特殊值法在数学解题中的应用

特殊化、简单化的方法可以为学生探索解题思路指明方向,帮助学生找到解题的突破口,还可以简化解题运算,达到事半功倍的效果.例1在平面内给定7条直线,已知其中任何两条都不平行.求证:从中一定可以找出两条直线,其夹角小于26O.由于7条直线都是任意的,其夹角大小与位置都不具体,难     

两直线夹角公式及应用

在求解涉及两直线夹角的问题时,要注意两条直线l_1和l_2相交所构成的角中包括了“l_1到l_2的角”和“l_1和l_2的夹角”两种角的概念.“l_1到l_2的角”是指直线l_1依逆时针方向旋转到与l_2重合时所转动的角,设为     

立体几何中“角”的学习

立体几何中的角的概念和它的计算是一个重点 ,也是一个难点。要解决这个难点首先要明确概念 ,能作出角 ,并把空间的计算问题转化为平面的计算问题 ,即归纳到一个三角形中计算角的大小。1)异面直线所成的角定义 :a、b是两条异面直线 ,在空间任取一点O,分别引直线 a′∥ a,b′∥ b,则直线 a′与 b′所成的锐角 (直角 )叫异面直线 a和 b所成的角。评述 :由于异面直线的夹角是由两条直线的夹角扩充而产生的 ,由平移原理可知 ,当两条异面直线在空间的位置确定后 ,它们的夹角的大小也就随之确定。所以 ,任何两条异面直线的角一定存在 ,而且异面直…     

用向量法解决空间角问题

用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角.在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量,可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具,使几何问题代数化,避免了添加辅助线作二面角的平面角的麻烦.从而提高学生的学习效率.1求两条异面直线所成的角用空间坐标系与向量方法解决夹角问题时,在求两直线的夹角α时,由于两直线的夹角的范围为α∈[0°,90°],可直接求出两直线的方向向量的夹角β,若这两向量所成的角β为锐角或直角时,这两向量所成的角β即为所求的角α(即α=β,如图1),若β为钝角时,所…     

例谈用公式法处理立几中的角问题

求空间角的大小是立体几何中的一个重点,但无论是异面直线的夹角,直线与平面的夹角,还是平面与平面的夹角,都必须作出其平面角后再求解.有时由于已知的线面位置关系比较隐晦,所求平面角无法作出,使得解题夭折.为此,本文将利用三面角余弦定理推导出求上述三类空间角的公式,运用这些公式,可避开求作平面角的困难,简捷地求出要求的平面角.     

运用向量法巧解计算题

本文就求异面直线的夹角,求直线与平面所成的角,求二面角,求点到平面的距离这几种题型,说一下它们的向量解法.1.求异面直线所成的角求异面直线所成的角时,只要找出这两条直线所在的向量,那么这两个向量所成的角(或其补角)就是异面直线所成的角.例1 如图,在Rt△AOB 中,∠OAB=π/6,斜边AB=4,而 Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为     

变形公式简捷处理解析几何中的夹角问题

新课标教材在必修2《解析几何初步》一章中删除了老教材中的"到角公式"与"夹角公式",这样涉及与两直线夹角有关的问题需转化成向量夹角方法处理,但由于在具体解题过程中常涉及向量模长(特别是含有变量),因此运算较繁,且运算量大,不易化简,所以此法有时可行,但不可取.我们在解题中发现涉及这类问题时可以用向量夹角公式与面积公式结合的变形公式,避开向量模的积,来处理这类问题不失为一种好办法.可以优化思维,简化过程,便捷求解.下面给出变形公式及简单应用,供参考.     

巧用法向量解决空间几何问题

一、求空间角1.斜线与平面所成的角先将斜线和平面所成的角转化为两直线所成的角,再转化为向量的夹角.设直线a的方向向量和平     

用法向量求角(高二、高三)

直线和平面所成的角以及二面角问题是立体几何中的难点.由向量的平移性以及平面法向量知识可知,两平面法向量的夹角等于这两个平面所成的角或补角(要注意两法向量的方向),故利用平面法向量来解决角度问题是一条捷径.     

空间角的向量解法

在立体几何中,涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算,均可归结为求两个向量的夹角.对于空间向量a.b,利用cos     

两种空间角的求法

两条异面直线所成角,直线与平面所成角,二面角,是三种空间角.本文对前两种角的求法作以归纳总结,供复习参考用.一、两条异面直线所成角这种角的基本求法是按定义,将两条异面直线平移,使其相交,化空间角为平面角,得到所求角.     

求异面直线所成角的另一方法——辅助平面法

根据异面直线所成角的定义 ,求两条异面直线所成的角一般需通过平移直线 ,将空间角转化为平面内的角来求解 .这一转化过程通常是解题的难点所在 .倘若解题时能借助适当的辅助平面 ,往往可以避繁就简 ,顺利求出 .(如图 1)引理　已知 a,b是异面直线 ,a α,b β,且α⊥β,α∩β =l,又设 a,b与 l所成的角分别为θ1、θ2 ,a,b所成的角为θ,则 cosθ =cosθ1cosθ2 .它的证明很简单 ,现留给大家 .对任意的异面直线来说 ,这样的辅助平面α、β是否一定存在呢 ?(如图 2 )设 a,b为异面直线 ,在直线 a上任取一点 O,则点 O及直线 b可确定一个平面 ,…     

开展探究性例题教学大有好处

探究性问题是指具有探索研究性质的数学课题. 本文是探究性问题的一个例子. 例1 两条异面直线间夹角公式的探索. 六年制重点中学高中数学课本《立体几何》介绍了异面直线上两点间距离的公式:“已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设A′E=m,AF=n(图1),则EF~2=     

最短距离问题的解题策略

正最短距离问题在近几年中考中频繁出现,经常与角、三角形、四边形、坐标轴、抛物线等相结合,学生在解题时常常找不到解题思路.其实常见的最短距离问题归纳起来有四种基本模型,下面结合例题谈谈这一类型题目的解题策略.一、两点一线"两点一线"是指有两个定点A、B和一条直线(如图1和图2),在直线l上取一点P,使AP+BP最短(即两个定点和一个动点).下面分为两种基本模型讨论.     

提高高中数学解题教学有效性的探究

<正>解题教学是高中数学教学的中心工作,只有学生的解题效率提高了,学生的解题能力才能得到有效的提升,教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验,就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.一、拓展学生的思维1.求过两直线交点的直线方程(1)归纳梳理1求过两条直线的交点的直线方程时,一般是先通过解方程组,得到交点坐标,再结合其他条件,求出直线方程.2求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的     

平移几何体

两条异面直线所成的角，是指过空间任一点。分别引两条异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角或直角，就是这两条异面直线所成的角．两条异面直线所成的角实质上定义为两条相交直线所成的角，所以我们求两条异面直线所成的角关键是怎样转化成两条相交直线所成的角．我们经常平移两条异面直线中的一条或两条使之成为两条相交直线，但是在某些情况下大家不妨换一种思路——平移几何体，也可以转化成两条相交直线所成的角．     

立体几何中三种角的关系

两直线的夹角(或两异面直线的夹角),直线与平面所成的角,二面角的平面角,是立体几何的重要内容,在某种情况下,它们之间是否有     

对“三浅八角”的理解与判别

两条直线被第三条直线所截,构成八个角,其中没有公共顶点的角有着三种特殊的位置关系.下面结合图形,举例说明. 一、深刻理解“三线八角”如图1,第一条直线a与第二条直线b(简称两条直线a、b)被第三条直线m所截(简称截线m),得到的八个角中,有对顶角、邻补角,还有以下三种角:     

例谈角平分线的对称应用

角平分线的对称应用:"角的一边上的任一点关于角平分线对称点一定在另一条边上".平面几何中,角是一种最基本的轴对称图形,其对称轴是角平分线所在直线,所以在解含有角平分线条件时,常以利用角平分线的对称应用,以角平分线所在直线为轴作对称变换,这是解题过程添加辅助线的一种巧妙思路.     

注意区别几何中一些易混的概念

数学概念是学好定理、公式、法则和数学方法以及提高解题能力的基础。以下列举几对容易混淆的几何概念,加以辨析,供同学们参考。一、直线、平角当角的终边和始边成一直线时,这个角叫平角。所以可以认为平角是一条直线。但却不能因此把直线与平角这两个概念混