一道数学竞赛题的几何证法

本刊1994年第4期严镇军同志文中有一道1993年在俄罗斯圣—彼得堡举行的数学竞赛中的三角函数的试题:“证明恒等式ctg10°-4cos10°=3~(1/3).     

一道竞赛题的几何证法

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从一道全俄数学竞赛题的几何证法谈起

第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第4阶段)十一年级第5题为: 已知角α、β、γ、满足不等式sinα sinβ Sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2)。 参考答案给出了一种利用正余弦函数有界性的三角变换证法,本文另辟蹊径,现提供一种简明直观的几何证法。     

一道白俄罗斯竞赛题的几何研究

第52届白俄罗斯数学奥林匹克(决赛B类)试题：     

求解一道几何竞赛题的心路历程

问题（第十届西部数学奥林匹克试题）如图1,AB是圆O的直径,C、D是圆周上异于A、B且在AB同侧的两点．分别过点C、D作圆的切线,它们相交于点E,线段AD与BC交于点F,直线EF与AB相交于点M．求证：E、C、M、D四点共圆．     

对一道几何竞赛题的探索

2006年全国初中数学联赛武汉CASIO杯初赛题的第16题是:如图1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E、G分别为AD、AC的中点,DF⊥BE,垂足为F.求证:FG=DG.     

谈一道数学竞赛题

合肥市1983年高中数学竞赛的第4题是“设在△ABC中有cosA/(sinB)+cosB/(sinA)=2,证明△ABC是一个直角三角形。”从表面上看,此题似乎很平常,大概只要和差化积、积化和差,几步就可得出结论,其实不然,它还是有一定的深度和难度的。这不是一道陈题,但却是由课本上的一道练习题脱胎而成的。统编高中数学课本第一册,第168页有一道题“在△ABC中,求证:     

一道奥林匹克数学竞赛题

在匈牙利举行的第六届国际数学教育会议上,我与一位澳洲友人谈及他们刚主办了的第廿九届国际奥林匹克数学竞赛,他说其中一道题目貌虽简单,却连大学里好些数论专家也没能马上解答,反是参赛学子解得该题者大不乏人,可云后生可畏!我既非“后生”,又非数论专家,自是属于没能马上解答的一群了。不过,在往复探索的过程中,除了亲尝那份从未知到理解的乐趣以外,我还觉得这段过程有点教育意义,拿来谈谈,或可引起同行们的兴味。     

一道数学竞赛题的启示

一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

用几何方法解一道竞赛题

有一道竞赛题 :设x =2 0 0 1- 2 0 0 0 ,y =2 0 0 0 -1999,则x、y的大小关系是 (　　 ) .(A)x>y　　　　　　　　 (B)x=y(C)x2 0 0 0 +1999,知　 12 0 0 1+2 0 0 0 <12 0 0 0 +1999,所以　x相似文献   

一道数学竞赛题的推广

一九八七年全国初中数学联赛第一试选择题第2小题: 在一条直线上已知四个不同的点,依次是A、B、C、D,那么到A、B、C、D的距离之和最小的点。 (A)可以是直线AD外的某一点; (B)只是B点或C点; (C)只是线段AD的中点; (D)有无数多个点。推广一:设A_1、A_2、…,A_n(n∈N)依次为直线l上的n个点,求点P使P到A_1、A_2,…,A_n的距离之和最小,即 PA_1 PA_2 … PA_n最小。分析:要确定P点的位置,分两步考虑:第一,P点在直线l上,还是在直线l外?第二,P点若在直线l上,则应在什么位置?很容易证明:P点一定在l上,否则,假设P     

一道数学竞赛题的解法

第六届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题中第二题的第1题是: 计算:1+(1/1+2)+(1/1+2+3)+(1/1+2+3+4)+…+(1/1+2+3+…+100) 这类题直接计算难以奏效,我们借助下面的公式可得简便     

一道数学竞赛题的推广

题目已知a一199ox+1989,b=199ox十1990,e=1990x+1991,求矿+夕十‘2一。b一bc一。的值. (1991年武汉等五市初中数学联赛) 解由已知条件,可得 b一a~1,c一b一1,c一a一乙 “2+bZ+cZ一ab一be一c口一合(Za’+“b’一合仁(b’一“ab+2c2一2口b一Zbc一Zc口)+矿)+(c2一Zbc+夕)+(c2一2c倪+。2)〕一音〔(b一a)2+(C一,)2十(e一a)2」一合(12+12+22) 一3. 通过观察不难发现,本试题可作如下推广: 已知a。一al十1,a3一。,十2,…,。,一al+、是正整数,求川十暇+…+武一久。:一气a3一·一的值. 解由已知条件,可得 a:一。z=1,。3一“2一1,…,口,一“二一i=1,…     

一道数学竞赛题的推广

原题设f（x）=4x/4x＋2,求和：f（1/1001）＋f（2/1001）＋…＋f（1000/1001）。（1986年全国高中数学联赛试题）