 .12 43 ;15.-1(或 0或 3 ) ;16.(32 ,32 ) ;17.3 92x -3 92x 4 0 =1;18.85.9;19.2 552 56;2 0 . 1n(n 1 ) (n 2 ) =121n(n 1 ) -1(n 1 ) (n 2 )二、选择题1.A ;2 .C ;3 .A ;4.C ;5.B ;6.B ;7.A ;8.B ;9.B ;10 .C ;11.D ;12 .A ;13 .A ;14 .D ;15.A ;16.D … 相似文献
18.
武子顺 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
一、函数与方程的思想例1 已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证数列{an}是递减数列.解:(1)∵ f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,∴ 2log2an-2-log2an=-2n,即an-1an=-2n.∴ a2n+2nan-1=0.解得an=-n±n2+1.因an>0,故an=n2+1-n.(2)∵ an+1an=(n+1)2+1-(n+1)n2+1-n=n2+1+n(n+1)2+1+(n+1)<1,an>0,∴ an+1<an.∴ 数列{an}是递减数列.二、分类讨论的思想例2 设{an}是由正数组成的一个等比数列,Sn是其前n项和,… 相似文献
19.
王炳忠 《中学数学教学参考》2000,(7):33-34
函数是贯穿于高中数学全课程的主干 ,也是高考数学命题的主要内容 .许多问题 ,如能用函数的观点去认识和处理 ,将更为深刻 ,运用起来更为灵活 .本文由高考解题浅谈函数思想 ,以提高对函数思想的认识和运用 .一、什么是函数思想请看下面的试题 :试题 1 :设 f(x) =lg1 2 x … (n -1 ) x anxn ,其中a是实数 ,n是任意给定的自然数 ,且n≥ 2 .如果 f(x)在x∈ (-∞ ,1 ]时有意义 ,求a的取值范围 .(1 990年高考试题 )分析 :如果 f(x)在x∈ (-∞ ,1 ]时有意义 ,则1n[1 2 x … (n -1 ) x anx]>0 1 2 x … (n -1 … 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.若点P(a ,b)到x轴的距离是 2 ,到y轴的距离是 3,则这样的点P有 ( ) .(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2 .直线y =- 2x + 12 不通过 ( ) .(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3.若直线y =12 x +n与直线y =mx - 1相交于(1,- 2 ) ,则 ( ) .(A)m =12 ,n =- 52 (B)m =12 ,n =- 1(C)m =- 1,n =- 52 (D)m =- 3,n =- 324 .若二次函数y =(m + 1)x2 +m2 - 2m - 3的图像经过原点 ,则m的值必为 ( ) .(A) - 1或 3 (B) - 1 (… 相似文献