判别式的应用

知识链接　　①一元二次方程根的判别式Δ >0 方程有两个不相等的实数根 ;②Δ =0 方程有两个相等的实数根 ;③Δ <0 方程没有实数根 .一、不解方程 ,判断一元二次方程根的情况例 1　方程ｘ2 -ｘ + 2 =0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不相等的实数根(Ｂ)有两个相等的实数根(Ｃ)没有实数根(Ｄ)不能确定 (2 0 0 1年辽宁省大连市中考题 )分析　∵　Δ =(-1) 2 -4× 1× 2 =-7<0 ,∴　给定方程没有实数根 .故应选 (Ｃ) .例 2　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -2 (ｍ + 1)ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .求证 :这个方程有两个不相等的实数根 .(2 0…     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…     

巧用一元二次方程的根

同学们在学习了一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系以后 ,很容易形成思维定势 :只要是一元二次方程的根 ,就用根与系数的关系 .有时会出现计算量很大的情况 .若能巧妙运用方程的根 ,则可化繁为简 .例 1　已知α、β是关于ｘ的方程 :ｘ2 +(ｍ + 2 )ｘ +ｍ + 7=0的两个实根 ,且α2 + β2 =5 ,ｐ、ｑ是关于ｙ的方程ｙ2 + (ｎ -1)ｙ +ｍ =0的两个实根 .求(ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )的值 .(1999年北京市八一中学中考模拟题 )解法一　 (略解 )由α2 + β2 =5 ,易得ｍ =-5 .∴　 (ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )=(-5 +ｎｐ +ｐ2 …     

方程综合题

方程综合题是指以一元二次方程为中心的初中代数方程的综合题 .它涉及方程、方程组、判别式、根与系数的关系、函数等知识点 .以灵活的变换 ,丰富的转化思想为特征 .它是中考命题的一个热点 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -(2ｍ -1 )ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .(1 )求证 :这个方程有两个不相等的实数根 ;(2 )如果这个方程的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2 ,且 (ｘ1-3 ) (ｘ2 -3 ) =5ｍ ,求ｍ的值 . (2 0 0 0年上海市中考题 )分析　 (1 )要证明已知的一元二次方程有两个不相等的实数根 ,只要证明判别式Δ >0 ;(2 )运用根与系数的关系 ,列出关…     

《一元二次方程》2000年中考题选登

一、填空题1 一元二次方程 (ｘ - 1) 2 =2的根是 . (福建省莆田市 )2 一元二次方程ｘ2 + 4ｘ - 12 =0的根是 . (吉林省 )3 方程ｘ2 + 3ｘ - 40 =0的根的判别式Δ =. (四川省 )4 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 - 2ｘ + 3=0的根的情况是 . (云南省曲靖市 )5 若关于ｘ的方程ｘ2 + 2ｘ +ｍ =0有两个相等的实数根 ,则ｍ =.(宁夏回族自治区 )6 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 + 2ｋｘ +ｋ - 1=0的根的情况是 . (内蒙古包头市 )7 若关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 - 2 (3ｍ - 1)ｘ + 9ｍ - 1=0有两个实数根 ,则ｍ的取值范围是 . (贵州省贵阳市 )8 如果方程ｘ2 -…     

一道习题引发的探究

正题目已知命题p:四条边都相等的四边形是正方形,q:四个角都相等的四边形是正方形.分别写     

方程中极易忽视的条件

由于同学们在解关于ｘ的方程ａｘ +ｂ =0或ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0时 ,忽视了ａ≠ 0这个条件 ,因而造成了许多错解。例　关于ｘ的方程 (ｋ2 - 1 )ｘ2 + 2 (ｋ - 1 )ｘ + 2ｋ + 2 =0 ,当ｋ =　　时 ,为一元一次方程。误解 :当ｋ2 - 1 =0 ,即ｋ =± 1时为一元一次方程。分析 :本题由于忽视了一元一次方程ａｘ +ｂ =0中的ａ≠ 0 ,即在ｋ=1时 ,使一次项系数 2 (ｋ - 1 ) =0。正确答案为 :ｋ =- 1例　若一元二次方程 (ｍ - 2 )ｘ2 + ( - 2ｍ + 1 )ｘ +ｍ =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是　　　。误解 :∵方程有两个不相等的实数根∴△ =( -…     

妙题巧解(五)

1 已知ｘ1、ｘ2 是关于ｘ的方程ｘ2 -ｋｘ +2ｋ -6 =0的两个根 ,且 0 <ｘ1<1 ,3<ｘ2 <4 ,求ｋ的取值范围 .2 已知 5 (ａ -ｂ) + 5 (ｂ -ｃ) + (ｃ-ａ) =0 ,且ａ≠ｂ.求证 :4ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 4ａｂ -2ｂｃ +4ｃａ.3 设有五个自然数 ,其中每四个数的和分别是 39,4 1 ,4 2 ,4 4,4 6 ,求这五个自然数 .4 若三角形内的数是 6 ,四边形内的数是1 0 ,五边形内的数是 1 5 ,六边形内的数是 2 1 ,根据上述规律请你猜想 ,二十边形内的数应是.5 已知ａ +ｂ +ｃ=0 ,4ａ -2ｂ +ｃ=0 ,ａ -ｂ +ｃ>0 .求证 :4ａ+ 2ｂ+ｃ<0 .参考解答图 11 若用方程的观点…     

评析一道考查学生创新意识的中考题

考查学生的创新意识已成为中考命题的趋势 .为了引起广大师生的注意 ,本文以 2 0 0 0年北京市朝阳区的一道中考题为例 ,评析此类问题的解法 .题目　 ( 1 )解下列方程 :①ｘ2 -2ｘ -2 =0 .② 2ｘ2 +3ｘ -1 =0 .③ 2ｘ2 -4ｘ +1 =0 .④ｘ2 +6ｘ +3 =0 .( 2 )上面的四个方程中 ,有三个方程的一次项系数有共同特点 ,请你用代数式表示这个特点 ,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 .评析一道考查学生创新意识的中考题刘应平　　解　 ( 1 )解方程① ,得ｘ1=1 +3 ,ｘ2 =1 -3 .解方程② ,得ｘ1=-3 +1 74 ,ｘ2 =-3 -1 74 .解方程③ ,得ｘ1…     

准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”

在学习逻辑联结词“或”、“且”、“非”时,常有学生提出,命题p“方程x~2-3x+2=0的根是x=1”为假,命题q“方程x~2-3x+2=0的根是x=2”为假,复合命题r:“方程x~2-3x+2=0的根是x=1或x=2”为真;若把复合命题r看作是p和q型的复合命题,出现了与真值表相矛盾的情况。教师对这个问题的解释也模棱两可,学生们对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解还有一些糊涂的认识。本文拟以集合的观点对三个逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义做一些解释,以     

配方法在解题中的应用

配方法是常用的解题方法 .使用配方法的关键是配方 ,常见的配方法有下述 4种基本类型 .1　形如ａ2 ± 2ａｂ +ｂ2 的三项式配方这是最简单的配方形式 .只需化简、整理 ,使所给三项式变为完全平方式即可 .例 1　分解因式 :(ｘ + ｙ) 2 - 4(ｘ + ｙ) +4= .( 2 0 0 1 ,济南市中考题 )分析 :将ｘ + ｙ看成一个整体 ,易发现这三项式是完全平方 .设Ａ =ｘ + ｙ .故原式 =Ａ2 - 4Ａ + 4=(Ａ - 2 ) 2　　　 =(ｘ + ｙ - 2 ) 2 .例 2　方程ｘ2 + 2 3ｘ + 3=0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不等的有理数根(Ｂ)有两个相等的有理数根(Ｃ)有两个不等的…     

一元二次方程中考试题精选(Ⅰ)(一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题1 当时 ,方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0是一元二次方程 . (2 0 0 1年安徽省合肥市中考题 )2 一元二次方程ｘ2 + 2ｘ + 1=0的根的判别式是. (2 0 0 1年湖南省长沙市中考题 )3 一元二次方程ｘ2 =ｘ的两根之和与两根之积分别是 . (2 0 0 1年青海省中考题 )4 若方程ｘ2 -3ｘ +ｍ =0的一个根是 1,则它的另一个根是 ,ｍ的值为 .(2 0 0 1年江苏省常州市中考题 )5 如果ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 -3ｘ + 1=0的两个根 ,那么代数式 (ｘ1+ 1) (ｘ2 + 1)的值是 .(2 0 0 1年上海市中考题 )6 若方程 (ｘ -1) (ｘ -2 ) =0的两根为ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1>ｘ2 ,则ｘ…     

巧妙构造一元二次方程

一、利用根的定义构造一元二次方程例 1　已知ａ、ｂ为互不相等的实数 ,且ａ2 =7- 3ａ,ｂ2 =7- 3ｂ.求ａ2 +ｂ2 的值 .(2 0 0 2年北大附中中考模拟题 )分析　观察发现 ,ａ、ｂ实际上是方程ｘ2 +3ｘ-7=0的两个互不相等的实根 ,从而可以利用根与系数的关系求ａ2 +ｂ2 的值 .　解　由ａ2 =7- 3ａ ,ｂ2 =7- 3ｂ ,知ａ、ｂ是方程ｘ2 +3ｘ- 7=0的两个根 ,则ａ +ｂ =- 3,ａｂ=- 7.∴　ａ2 +ｂ2 =(ａ +ｂ) 2 - 2ａｂ =(- 3) 2 +2× 7=2 3.例 2　已知ａ2 +ａｃ+ｃ2 =0 ,ｂ2 +ｂｃ+ｃ2 =0(ｂ≠ａ) ,请猜想ａ2 +ａｂ +ｂ2 的值 ,并证明你的猜想 . (2 0 …     

“非”要清楚,“或”要明白

同学们学过全日制普通高中数学(人教版)第一章1.6逻辑联结词之后,会对“非”、“或”的某些问题感到迷惑不解.如:(1)命题p:方程x2+x+1=0有两个相等的实根.(假命题)P:方程x2+x+1=0有两个相等的虚根.(假命题)(2)命题P:x为实数,若x≠1,则x2≠1.(假命题)P:x为实数,若x≠1,则x2=1.(假命题)     

换元法在解方程或方程组中的应用

换元法是将无理方程转化为有理方程、将分式方程转化为整式方程的重要方法 ,它可以起到将方程次数降低、形式化简的作用 .因而换元法是中考、竞赛中考查的重点内容 .例 1　解方程 :ｘ2 +ｘ +1-6ｘ2 +ｘ=0 .( 2 0 0 0年北京市中考题 )解　设ｙ =ｘ2 +ｘ ,则原方程变形为ｙ +1-6ｙ =0 .去分母整理 ,得ｙ2 +ｙ -6=0 .解得ｙ =-3或ｙ =2 .当ｙ =-3时 ,ｘ2 +ｘ =-3,即ｘ2 +ｘ +3=0 .方程无实数根 .当ｙ =2时 ,ｘ2 +ｘ =2 ,即ｘ2 +ｘ -2 =0 .解得ｘ1=-2 ,ｘ2 =1.检验略。评注　换元的实质就是将代数式 (ｘ2 +ｘ)看做一个整体 .当然我们也可将 (ｘ2…     

应用根与系数的关系应注意的问题

一元二次方程的根与系数的关系是一个非常重要的知识点 ,应用十分广泛 .但是 ,应用这个定理时有几个应注意的问题 ,必须引起大家的重视 .第一 ,要注意对判别式的检验课本叙述根与系数的关系时说 :如果ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根是ｘ1、ｘ2 ,那么ｘ1+ｘ2 =-ｂａ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ.请注意“如果……” ,它告诉我们 ,在实数范围内应用根与系数的关系的条件是 :方程必须有两个实根 ,即Δ≥ 0 .有的同学不注意对判别式的检验 ,往往在这里出错 .例 1　方程ｘ2 -(ｍ +1 )ｘ +3ｍ -5=0的两个实数根为α、β ,且α2 +β2 =1 6,求ｍ的值 .错解…     

2001年绍兴地区初中数学联赛

一、选择题(每小题四个选项中。只有一个是正确的)1.设Sl一1+3+5+…+29,S2—31+33+35+…+99,则S2一S,一()(A)2000.(B)2001.(C)2002.(D)2050.2.考虑下列四个命题:①有一个角是80。的两个等腰三角相似;②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等;③有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.其中正确命题的个数是()(A)0个.(B)1个.(C)2个3.二次函数y一∞。+打+f的图象如图1所示,则化简二次根式√T了研+/可F二_了的结果是()(A)&+6.(B)——口一6.(C)“一6+2f.(D)一d+^一2c.图14.若方程…     

构造一元二次方程解题

构造一元二次方程解题是一种重要的解题方法 .根据题设的特点 ,通过联想作出一个一元二次方程 ,使问题化难为易 ,顺利解决 .由于题设的不同 ,构造方程的方法也不同 .下面举例说明 .1　利用根的定义构造方程当已知两个等式 (或经变形后 )具有如下特点 :ｍ2 +ａｍ+ｂ=0 ,ｎ2 +ａｎ+ｂ=0且ｍ≠ｎ ,由根的定义 ,ｍ ,ｎ是方程ｘ2 +ａｘ+ｂ=0的两个根 .例 1　已知ａ ,ｂ是不相等的实数 ,且ａ2= 6ａ -3 ,ｂ2 =6ｂ -3 ,求ａ+ａｂ+ｂ的值 .解　由ａ2 =6ａ -3 ,ｂ2 =6ｂ -3得ａ2-6ａ + 3 =0 ,ｂ2 -6ｂ + 3 =0 .因为ａ ,ｂ是不相等的实数 ,所以ａ ,ｂ是…     

换元法解分式方程

换元法是十分重要的数学方法 ,特别是在中考解分式方程时应用极广 .那么如何恰当地换元 ,则要根据各个方程自身的结构特点加以分析 .一、整体换元例 1　解方程 :ｘｘ- 12 - 5 ｘｘ- 1 +6 =0 .(2 0 0 1年新疆生产建设兵团中考题 )　解　设ｙ=ｘｘ - 1 ,则原方程可化为ｙ2 - 5ｙ+6=0 .解得ｙ1 =2 ,ｙ2 =3.当ｙ=2时 ,ｘｘ- 1 =2 .解得ｘ=2 .当ｙ=3时 ,ｘｘ- 1 =3 .解得ｘ=32 .经检验 ,ｘ1 =2 ,ｘ2 =32 是原方程的根 .二、倒数换元例 2　解方程 :ｘ2 -ｘ- 1 2ｘ2 -ｘ- 4 =0 .(2 0 0 1年黑龙江省哈尔滨市中考题 )　解　设ｙ=ｘ2 -ｘ,则原方程可化…     

中考数学热点题点评

近年来 ,全国各地的中考数学试题除一些常规题型外 ,又涌现出一大批格调清新高雅、设计优美独特的新题型 .这类题目不仅使人赏心悦目 ,而且在很大程度上显示了中考命题的改革趋势 .1　体验知识的形成过程 ,考查归纳创新能力例 1　先阅读下列第 ( 1 )题的解答过程 ,然后再解答第 ( 2 )题 .( 1 )已知实数ａ、ｂ满足ａ2 =2 - 2ａ ,ｂ2 =2 - 2ｂ ,且ａ≠ｂ .求 ｂａ+ ａｂ的值 .解法 1 :由已知得ａ2 + 2ａ - 2 =0 ,ｂ2 +2ｂ - 2 =0 ,且ａ≠ｂ .∴ａ、ｂ是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 =0的两个不相等的实数根 .由根与系数的关系 ,得ａ +ｂ =- 2 ,ａｂ =- 2…