一个正切不等式及其应用

定理　已知0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,若α+β<π2 ,则tanαtanβ≤tan2 α+β2 ;(1)若α+β>π2 ,则tanαtanβ≥tan2 α+β2 . (2 )当且仅当α=β时,上述两式取等号.证明　tanαtanβ-tan2 α+β2=sinαsinβcosαcosβ- 1-cos(α+β)1+cos(α+β)=cos(α- β)cos(α+β) -cos(α+β)cosαcosβ[1+cos(α+β) ]=- cos(α+β) [1-cos(α- β) ]cosαcosβ[1+cos(α+β) ].∵0 <α<π2 ,0 <β<π2 .∴cosα>0 ,cosβ>0 ,1+cos(α+β) >0 ,1-cos(α- β)≥0 ,从而可知,当α+β<π2 时,tanαtanβ-tan2 α+β2 ≤0 ,即(1)成立;当α+β>π2 时,tan…     

W·H·Young不等式在初等数学中的一点应用

命题(Young不等式)设x_1>0,x_2>O,α>0-β>0;且α+β=1.那么x_1~αx_2~β≤αx_1+βx_2,当且仅当x_1=x_2时,等号成立. 证明作函数y=logx的     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

一类分式递归数列的通项公式

本文给出一类由分式递推公式所确定数列的通项公式的求解方法 .问题 1　已知数列 { an}中 ,a1 =α,an+ 1 =λan+β,α>0 ,λ>0 ,β>0 ,求数列 { an}的一个通项公式 .解　由题设条件知 an>0 (n∈ N*) ,根据递推公式 an+ 1 =λan+β,得 an(an+ 1 -β) -λ=0 .令 bn=an+-β+β2 +4λ2 ,代入上式得 (bn+β-β2 +4λ2 ) (bn+ 1 - β+β2 +4λ2 ) -λ=0 ,即 (β-β2 +4λ) bn+ 1 - (β+β2 +4λ) bn+2 bnbn+ 1 =0 .令γ=β2 +4λ,由 an>0 (n∈ N*) ,-β+β2 +4λ>0知 bn>0 (n∈ N*) ,将上面等式两边同时除以bnbn+ 1 ,得 β-γbn- β+γbn+ 1+2 =…     

椭圆双曲线离心率的三角表达式及其应用

设椭圆、双曲线的方程分别是b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,b2 x2 -a2 y2 =a2 b2 (a >0 ,b>0 ) ,且P为其图像上的一点 ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β(0 <α <π ,0 <β<π ,F1、F2 为其焦点 ) ,则它们离心率的三角表达式分别为(1)　e椭圆 =sin(α+ β)sinα +sinβ;(2 )　e双曲线 =sin(α + β)｜sinα -sinβ｜.证明　如图 1,∵e椭圆 =ca =2c2a =｜F1F2 ｜｜PF1｜+｜PF2 ｜=2Rsin(α+ β)2R(sinα+sinβ) =sin(α+ β)sinα+sinβ,∴e椭圆 =sin(α + β)sinα+sinβ.(2 )如图 2 ,∵e双曲线 =ca =｜F1F2 ｜｜｜PF1｜-｜PF2 ｜｜=2R…     

赏析一道中考阅读型试题

湖北省黄冈市 2 0 0 1年中考数学试卷中设计了一道特别新颖的阅读型试题 :题目　先阅读下列第 (1)题的解答过程 .(1)已知α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,求α2 + 3β2 + 4 β的值 .解法 1:∵　α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,∴　α2 + 2α - 7=0 ,β2 + 2 β - 7=0 ,且α + β =- 2 .∴　α2 =7- 2α ,β2 =7- 2 β .∴　α2 + 3β2 + 4 β =7- 2α + 3× (7- 2 β)+ 4 β =2 8- 2 (α + β) =2 8- 2× (- 2 ) =32 .解法 2 :由求根公式 ,得α =- 1+ 2 2 ,β =- 1- 2 2 .∴　α2 + 3β2 + 4 β =(- 1+ 2 2 ) 2 +3× (…     

“2004”趣题四则

1 设f(x) =asin(πx +α) +bcos(πx +β) +4 ,其中a、b、α、β都是非零实数 ,若f( 1991) =5 ,求f( 1992 ) +f( 1993 ) +…+f( 2 0 0 4) 的值 .2 已知y1 =2x ,y2 =2y1 ,y3 =2y2 ,… ,y2 0 0 4=2y2 0 0 3 ,求 y1 ·y2 0 0 4.3 求证 :log2 0 0 3 2 0 0 4>log2 0 0 42 0 0 5 .4 求证 :1+12 2 +13 2 +14 2 +… +12 0 0 3 2 +12 0 0 42 <2 .参考答案1 ∵f( 1991) =5 ,∴asin( 1991π+α) +bcos( 1991π+β) +4 =-asinα -bcosα+4 =5 ,∴ -asinα-bcosβ=1,即asinα+bcosβ =-1.∴f( 1992 ) =asin( 1992π+α) +　bcos( 1992π +β) +4=asinα…     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

解三角函数问题要注意隐含条件

例1已知tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根,且α,β(-π2,2π),则α+β的值为A.π3B.-23π或3πC.-π3或23πD.-23π错解∵tanα+tanβ=-3√3,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13√-43=√3.又α,β(-π2,2π),∴α+β(-π,π).因此,α+β=-2π3或π3.选B.辨析错在忽视了tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个负根这一隐含条件.正解∵tanα+tanβ=-3√3<0,tanαtanβ=4>0,∴tanα,tanβ为方程x2+3√3x+4=0的两个负根,即tanα<0,tanβ<0.又α,β(-π2,2π),∴α,β(-π2,0),α+β(-π,0).又tan(α+β)=tanα+tanβ1-t…     

巧构等腰三角形妙证两角互余题

题　若 b>a>0 ,　bsin2 α=asin2 β,bcos2 α acos2 β=b,α,β∈ (0 ,π2 ) .求证 :α 2 β=π2 .此题常规的证明方法是利用已知条件先证明 cos(α 2 β) =0 (或 sin(α 2 β) =1 ) ,再利用余弦函数值等于 0 (或正弦函数值等于1 )的角 α 2 β在 (0 ,3π2 )内只有 π2 来证 .事实上 ,若联想所给条件的几何意义 ,便可构造等腰三角形 ,巧妙地加以证明 .证明　∵ bcos 2α acos 2β=b,∴acos2 β=b(1 - cos2 α) >0 .由 β∈ (0 ,π2 ) ,知 2 β∈ (0 ,π2 ) .由 bcos 2α=b- acos 2β>a(1 - cos 2β)图 1>0及 α∈ (0 ,π2 )知 2 α∈…     

具非线性中立项时滞微分方程解的振动性

研究了具非线性中立项时滞微分方程[x(t)-p(t)x^n(t-τ)]’ q(t)x^3(t-σ)=0，t≥t0，解的振动性和非振动性，推广了已有的结果并获得一些新的结果。     

三相非线性负载时中线谐波电流和电压分析——兼论医院电气设计中的谐波治理与接地系统的关系

通过对三相非线性负载时正弦电流畸变波形的数学分析,论证中性线上存在剩余基波和谐波电流,以及中性点上谐波电压存在的原因,给出三相电源负载与中性点上电压的关系式,为三相非线性负载下接地系统的选择提供参考依据。     

基于B－S模型的期权交易风险防范策略

期权交易者在享受交易带来的高额利润同时,也面临着极大的风险,一类是系统性风险,一类是非系统性风险．主要针对系统性风险,通过理论结合实例,考虑利用Delta套值保值、Gamma中性保值和Vega中性保值来防范交易风险,使投资者在规避市场风险时能有一个基本认识和方向选择．     

谈英语口译中几点技巧

本文主要从特殊语言手段的运用，数字的口译技巧，成语、谚语的巧妙翻译这三个方面，谈了英语口译中的几点技巧，阐述了语言文体特点在英语口译中的重要作用。     

断零的危害及其防范

在三相四线制配电回路中,有时会发生某一相或两相设备大量烧坏的情况,一般会被认为是三相负载不平衡造成三相电压不平衡引起的,这一结论显然是不完善的.必须考虑到三相不平衡负载状态下的零线断路同样可以造成这种危害.因此,防止三相四线制配电回路断零事故的发生,具有更广泛的意义.     

三相四线制低压配电系统零线故障对安全用电的影响及保护措施

推导出了在不同的零线阻抗下，各相用电设备的电压和中性点偏移电压的计算公式，讨论了零线故障对安全用电的影响，并提出了一种保护方式。     

一般退化中立型微分系统的解

讨论了一般退化中立型微分系统的解．对于退化矩阵刀不是方阵的情形，利用{1}-逆给出了一般退化中立型微分系统可正常化的条件以及可正常化方程解的一般表达式．     

一类含高阶Laplace算子非线性时滞中立型双曲偏微分方程解的振动性

研究一类舍高阶Laplace算子非线性时滞中立型双曲偏微分方程解的振动性,建立了该方程在给定边值条件下振动的若干充分条件.     

一阶中立型线性微分差分方程的非振动解的类型及判别

本文讨论一阶中立型线性微分差分方程其中,给出了方程(1)非振动解存在的类型,得到了方程(1)存在A_K型非振动解的充要条件和存在A_o型非振动解的充分条件.     

一阶中立型差分方程的振动性

研究了一阶中立型差分方程 △[x（n）-px（n-τ）]＋qx（n-σ）=0 的振动性,其中P∈（0,1）,q,τ,σ是正常数,利用适当的不等式和特征方程,建立了方程解的新振动准则．