解分式方程的思想方法和常用技巧

解分式方程的基本思想是：通过适当的变换把分式方程转化为整式方程求解。转化的基本方法是去分母．但如何去分母，则大有文章可作．去分母得当．求解简捷；去分母不当，求解繁难。因此需要学习和掌握分式方程的常用技巧．一、两边分别通分化简后再去分四例1解方程分析若直接去分母，则运算量较大；若方程两边分别通分，比简后再去分母，则运算简捷．解原方程可变形为去分母，得再化简，得6X一u．．”．x一3．经检验知，X一3是原方程的解．二、拆（添）项比简后再去分母例2解方程：分析若直接去分母，则运算繁杂；若拆项化简后两边分别通分…     

巧用通分法解分式方程

《分式》一章介绍了可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．在解题时,如果遇到（或者可以化为）形如的分式方程．若ａ－ｂ＝c－ｄ,这类分式方程采用去分母的方法来解比较繁难;若采用方程左、右两边各自通分的方法,则能找到解题的捷径．请看下面几例．例１解方程：分析直接去分母运算太繁,方程两边各自通分,可化繁为简．解方程两边各自通分,得解之,得经验验,是原方程的解．例２解方程：分析此方程的特点是：各分式的分子和分母的次数相同,这样的方程一般可将每个分式化成整式与分式的和的形式,使分子降次后再用各自通分法求解…     

分式方程的特殊解法

有些分式方程，若按照一般的方法去解，往往需要进行繁琐的计算，而且有时还会出现难解的高次方程；如果注意它们的结构特征，用特殊的方法来解，则能化繁为简．下面介绍几种方法，供同学们参考：例１解方程：分析方程两边各自通分，原方程可变为所以（Ｘ＋２）（Ｘ＋４）＝（Ｘ－６）（Ｘ－４）．整理得１６Ｘ＝１６．Ｘ＝１，经检验，Ｘ＝１是原方程的解．例２解方程：分析将方程中分子的次数降低，原方程可变为整理得用两边各自通分法解方程得Ｘ＝７．经检验知Ｘ＝７是原方程的解．例３解方程：分析将方程两边分别加减常数，即将原方程中…     

打破常规灵活求解──分式方程巧解四例

解分式方程的主要思想是通过去分母，化分式方程为整式方程．但是，对于某些分式方程，若按这种常规解法，将不胜其烦．若能根据方程的特点，打破常规，施以特殊方法，常能化难为易，化繁为简，达到灵活求解的目的．下面举四例加以分析．例1解方程分析若直接去分母，比较麻烦；若将方程两边分别通分，则十分简捷．用方程两边分别通分，得于是有一X＋3一0或（X－5）（。·－6）一（l－7）（一8）．由一X＋3＿0得Xl一3．由（X－5）（X－6）一（X－7）（X一8）得13。。一z”经检验x；一3、X。一tr都是原方程的根。一———一‘—”一“2”…     

解分式方程的思想方法

解分式方程的基本思想方法是通过去分母,把分式方程转化为整式方程来求解;或通过换元,将复杂的分式方程转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程来求解．例回解方程：解方程两边同乘以（X－4）（X－5）,得2x（x－4）＋x－5＋1＝x2－9x＋20．移项、化简、整理,得x2＋2X-24＝0．解此整式方程,得X1＝4,x2＝-6．经检验知x＝4是增根．原方程的解是x=-6．分析此方程若采用去分母的方法转化为整式方程,则将得到一元四次方程．这是很难求解的,因此此题宜用换元法．先把它转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程…     

细观察 勤思考 妙解题

解分式方程的一般方法是通过去分母，化分式方程为整式方程．但这样解有时很繁，而且可能会产生增根．由于某些分式方程在形式结构或数值上都具有一定的特点，如能细心观察、勤于思考，就能找到较好的解题方法，提高我们分析问题、解决问题的能力．例１解方程：分析此方程的特点是分子分母中二次项系数相同；一次项系数与常数项互为相反数．左右两分式的分子与分母各自相加可消去一次项与常数项、保留相同的二次项．解方程两边同时加上１，得根据分式相等的条件得ｘ１＝０或ｘ２－ｘ＋１＝ｘ２＋ｘ－３≠０．解得ｘ２＝２（这样解可以不验根…     

解分式方程的简捷方法

解分式方程的基本思想是去分母转化为整式方程求解．常用的转化途径是在已知方程的两边都乘以最简公分母．在具体实施过程中，对于某些分式方程，若巧用一定的方法，可使求解过程更简捷，一、观察分析法例1解方程分析因方程主、右两边分式的分母相同，所以可采用光移项、合并的方法．解移项，得经检验知X＝1为已知方程的解．二、等式性质法例2解方程分析该方程左、右两边分式的分子、分母各相差一个常数，为此，可利用等式性质求解．解根据等式性质，已知方程可化为解之，得X＝1经检验知X一11为已知方程的解．例3解方程分析注意2。解已知…     

分式方程的简捷解法

解分式方程的基本思路是去分母转化为整式方程来求解．但对于某些分式方程,若应用基本方法求解,则变形过程较繁杂;若采用一些技巧,可使求解更简捷．一、巧观察Lx一JLx－J解观察方程两边分式的分子与分母,可经检验,x。4是原方程的根二、巧加减解已知方程两边同减去2,得经检验,。＝】是原方程的解·三、巧拆项创3解方程：解将第二个分式拆项,得经检验,X＝1是原方程的根．四、巧提取解原方程化为经检验,。＝5是原方程的根．五、巧降次解由多项式除法,将已知方程变形,得经检验,x＝9是原方程的根．六、巧通分侧6解方程：（W4P10…     

解分式方程的若干技巧

解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程．然而，有些特殊分式方程单用这一方法，往往会出现高次方程，使求解陷入困境．如果善于抓住分式方程的结构形式和数值特点去分析、联想，那就可以得到巧妙的解法．兹介绍几种常用的解分式方程的技能技巧并结合实例加以说明．一、根据分式性质“”拆项例１解方程：分析若直接去分母，运算较复杂．根据分式性质拆项可简化运算过程．解原方程可化为以下验根均略去．二、利用分式相等的条件例２解方程：解原方程左边通分，方程可化为时分母为Ｏ，故原方程无解．２．若干一Ｍ，则Ｍ──０ａｔ…     

解分式方程要注意的几个问题

在学习解分式方程时,同学们要注意以下几个问题．一、注意分母中字母和数字的顺序有些同学在解分式方程时,往往不仔细看清分母中字母和数字有何关系,不分青红皂白急于去分母,导致解答非常繁琐,并出现错误．例如,解方程：（课本Ｐ９８练习１（２）小题）分析首先应该利用符号法则将原方程化为了,再以分母的最小公倍式２x－５乘方程的两边,去掉分母,化为整式方程,然后求解（具体解答过程留给同学们自己完成）．有的同学却不考察规律,两边同时乘以.于是使变形后的方程变得较复杂,解题很容易出现错误．二、注意去分母时不要漏掉某一…     

用通分方法解一类分式方程

形如或可化成形如的分式方程，若a－b＝c－d，那么这类分式方程的求解，可采用方程左、右两边各自通分的方法．这样，容易找到解题的路径，将其巧妙、迅捷地解决．解通分，得解之，得X＝4经检验知X＝4为已知方程的解．解移项，得经检验知为已知方程的解例4解方程解拆项，得解之，得X＝7．经检验知x一7为已知方程的解．值得一提的是，当。一b学C－d时，形如或＿，，＿。、＿，，＿1111L。，。＿－‘—’一”””x士a王士bJ士XX土d”“”“一方程的求解，也可采用方程在、右两边各自通分的方法．只是，我们最后求解的整式方程不是一元一次…     

巧转化 妙解题

有些分式方程,用一般方法解很繁琐,往往要使用一些技巧,而这些技巧的实质就是转化,归纳起来,主要有以下两类．一、化异分子为同分子分析注意到各分式的分子分母中二次项系数相同,一次项系数与常数项分别互为相反数．故左右两分式的分子与分母各自相加可消去一次项与常数项,保留相同的二次项．解方程两边同时加上1,得根据分式相等的条件,得Zx‘二0或xZ＋x－3＝xZ－x＋l．解得xl二0,12二2·经检验,＝l二0,12＝2都是原方程的根．例2解方程：分析方程左右两边的两个分式的分子都是1,分母都相差2,故方程两边各自通分,即可得分子…     

分式方程和无理方程的解法

一、知识要点1．分式方程和无理方程的概念．2，分式方程和无理方程的解法，3．解分式方程和无理方程都必须检验．4检验的方法．二、解题指导例1解方程；（广西，1994年）（上海，1994年）（吉林，1994年）分析本例是考查分式方程的解法．解分式方程的指导思想是：通过去分母或换元，将分式方程转化为整式方程或较简单的分式方程．（1）去分母，得），即解此方程，得，经检验知是增解，原方程的解是（2）宜用换无法，设y=x2＋x，则原方程变形为y＋1一？一0，再去分母，得，’Wey—2一队”y解之得y；一1，y：—一又将y的值分别代人所设式，…     

抓特点巧解一元一次方程

一、巧去分母例１解方程ｘ＋４０．２－ｘ－３０．５＝１．６。分析：特点是方程左边分母都是小数,０．２×５＝１,０．５×２＝１,故应用分数基本性质对方程中分数作变形,可实现去分母。　　二、巧去括号例２解方程３２〔２３（ｘ４－１）－２〕－ｘ＝２。分析：特点是方程中３２与２３互为倒数,故利用倒数先去中括号,同时实现去掉小括号。　　三、巧并同类项例３解方程ｘ－１３〔ｘ－１３（ｘ－９）〕＝１９（ｘ－９）。分析：特点是利用方程中含（ｘ－９）的整体,合并同类项。　　四、巧拆项例４解方程２ｘ－１３－１０ｘ…     

“别开生面”去分母

解分式方程的关键在于去分母．为此，课本介绍了在方程的两边都乘以最简公分母的方法约去分母．本文以课本题为例，针对题目的特征．介绍几种有别于课本去分母的“妙招”，供参考．一、移项合并法俐1解方程（九义教材代数第二册P96。第1（1）题）合并，得．显然原方程无解．说明两个相同的数x－3的商为1，不可能等于2，故原方程无解．二、分子相等法2。，一3（X－6〕．解得X一18．经检验t。一18是原方程的根．说明两分式相等，且分子相等，则分母必相等．三、比例性质法例3解方程！＝－＼．八剜1）。。v。U。’。I。J，JZ解原方程化为5…     

分式方程解法种种

分式方程的解法很多．解题时，若能根据方程的特点，灵活选择解法，将优化解题过程，提高解题速度，收到事半功倍的功效．现举例说明分式方程的几种解法如下：一、去分母法这是一种基本的、常规的解法．解方程时，用各分式的最简公分母去乘方程的两边，约去分母，化为整式方程求解．＋ha·各分式的最简公分母为（X＋2）（X－Z），用它乘方程两边，可约去分母，化为整式方程．要注意，用最简公分母乘方程两边时，别忘了它与1相乘．二、换无法含有倒数关系的分式方程，可设其中的任意一个为新未知数y坝u原方程变为ax＋yC，再把它化为一元二…     

例谈分式方程的解法与技巧

解分式方程的一般方法是通分去分母化为整式方程，而有些特殊的分式方程，如果千篇一律地采用通分去分母，则往往运算量较大，且易出差错，以致难以求解．若能根据分式方程的具体结构特点，灵活选用适当的解法与     

应用分式方程增根解题

在解分式方程时,由于去分母将分式方程化成整式方程后,末知数的取值范围扩大了,因而容易出现增根．而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根,同时还使其最简公分母的值为零．根据分式方程的这一特性可巧解一些数学问题．现举例说明如下：一、求参数的值。。,,、。。,、,,。。。、。x－3m例1去分母解关于。的方程W＝H产生增根,则m的值是（）（A）2;（B）l;（C）－l;（D）以上答案都不对．（1993年天津市中考题）解由于原方程去分母产生增根,所以X－2一队：·X＝2．又原方程去分母,得。＝。－3…．m＝2－3＝－l．故应…     

成果集锦

成果集锦一类分式方程的解初中代数中有很多分式方程都可归结为１ｘ－ｍ－１ｘ－（ｍ＋ｋ）＝１ｘ－ｎ－１ｘ－（ｎ＋ｋ）．（１）通分、求解,可知当ｍ≠ｎ,且ｋ≠０,ｋ≠｜ｍ－ｎ｜时,方程（１）有唯一解ｘ＝１２（ｍ＋ｎ＋ｋ）．例如,方程１ｘ－１－１ｘ－４＝１ｘ...     

分式方程的几种巧妙解法

解分式方程的一般方法是通分去分母,化分式方程为整式方程．但对一些结构较特殊的分式方程,如果干篇一律地采用通分去分母,往往会使未知数的次数增高,或使运算变繁,增大解题难度,甚至难以求解．因此要善于观察分式方程的具体结构特点,灵活选用适当的巧妙解法,会使问题化繁为简,化难为易,迎刃而解,收到事半功倍的奇效．现归纳几种常见巧解策略,举例说明如下：