从两道智力赛题中得到的启示——一道特殊的一次方程组趣题的求解

有这样两道智力赛题：图1（图2）是A1～A7（A1～A10 7）（10）人围成一圈,每人心里想的数分别如实地告诉左、右相邻的人,每人都把左、右相邻的人告诉自己的两个数的平均数准确地报了出来,如图1（图2）所示各数,那么A1心中想的数是_____。     

Steiner定理及其逆定理与四道几何赛题的新证

Steiner定理[1]设D,E是△ABC的边BC上两点,且∠BAD=∠CAE.则有AB2=B-DD·BE.其逆命题也成立,即有 Steiner定理的逆定理设D,E是△ABC的边BC上的两点,若有AB2/AC2=BD·BE/CD·CE,则∠BAD=∠CAE.     

一道高中联赛试题的简解与拓广

2004年全国高中联赛有一道赛题是:设点 O 在△ABC 的内部且满足 2 3 =,则ΔABC 的面积与ΔAOC的面积之比为().A.2 B.3/2 C.3 D.5/3原解答分别取 AC、BC 中点求解,学生不易想到.通过对其解法的研究我们用坐标法得到它的一个简捷解法,实际上该结论拓广到四面体中后仍成立.     

一道＂希望杯＂赛题的求解及其推广

题目已知数列（Xn）中,     

一道有序集组计数赛题的求解与变式

有序集组（A1，A2，…，Ak）计数问题在各类竞赛中经常出现，在刚结束的2009年上海市高中数学竞赛（新知杯）试题中就出现了一道有序集组的计数问题!本文对该问题进行了简要地分析解答，并在此基础上提出10个相关的变式问题，希望能抛砖引玉，对读者解决此类问题有所启发．     

例析探索型试题求解方略培养创新能力

解析此题采用“分析法”,执果索因,只要作线段AB的垂直平分线交Z轴于C,由CA=CB,说明等腰△ABC是否存在,关键分析清楚分别以A、B、C为等腰三角形的顶点得到不同的C点,反过来根据两腰相等的条件,求出点C的坐标．     

一道赛题的求解、应用及探究

在刚结束的2008年上海市高中数学竞赛（新知杯）中出现了一道关于集合计数的问题，笔者发现此类问题也经常出现在其他各类竞赛中，下面呈现的是笔者对该问题的求解和应用及几点简单探究．     

一道赛题的“多解”与“多变”

例1在△ABC中,∠ABC=45°,P是BC边上一点,PC=2PB,∠APC=60°,求∠ACB的度数．     

赛题推广

2013年浙江省高中数学竞赛试题第18题：     

重形求变巧解赛题

2005年全国高中数学联赛加试题第二大题如下：     

一道名赛题产生的系列经典赛题的统一简证

题设a,b,c∈R^＋，求证a/b＋c＋b/c＋a＋c/a＋b≥3/2.此题是著名的shapiro猜想，又是1963年第26届莫斯科数学竞赛试题中的一道脍炙人口的不等式证明题．     

一道全国初中数学赛题的多种解法

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题的17题是： 如图1,已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E,与AC边相交于点F和G,求＜DEF的度数．     

一个级数公式，两道物理赛题

例1有N个一价正离子和N个一价负离子交错排列成一维点阵,相邻离子间距为a,计算这个相互作用系统的总静电能（N→∞）．     

一道赛题的解法探秘

例如图1,AC,BD是四边形ABCD的对角线,若△ABC是等边三角形,∠ADC-30°,AD=3,BD=5,则CD的长为（ ）     

赛题别解

2012年的二十三届希望杯高二第2试的第18题：已知点M是△ABC所在平面内的一点,     

几道平面几何赛题的关联

例1 设AABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA＋∠PCA=∠PBC＋∠PCB．求证：AP≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．     

一道赛题引出的一个三点共线性质

题（第37届IMO中国选拔赛试题）：以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E．过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG与EF交于点M,则AM⊥BC．     

一道向量赛题的推广与平几证明

题目如图1,直线MN过△ABC的重心G,且AM—mAB,AN=nAC（其中m〉0,n〉0）,则M的最小值是______。     

两道赛题的统一加强

2004年美国数学奥林匹克题5是:设a,b,c为正实数,证明(a~5-a~2 3)·(b~5-b~2 3)(c~5-c~2 3)≥(a b c)~3.(1)为了证明(1)式,其标准答案将其加强为(a~3 2)(b~3 2)(c~3十2)≥(a b c)~3.(2)由(2)式左边的结构,联想到2004年亚太地区数学奥林匹克题5:     

压强极值题怎样求解

历届各地物理中考，有关压强的极值题层出不穷，引人注目。全面分析此类试题，其主要的求解方法可归纳为以下几种：