用二次函数的图象求一元二次方程中的参数

周知,一元二次方程ax~2÷bx c=0(a≠0)的根与二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象之间有着密切的联系。在探求二次函数的图象与x轴有无交点的的问题中常利用一元二次方程的根的情况来考察;反之,也可以从二次函数的图象的某些特征来考察一元二次方程的根的情况。本文对系数含参数的一元二次方程已知根的某些性质,利用二次函数图象的特征来求出参数这个问题作一探讨。 例1 已知关于x的方程2x~2-6x 3m=0的两个实数根都大于1,求m的取值范围。 分析:学生往往用韦达定理来解如下: 设方程2x~2-6x 3m=0的两根为x_1、x_2。     

三次方程根的个数初探

三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3 bx2 cx d=0(a>0)的根.分析:函数y=ax3 bx2 cx d的图象与x轴有几个交点,方程便有几个根.解:由题意得:f′(x)=3ax2 2bx c∵a>0∴y=f′(x)图象开口向上,且Δ=4b2-12ac(1)当Δ>0时,即4b2-12ac>0,b2>3ac时∴方程f′(x)=0有两个不同的实根,x1,x2不妨设x1x2时f′(x)>0,x1相似文献   

巧代妙证一道高考压轴题

<正>题目(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ax~2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x_0,且e~(-2)相似文献   

培养学生逆向思维的途径

1利用概念教学,渗透逆向思维例1已知函数f(x)=(m-1)x~2- mx 2是偶函数,比较f(0．75)与f(a~2-a 1)的大小．解：由f(x)=(m-1)x~2-mx 2,得f(-x)=(m-1)x~2 mx 2．又f(x)为偶函数,所以(m-1)x~2-mx 2：(m-1)x~2 mx 2,则m=0,所以f(x)= -x~2 2．所以f(x)在[0, ∞)上为减函数．又a~2-a 1=(a-0．5)~2 0．75≥0．75,所以f(0．75)≥f(a~2-a 1)．     

一道高考题探源

2007高考广东卷理科压轴题已知函数f(x)=x~2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是f(x)的导数.设a_1=1,a_(n 1)=a_n-(f(a_n)/(f′(a_n)))(n=1,2,…).     

利用投影法讨论二次方程的根和函数极值

二次方程之根的分布及个数,可经过计算求出,但学生往往因考虑问题不全面会产生遗漏,通过复合幻灯片,多方位地引导学生观察,寻找规律,可引起兴趣,使其条理分明,迅速地解题。例1 k为何值,7x~2-(k+13)x+k~2-k-2=0两根分别在(0,1)与(1,2)之内。 [投影演示] 图1,抛物线与横轴交点A、B在于(0,1)、(1,2)之间。解:设f(x)=7x~2-(k+13)x+k~2-k-2,从图象可以看出:     

挖掘二次函数的一个重要性质

这里挖掘二次函数的一个重要性质以及在解题过程中的具体应用.性质如果二次函数f(x)=ax2 bx c(a≠0)有两个不相等的实数根x1、x2且x10.b2-4ac>0.证明:①由二次函数有两个不相等的实数根x1、x2.故原二次函数可写为f(x)=a(x-x1)(x-x2)且b2-4ac>0.由x10,x-x2<0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)<0,其逆也真.②由x0,x-x2>0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)>0且b2-4ac>0.其逆也真.(得证)图1图2我们从二次函数的图象也可以直观地看出:当a>0时(如…     

借助圆锥曲线求一类无理函数值域

形如f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)这类无理函数与圆锥曲线有密切联系,本文介绍借助圆锥曲线求其值域的两种方法。 1图象法 对于函数f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2为常数,且a_2≠0),若视f(x)为参数m,则原函数式为a_1x~2 b_1x c_1-m=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2),令y=a_1x~2 b_1x c_1-m和y=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)的图象分别为T_1,T_2,则当a_1=0时。T_1为直线,当a_1≠0时T_1为抛物线,由y=     

错在哪里

<正>题目已知函数f(x)=3~(x-b)(2≤x≤4)的图象过点(2,1),则F(x)=[f~(-1)(x)]~2-f~(-1)(x~2)的值域为______.错解由题意得f(2)=3~(2-b)=1,所以b=2,f(x)=3~(x-2).因为函数f(x)的定义域为2,[4],所以2≤f~(-1)(x)≤4,0≤log_3x≤2,又F(x)=[f~(-1)(x)]~2-f~(-1)(x~2)     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

错在哪里

题:已知二次函数 y=x~2 (m 4)x-2(m 6),当m为何值时,其图象与x轴的两个交点都在(1,0)点的右侧?(1989年安徽中考题) 解:设二次函数图象与x输的二交点的横坐标为x_1,x_2,则x_1>1,x_2>1。 x_1 x_2>2 ∴ {x_1·x_2>1 由书达定理即有: △>0 -(m 4)> 2 {-2(m 6)>1 (m 4)~2 8(m 6)>0 m<-6解得: {m<- 6.5 m≠-8     

解恒成立问题的几种主要方法

解函数综合题时,经常能遇到含参数不等式恒成立问题,处理这样的问题对解题能力的要求比较高,本文介绍几种处理恒成立问题的几种主要方法.一、特殊值法若函数f(x)>0(或f(x)<0)对x∈A恒成立,则对特定的x0∈A,有f(x0)>0(或f(x0)<0)【例1】已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意的m,n∈R,恒有f(m n)=f(m) f(n),当x>0时f(x)<0恒成立,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性和单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的值域.解:(1)在f(m n)=f(m) f(n)中,令n=-m得f(0)=f(m) f(-m),在此式中令m=0得:f(0)=f(0) f(0)则f(0)=0∴f(m) f(-m)=0即f(-m)=-f(m),对一切m∈R恒成立.…     

例说用对称观点解题

运用对称观点分析、解题常使某些数学问题的解决快捷、简明,值得探讨,本文仅以几例说明。一利用图形的对称性质例1 求f(x)=(x~2-4x+8)~(1/2)+(x~2+6x+25)~(1/2)的最小值。解:将原函数变为: f(x)=((x-2)~2+(2-0)~2)~(1/2)+((x+3)~2)+[2-(-2)]~2)~(1/2) 令y=2 于是问题转化为在直线y=2上求一点,使得这点到A(2,0),B(-3,-2)的距离之和为最小。由平几知识知:取A关于y=2的对称点A′(2、4)。 f_(min)(x)=|A′B|=61~(1/2) 例2 f(x)满足条件f(1-x)=f(1+x),且知f(x)在定义域内有11个根、求各根之和。由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称。由f(x)与x轴有11个交点,由对称性知:     

利用二次函数图象解一类含参变元的问题

含参变元的问题求解是中学数学教学中的难点,本文试图探讨一类通过构造函数、分析图象特征,可以利用二次函数图象作出简易解答的问题的解题规律。例1 已知方程asin~2x+sinx-a-2=0,其中a是不为0的可变常数,x∈[0,2π),试根据a的变化讨论方程的解。分析:按惯例,用求根公式 sinx=(-1±(4a~2+8a+1)~(1/2))/2a,然后根据|(-1±(4a~2+8a+1)~(1/2))/2a|≤1来讨论解的情况,这种解法比较麻烦。现试构造二次函数f(x)=ax~2+x-a-2f(x)=a(x~2-1)+(x-2),因为对于任意a,函数通过两个定点(1,-1),(-1,-3),作出图象,使原方程有解的函数图象必须如下所示,根据图象性质可得出有解     

怎样证明函数图象恒过定点

1 直线或曲线恒过定点的理论依据 1.1 由"f1(x,y) g(m)·f2(x,y)=0"求定点 在平面上如果已知两条曲线(包括直线)C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0相交,则f1(x,y) g(m)f2(x,y)=0的图象过C1,C2的交点.     

求一类二元函数最值问题的解析方法

在中学数学中,有一类形如二元函数f(x,y)满足条件g(x,y)≥0(或g(x,g)>0,或g(x,y)=0)的最值问题。求此类二元函数的最值时,如巧用解析几何知识,并借助图形的直观形象,就会得到令人满意的解答。它的一般步骤是: (1) 令f(x,y)=k; (2) 求k的取值范围,使区域g(x,y)≥0(g(x,y)>0)或图象g(x,y)=0与f(x,y)=k的图象有公共点; (3) 从这个范围内求f(x,y)=k的最大、最小值。下面举例说明: [例1] 设x~2 y~2≤4,试求3y-4x的最大值和最小值。     

巧用数形结合 解决方程问题

数形结合是一种重要的解题方法,在解决一些方程类问题时,若能利用数形结合,则往往简捷明快,这里举出几例。 1 在含参数方程中的应用 例1 若关于x的方程 7x~2-(p 13)x p~2-p~2-2=0的两根α、β满足0<α<1<β<2,求实数p的取值范围。 解 令f(x)=7x~2-(p 13)x p~2-p-2,则原程的两根。α、β就是抛物线y=f(x)与x轴交点的横坐标。要使方程的两根符合条件,就必须使抛物线与x轴的两交点分别在x轴上的区间(0,1)与(1,2)内,又因抛物线开口向上,故有     

课本变式题库

解:由反函数的意义知,求f~(-1)(1)的值,相当于解方程f(x)=1,即解方程1g(x~2 11x 8)-1g(x 1)=1。 解这个方程,得x_1=-2,x_2=1,检验知x=-2是增根,所以,x=1是原方程的解,故f~(-1)(1)=1。     

一类区间上参数取值问题的解法

含参数的一次函数、二次函数在某区间上根的问题,是初中学习中综合性较强的内容.此类题目的解答一是有其特殊的方法,另外如果不填容易出现错误.现举例如下:例1已知函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上存在x0,使f(x0)=0,求实数a的取值范围.分析易知f(x)的图象在区间[-1,1]上为一条线段,且这条线段与x轴有交点.应该满足f(-1)·f(1)≤0,即(-5a+1)(a+1)≤0,解得a≤-1或a≥51.例2已知方程x2+(m-2)x+2m-1=0有具只有一个实根在(0,1)内,求实数m的取值范围.分析令f(x)=x2+(m-2)x+2m-1=0,图象为开口向上的抛物线,要使f(x)=0有具只有一个根在区间(0,1)内,…     

用函数思想探求高考试题

运用运动和变化的观点分析和研究具体问题的数量关系,通过函数的形式,把这种关系表示出来并加以研究,从而使问题获得解决,这种思想方法,叫做函数思想法。纵观近几年的高考试题,笔者发现有许多命题与函数思想法有着较为密切的联系。下面举例说明。 例1 已知(1-2x)~7=a_0 a_1x …a_7x~7,那么a_1 a_2 … a_7= (1989年试题) 解:没函数f(x)=(1-2x)~7,则f(x)=a_0 a_1x … a_7x~7,又f(1)=a_0 a_1 a_2 … a_7=-1,f(0)=a_0=1, ∴a_1 a_2 …a_7=f(1)-f(0)=-2. 例2 解不等式.(1985年试题) 解:设函数,则此函数的定