对一道全国联赛题的思考

1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ…     

对一个特殊四面体性质的研究

有这样一个常见的四面体 (如图一 ) :棱ＰＡ⊥底面ＡＢＣ ,ＡＣ⊥ＢＣ 这个四面体有如下几个已知的性质 :性质 (1 )四面体ＰＡＢＣ中共有四个Ｒｔ△ ,分别是 :Ｒｔ△ＰＡＢ,Ｒｔ△ＰＡＣ,Ｒｔ△ＡＢＣ,Ｒｔ△ＰＢＣ.性质 (2 )四面体ＰＡＢＣ中共有三个面互相垂直 ,分别是 :面Ｐ     

例说构造辅助正方形的思维策略

正方形由于图形完美 ,因此具有其他图形难以企及的性质 .挖掘题设条件 ,展开联想 ,构造出相应的正方形 ,其特性即可得到充分利用 ,使解题过程简捷明快 ,生动有趣 .本文谈谈构造正方形的思维策略 ,即构造正方形的几种“基” .一、以等腰直角三角形为“基”例 1　如图 1,在等腰直角△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =1,∠Ａ= 90° ,点Ｅ为腰ＡＣ的中点 ,点Ｆ在底边上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ .求△ＣＥＦ的面积 .( 1998年全国初中联赛试题 )解 :以等腰直角△ＡＢＣ为基 ,作正方形ＡＢＧＣ(如图1) .延长ＥＦ交ＣＧ于Ｈ .因ＦＥ⊥ＢＥ ,易证Ｒｔ△ＡＥＢ∽Ｒｔ△ＣＥＨ .…     

巧用"割补术"一题多解

在解决一些不规则图形问题时 ,往往需要把不规则图形通过分割、补全的方法 ,使其转化为特殊图形 ,如直角三角形、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形等 ,从而使问题迎刃而解 .这一过程体现了从一般到特殊的化归思想 .下面用不同的割补方法解一道中考数学题 .图 1例　某片绿地的形状如图 1所示 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＣＤ ,ＡＢ =2 0 0ｍ ,ＣＤ =1 0 0ｍ .求 :ＡＤ、ＢＣ的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )( 1 )分割图形图 2分析一 :如图 2 ,作矩形ＢＣＥＦ ,解Ｒｔ△ＣＤＥ ,求出ＣＥ、ＤＥ .由ＣＥ =ＢＦ ,有ＡＦ =ＡＢ -ＢＦ =ＡＢ…     

二面角问题的垂面解法

二面角的平面角的作法有定义法 ,三垂线定理(或逆定理 )法和垂面法三种 ,在解决与二面角有关的问题时 ,人们都习惯于采用前两种方法 ,而极少用到后一种方法 ,其实有些关于二面角的问题 ,特别是棱未作出的二面角的问题 ,若用垂面法则更为简捷 .特举数例 ,仅供参考 .例 1　过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ ,引ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ,若ＰＡ =ＡＢ ,则平面ＡＢＰ与平面ＣＤＰ所成二面角的大小是 .图 1解　如图 1,由ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ ,知面ＰＡＤ⊥面ＡＢＣＤ .又ＡＢＣＤ为正方形 ,有ＡＢ⊥ＡＤ ,ＣＤ⊥ＡＤ ,得ＡＢ⊥面ＰＡＤ ,ＣＤ⊥面ＰＡＤ ,所以面…     

探究一道课本题

分析近年来各地的中考试题 ,可以发现许多题目都是由课本习题改编而成 .因此 ,同学们应对课本的例、习题给以足够的重视 .立足课本 ,认真探究一题多解、一题多变 ,有助于提高分析问题、解决问题的能力 .图 1题目　如图 1 ,已知在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°.Ｏ是ＡＢ上一点 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＢ交于点Ｅ ,与ＡＣ切于点Ｄ ,ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,求ＣＤ的长 .(初中《几何》第三册 2 1 4页第 8题 )一、多种解法解法 1　设⊙Ｏ的半径是ｒ,连结ＤＯ .∵　ＡＣ切⊙Ｏ于Ｄ ,∴　ＤＯ⊥ＡＣ .在Ｒｔ△ＡＤＯ中 ,由勾股定理 ,得ＡＤ2 +ＤＯ2 …     

一道自编题组的教学尝试

在一次复习辅导课上 ,笔者编制了一道平面几何题用于课堂教学的教改尝试 .此时构思是以某已知条件为背景 ,把凡涉及与已知条件相关的多题结论有机的结合在一起 ,使题目展现出一题多解 ,一图多用 ,一题多变 ,步步深入的解题新格局 .例　如图 1 ,Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°,点Ｏ在ＡＢ上 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＣ相切于点Ｄ ,交ＡＢ于Ｅ .1 .求证 :ＤＥ∥ＯＣ .2 .求证 :ＣＢＢＯ=ＡＤＡＥ.3.若ＡＥ =1 ,ｃｏｓＡ =45 ,求⊙Ｏ的面积 .4.若ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,(1 )求⊙Ｏ的直径、ＣＢ长及ｓｉｎ ∠ＡＣＢ2 的值 ;(2 )求证 :Ｓ△ＡＣ…     

2002年高考数学试卷(理科)第19题别解

试题 :四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的底面是边长为ａ的正方形 ,ＰＢ⊥面ＡＢＣＤ .(1 )若面ＰＡＤ与面ＡＢＣＤ所成的二面角为 60°,求这个四棱锥的体积 ;(2 )证明无论四棱锥的高怎么变化 ,面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角恒大于 90°.(1 )解法略(2 )证明 :不论棱锥的高怎样变化 ,棱锥侧面ＰＡＤ与ＰＣＤ恒为全等三角形 .作ＡＥ⊥ＤＰ ,垂足为Ｅ ,连结ＥＣ ,则△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ ,所以ＡＥ =ＣＥ ,∠ＣＥＤ=90°,故∠ＣＥＡ是面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角的平面角 ,ＰＤ⊥面ＡＣＥ .(下面用三种方法来证明∠ＣＥＡ是钝角 )证法 1　如图 1 ,因为…     

一道中考题的多解与引伸

20 0 2年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题 :如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ=3 ,ＡＤ =4,Ｐ是ＡＤ上的动点 ,ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ,则ＰＥ ＰＦ的值为 (　　 )Ａ .1 25 　　Ｂ .2　　Ｃ .52 　　Ｄ .1 35该动点题出得灵巧 ,虽以选择题出现 ,但其解题的思维空间十分广阔 ,是培养和考查学生思维能力的一道好题 .本文现提供四种不同的解法 ,供读者参考 .1　特殊法(1 )如图 1 ,令动点Ｐ与Ａ重合 ,则有ＰＥ =0 ,ＰＥ ＰＦ =ＰＦ ,因为ＡＢ =3 ,ＡＤ =4,所以ＢＤ =ＡＢ2 ＡＤ2 =5 ,而Ｓ△ＡＢＤ =12 ＡＢ·ＡＤ =12 ＢＤ·ＰＦ…     

求异面直线所成角的一个简便公式及应用

定理　设两条异面直线ａ ,ｂ所成的角为θ ,由ｂ上两点Ａ ,Ｂ引ａ的垂线 ,垂足分别是Ａ1,Ｂ1.则ｃｏｓθ=Ａ1Ｂ1ＡＢ . ( )　　　　　图 1　　证　若Ａ1,Ｂ1是相异两点 ,如图 1,过Ａ作,连Ｂ1Ｃ和ＢＣ ,则Ｂ1Ｃ ∥ＡＡ1.∵ＡＡ1⊥ａ ,∴ａ⊥Ｂ1Ｃ .又ａ⊥ＢＢ1,∴ａ⊥平面ＢＢ1Ｃ ,故ＡＣ⊥ＢＣ .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠ＢＡＣ =θ ,ｃｏｓθ=ＡＣＡＢ,从而ｃｏｓθ =Ａ1Ｂ1ＡＢ .若Ａ1,Ｂ1两点重合 ,易知ａ⊥ｂ ,显然等式ｃｏｓθ=Ａ1Ｂ1ＡＢ 成立 .于是定理获证 .下面举例说明定理在解题中的应用 .例 1　如图 2 ,在长方体ＡＣ1中 ,ＡＢ =4 ,…     

对一道高考题的思考

1　题目与解法研究2 0 0 0年高考理 18(文 19)题 :如图 1,已知平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的底面ＡＢＣＤ是菱形 ,且∠Ｃ1ＣＢ =∠Ｃ1ＣＤ =∠ＢＣＤ =60°.(Ⅰ )证明 :ＣＣ1⊥ＢＤ ;(Ⅱ )假定ＣＤ =2 ,ＣＣ1=32 ,记面Ｃ1ＢＤ为α ,面ＣＢＤ为 β ,求二面角α -ＢＤ - β的平面角的余弦值 ;(Ⅲ )当 ＣＤＣＣ1的值为多少时 ,能使Ａ1Ｃ⊥平面Ｃ1ＢＤ ?请给出证明 .图　 1(Ⅰ )证 1　连结ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ ,连结Ａ1Ｃ1、Ｃ1Ｏ .由四边形ＡＢＣＤ是菱形 ,知ＡＣ⊥ＢＤ ,ＢＣ =ＣＤ .∵∠ＢＣＣ1=∠ＤＣＣ1,∴△Ｃ1ＢＣ≌△Ｃ1ＤＣ ,有Ｃ1…     

二十一点共圆

本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理　不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 :　如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外…     

这个条件多余

赵惠民先生著 ,海洋出版社 1980年出版的《平面几何解题思路》一书第 3 6页例 8是这样一道题 :如图 ,已知 :△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＦ ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＢＥ⊥ＡＤ的延长线于Ｅ ,Ｍ是ＢＣ的中点 .求证 :ＭＥ =ＭＦ .分析 :延长ＢＥ、ＡＣ相交于Ｑ ,得△ＡＢＥ≌△ＡＱＥ ,从而ＢＥ =ＥＱ ,ＭＥ成为△ＢＱＣ的中位线 ,ＭＥ 12 ＣＱ .同理 ,延长ＣＦ ,交ＡＢ于Ｐ ,得到ＣＦ =ＦＰ ,证出ＭＦ=12 ＢＰ .再用等量公理 ,推出ＰＢ =ＣＱ ,则本题得证 .许多资料都引用了这道题 ,且思路相同 ,例如 ,袁银宗先生编著 ,中国社会出版社2 0 0 1年 1…     

求圆中锐角三角函数值的思路分析

求圆中锐角三角函数值的问题 ,涉及的知识点较多 ,综合性较强 ,解法也较灵活 .每年的中考中都有这种类型的试题 ,用以考查学生综合运用知识的能力 .一、转移线段比例 1　如图 1,Ｐ为⊙Ｏ外一点 ,ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ ,ＰＡ =8,直线ＰＣＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｂ两点 ,且ＰＣ =4 ,ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,连结ＡＢ、ＡＣ ,∠ＡＢＣ =α ,∠ＡＣＢ =β .求ｓｉｎαｓｉｎβ的值 .(2 0 0 1年湖北省沙市中考题 )思路分析　在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＤ中 ,ｓｉｎα =ＡＤＡＢ,ｓｉｎ β =ＡＤＡＣ.∴　ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤＡＢ·ＡＣＡＤ=ＡＣＡＢ.故只需求 Ａ…     

巧构辅助线,妙搭“人工桥”

在平面几何中 ,不少命题的证明与计算都要涉及到添加辅助线问题 ,从简单的特殊点到复杂的辅助图形 ,都需要我们精心设计 ,恰到好处地进行添加或构造 ,这样 ,就可以借助辅助线或辅助图形的“桥梁”作用 ,来沟通题设和结论之间的关系 ,使隐含条件显露出来 ,使分散条件集中起来 ,从而获得丰富的解题信息 ,为解题开辟一条有效的通道 ,使要解决的问题获得圆满地解决 .1　构造特殊点解 (证 )题例 1　如图 1,已知以Ｒｔ△ＡＢＣ的直角边ＡＢ为一边向形外作正方形ＡＢＤＥ ,延长ＡＢ至Ｆ ,使ＢＦ =ＡＣ ,ＣＤ与ＡＢ交于Ｈ .求证 :ＥＨ ⊥ＣＦ .分析…     

九年级结课平面几何质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,∠ＡＢＣ =115° .那么 ,∠ＡＯＣ等于 (　　 ) .(Ａ) 115°　　 (Ｂ) 12 0°　　 (Ｃ) 130°　　 (Ｄ) 135°图 1图 22 .如图 2 ,以ＢＣ为直径 ,以Ｏ为圆心作半圆 ,点Ａ、Ｆ把半圆三等分 ,ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,且ＢＣ =12 .连结ＢＦ交ＡＤ于点Ｅ .则ＡＥ的长为 (　　 ) .(Ａ) 2 3(Ｂ) 33(Ｃ) 3(Ｄ) 32 33.已知Ｒｔ△ＡＢＣ外切于⊙Ｏ ,∠ＡＣＢ =90° ,∠ＢＯＣ =10 5° ,ＢＣ =2 0ｃｍ .那么 ,Ｒｔ△ＡＢＣ的面积是(　　 ) .(Ａ) 180 3ｃｍ2 (Ｂ) 2 0 0 3ｃｍ…     

2002年高考数学第19题另解

试题 :四棱锥Ｐ-ＡＢＣＤ的底面是边长为ａ的正方形 ,ＰＢ ⊥面ＡＢＣＤ .(1 )若面ＰＡＤ与面ＡＢＣＤ所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积 ;(2 )证明无论四棱锥的高怎么变化 ,面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角恒大于 90°.(1 )解法略(2 )证明 :不论棱锥的高怎样变化 ,棱锥侧面ＰＡＤ与ＰＣＤ恒为全等三角形 .作ＡＥ⊥ＤＰ ,垂足为Ｅ ,连结ＥＣ ,则△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ ,所以ＡＥ =ＣＥ ,∠ＣＥＤ =90°,故∠ＣＥＡ是面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角的平面角 ,ＰＤ ⊥面ＡＣＥ(下面用三种方法来证明∠ＣＥＡ是钝角)证法一 :∵ＤＥ ⊥面ＣＥ…     

2002年高中联赛平面几何题的新证法

题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1　　解法 1　连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ…     

用构造法解立体几何题9例

用构造法解立体几何题９例兰州市二中杜丕伶一、构造长方体例１．如图（１），ＰＤ⊥矩形ＡＢＣＤ，且ＰＤ＝ＡＢ，求平面ＰＡＤ与ＰＢＣ所成的锐二面角。分析：由已知可得线段ＰＤ、ＡＤ、ＣＤ两两垂直，可以此为三度构造长方体如图（２）。显然平面ＰＡＤ、ＰＢＣ各是侧...     

2002年全国初中数学联赛、竞赛试题选讲

本文仅对今年全国初中数学联赛、竞赛部分试题 ,从解题思路、试题背景和答案不严谨等方面 ,谈谈个人的看法 ,不妥之处 ,敬请赐教 .1　两道相关的几何题1.(联赛一试选择题 4 )如图 1,Ｒｔ△ＡＢＣ的面积为 12 0 ,且∠ＢＡＣ =90°,ＡＤ是斜边上的中线 ,过Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ ,垂足为