一道常见复数题的推广及其应用

1 对一道常见的复数题的推广 下面是一道常见的复数题,我们记作 命题1 若z是非零复数,那么 z 1/z是实数的充要条件是z是实数或│z│=1. 推论 若z是虚数,则z 1/z是实数的充要条件是│z│=1. 很自然地,我们会思考式子z 1/z中的常数若不是1而是任一正实数α,将会推得什么结果?于是,有: 命题2 若z是非零复数,a∈R~ ,则z a/z∈R的充要条件是z是实数或│z│~2=a. 证明 充分性显然,下证必要性.     

全国高考数学理（18）题解法探析

题目 :已知复数 z1 =i( 1 - i) 3,( )求 argz1 及 | z1 | ;( )当复数 z满足 | z| =1 ,求 | z- z1 |的最大值 .上述第 ( )题比较直观 ,可直接求得 .z1 =i( - 2 - 2 i) =2 - 2 i=2 2 ( cos7π4 isin7π4) ,从而 argz1 =7π4,| z1 | =2 2 .而第 ( )题则是复数模的最值问题 ,本文对其分析探究 ,给出下面六种解法 :解法 1　 (代数法 )设 z=a bi,( a,b∈R) ,则由条件知 a2 b2 =1 ,∴ | z - z1 | =( a- 2 ) 2 ( b 2 ) 2 =9- 4 a 4 b.令 y=- 4 a 4 b,与 a2 b2 =1联立并消去 a,可得 32 b2 - 8yb y2 - 1 6 =0 ,则由题意有 Δ=6 4y2 -…     

不等式｜｜z_1｜-｜z_2｜｜≤｜z_1±z_2｜≤｜z_1｜+｜z_2｜的建立与证明

教师 :设z1 、z2 是非零复数 ,如何用几何方法作出复数z1 +z2 对应的向量 ?学生 :分别作出复数z1 、z2 对应的向量OA、OB ,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB ,则向量OC就是复数z1 +z2 对应的向量 .如图 1所示 .教师 :图 1所给出的解答完善吗 ?学生 :不完善 .当向量OA、OB共线时 ,平行四边形OACB就不存在了 .对角线向量OC也就随之消失 .因此 ,这时不便用平行四边形法则来作出z1+z2 对应的向量 .教师 :此时 ,如何作出z1 +z2 对应的向量 ?学生 :先作出复数z1 对应的向量OA ,然后以A为起点作向量AB ,使AB与复数z2 对应 ,则向量OB就…     

两道高考题的原型与推广

1999年全国高考理科第20题、科第21题分别为：(1)设复数z=3cosθ i2sinθ，求函数y=θ-argz(0<θ<π／2)的最大值以及对应的θ值．     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

优化一道题的解法

成都市98届一诊22题:满足等式z(?) 2i((?)-z) 2=0,且 arg(z-2)=π/4的复数 z 是否存在?若存在,求满足以上条件的 z,若不存在,说明理由.这是一道探索性题.原解答是设当 z 的代数式 z yi(x、y∈R)得出二元一次方程组,研究解的情况由此得出结论计算量较大.     

辐角&#183;转角&#183;夹角

设非零复数z1，z2在复平面内对应的向量为^→OZ1、^→OZ2，它们所形成的夹角∠Z1OZ2(0&lt;∠Z1OZ2&lt;π)与^→OZ1转到^→OZ2的角、z1/z2的辐角主值argz1/z2之间联系密切，又不易区分，     

一道IMO备选题的几个新证法

第31届IMO中有这样一道备选题：设a，b，c，d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证近几年来．中学数学刊物上经常介绍这一选题的各种证法（参阅本刊93年第11期P37），本文将给出它的几个新证法．为了行文方便，我们记待证式左端为I，令a b c d=e、a2 b2 c2 d2=E证1利用柯西不等式，证2利用二元均值不等式．四式相加，得证3利用配方法．证4利用基本不等式a2 b2≥2ab（a、b∈R）的变形：a（a-b)≥b(a-b）等号当且仅当a=b时成立．一道IMO备选题的几个新证法@王福楠$昆山市正仪中学…     

复数向量旋转及其应用

设复数 z=a b_i对应向量 (?),将它逆时针旋转一个角度θ就得到 z_1=z(cosθ isinθ)所对应的向量(?).现举例说明这一原理的应用.     

思考题(六)

题17.设e相似文献   

求解复数模和辐角的一个重要公式

若设两个非零复数为该公式简单易证，下面谈一谈该公式的一些应用：一、求解复数的辐角问题公式（·）可变形为，用上述两种变形形式求解辐角问题异常方便．的辐角主解设由公式（1）例2若虚数z_1，z_2满足解设例3若复数Z_1,Z_2满足此时显然成立例4已知复数Z满足辐角为o，求证：(k为整数)．由于Z的辐角为O．则1/z的辐角为亦即为整数）例5已知在复平面上三个不共线的点所对应的复数为z_1、z_2、z_3其中z_1的辐角主值为0；z_2、z_3的辐角主值是α、β，且z_1 z_2 z_3=0，为何值时，cos（β—α）有最大值？解由题知当m=2时，2m（4-m)取得最大…     

点的坐标变换公式的复数求法

在学习点的坐标变换的求法时，表面看起来公式复杂且难记，有的甚至分不清新；日坐标．事实上，当我们学习了复数、向量之后，点的坐标变化就不用死记公式了，下面介绍点的坐标变换的复数求法．复数对应的向量为，P1、P2的坐标为，则有，对应的向量，P点的坐标为，如图1，由此得复数z1乘以z2的几何意义：在复平面内，分别画出z1、z2对应的向量，把．绕坐标原点旋转逆时针，顺时针），再把模变为原来的倍，所得的向量对应的复数就是z1反之，若将一向量的模变为原来的λ倍，再绕其端点旋转角得到新向量，那么此向量所对应的复数就是把原来向…     

对一道复数方程题的解法分析

贵刊文（*）中例2是一道复数方程题:已知复数z的模|z|=1,且z~(11) Z=1,求Z.(1988年苏州竞赛题)文（*）所给解法如下:由条件得z~(11)=1-z,两边取模得|z~(11)|=|1-z|.∵|z|=1,∴|z~(11)|=1,于是|z|~2=|1-Z|~2,即zz=(1-z)(1-z）=1-z-z zz,∴z z=1.令z=a bi代入上式,得 a=1/2,由 a~2 b~2=1,得b=±(3~1/2)/2,∴z=1/2±(3~1/2)/2i.文对这种解法进行了概括:“此例采用复数取模,使复数转化为实数,又在新层次上将实数转化为复数”.     

几何问题的复数解法例说

一个复数z=a bi,(a,b∈R),对应着复平面上唯一的点Z(a,b),也对应着复平面上唯一的从原点出发的向量OZ;反之亦然。从而可以用几何思想来解释复数问题,也可以用复数方法来研究几何问题。下面我们通过例子来说明怎样用复数方法来处理几何问题。 一、计算与求值 例1 直角三角形ABC中,∠C=π/2,BC=AC/3,点E在AC上,且EC=2AE,求∠CBE ∠CBA。     

两道竞赛题的简证

1 2007年全国高中数学联赛一试试卷中的第13题是： 设an=k=1∑n1/k（n＋1-k）,求证：当正整数n≥2时,an＋1〈an．文[1]对此题的两种证法,笔者认为过程较复杂,下面给出简证：     

热学综合训练题

例7．已知复数z1=2-(3的平方根)a ai，z2=(3的平方根)-1 ((3的平方根)-b)i的模相等，且z2/z1的辐角为π/2，求实数a、b。     

利用不等式证明等式

众所周知；a=5的一个充要条件是a≥b且a≤b.利用这一事实证明有关恒等式，思路别致，独树一帜．下面举例说明．例1（1983年合肥市数学竞赛题）在是直角三角形证将已知等式变形，得由(2)知，A、B均为锐角，于是综合(2)、(3)，命题获证．例2已知a、β、γ为锐角.且cosa=证由对称性，不妨设将题设代入(2)，得比较(1)、(3),得由β=γ及题设命题获证．例3已知证由已知不等式，得两式相乘，得例4在矩形ABCD中，BC=2AB，E为AD上一点，且∠DCE=15°，求证：BC=BE.证如图1结合假设假设BE≤BC，则上述推理过程中不等号均反向，导出BC≤BE…     

对理科(20)题的思考

1999年高考理科(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ,求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.笔者参加了此题的高考阅卷工作,对此题的各种解法,错识情况,能力要求等方面作了一些思考,形成此文.1 试题背景此题是以考查复数为背景,求角的最值.立意是考查     

向量的四个法宝在解题中的应用

向量是近代数学中最有用的代数结构之一.向量理论在数学中有着广泛的应用是进一步学习数学的基础（如为学习三角、复数、解析几何等作准备）.向量既能体现"形"的直观的位置特征,又具有"数"的良好的运算性质,所以它是数形结合和转换的重要桥梁.题目:当函数y=sinx-3^1/2cosx（0≤x<2π）取得最大值时,x=_<sub><sub><sub>.此题主要考查两角差的正弦公式以及正弦函数的有关性质,试题难度较小.现在对此题换个求解方法.设m=(1,-3^1/2),n=（cosx,sinx）,y=sinx-3^1/2cosx=m·n≤|m||n|=2,当m与n同向共线时取等号.此时x=5π/6.此题用向量法求解,可以化繁为简、化难为易,可     

一个复数命题的推广

文 [1 ]得到如下命题 (本文称命题 1 ) :命题 1　 z∈ C且 | z| =1时 ,方程 zn z=1有解当且仅当 n=6 k- 1 (k∈ Z) ,且其解为 z=12 ± 32 i.本文将命题 1推广得下面的命题 :命题 2　复数 z,z0 满足λ| z0 | =| z| =1(λ>12 ) ,复数 A=12 λ2 - 14i,记 argz0 =θ,arg A=θ1 ,则方程 zn z=z0 . (*)当且仅当 n(θ θ1 ) =(θ- θ1 ) 2 kπ成立时 (n,k∈ Z) ,方程 (*)的一个解为 z=z0 A;当且仅当 n(θ- θ1 ) =(θ θ1 ) 2 kπ成立时 (n,k∈ Z) ,方程 (*)的一个解为 z=z0 A.证明　∵ λ| z0 | =| z| =1∴ | zn| =1 ,| z0 | =1λ.…