思维方法趣谈（四）——巧用对称性

题目:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5).求证:A、B、C三点共线.下面是笔者归纳总结得出的十种证明方法,在此奉献给同学们参考.证法一:利用斜率公式证明之.由斜率公式K=y2-y1x2-x1得:KAB=3-(-1)1-(-1)=2.KAC=5-(-1)2-(-1)=2∴KAB=KAC∵直线AB、直线AC有公共点A.∴A、B、C三点共线.证法二:利用两点间的距离公式证明之.∵|AB|=[1-(-1)]2+[3-(-1)]2=25|BC|=(2-1)2+(5-3)2=5|AC|=[2-(-1)]2+[5-(-1)]2=35∴|AB|+|BC|=|AC|∴A、B、C三点共线.证法三:利用定比分点坐标公式证明之.设A(-1,-1),B(1,3),C′(2,m)三点共线,且设AC′=λC′B…     

数学竞赛单元训练题(高中) 直线与圆

一、选择题1 .已知P1(x1,y1)、P2 (x2 ,y2 )分别是直线l上和l外的点 .若直线l的方程是 f(x ,y) =0 ,则方程f(x ,y) -f(x1,y1) -f(x2 ,y2 ) =0表示 (　　 ) .A .与l重合的直线B .过P1且与l垂直的直线C .过P2 且与l平行的直线D .不过P2 但与l平行的直线2 .已知三点A(-2 ,1 )、B(-3 ,-2 )、C(-1 ,-3 )和动直线l:y =kx ,当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时 ,下列结论中 ,正确的是 (　　 ) .A .点A在l上　　B .点B在l上C .点C在l上　　D .点A、B、C均不在l上3 .与圆 (x -a) 2 (y -b) 2 =4(a2 b2 )和圆 (x a) 2 (y b) 2 =4(a2 …     

点到直线距离公式证法综述

在学习了点到直线距离公式后 ,总觉得课本上对这一公式的证明比较繁琐 .其实 ,这一公式还有多种证法 .设P(x0 ,y0) ,L :方程Ax +By+C =0(A ,B不同时为零 )当A =0或B =0时公式显然成立 ,因此 ,这里只证明A ≠ 0 ,B≠ 0时的情况 .已知 :P(x0 ,y0 ) ,L :Ax+By +C =0(A ≠ 0 ,B ≠ 0 ) ,求证 :P到L的距离d =｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .证法一 :过P点作L的垂线交L于Q(x1 ,y1 ) ,则kPQ =BA∴ x1 -x0y1 -y0=AB ①∵Ax1 +By1 +C =0 ,∴将其变形为A(x1 -x0 ) +B(y1 -y0 )=-(Ax0 +By0 +C) ②联立①②得 :x1 -x0 =-A(Ax0 +By0 +C)A2 +…     

一题三问 一问三解

题目已知,如图1,点P在x轴上,⊙P切y轴于O,直线y=-33x+1与⊙P相切于C,交坐标轴于A、B两点.(1)求⊙P的半径;(2)求点C的坐标;(3)求过A、C、P三点的抛物线的解析式.分析与解(1)思路1根据直线y=-33x+1与坐标轴交于A、B两点,易求得两点的坐标分别为A(3,0)、B(0,1),即BO=1,AO=3,于是可得AB=2.又因⊙P切y轴于O,切直线AC于C,故BO=BC=1,AC=AB+BC=3.如图2,连接PC,在RtACP中,设⊙P的半径为r,根据勾股定理得:(r+3)2-r2=32,解得r=3.思路2由RtAOB∽RtACP,有OAAC=OBPC,即33=1r,得r=3.思路3运用切割线定理,设⊙P与x轴的另一交点为D,…     

直线和圆的方程单元检测题

一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知点A(2,3)、B(1,5),直线AB的倾斜角为()A.arctan2B.arctan(-2)C.2π+arctan2D.arctan21+2π2.直线Ax+By+C=0,其中A、B、C符号相同,则直线必过()A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限3.直线ax+(1-a)y=3和(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为()A.-3B.0或-23C.1D.1或-34.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是()A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=05.点(x,y)在直线x+2y+1=0上移动,函数z=2x+4y的最小值是()A.22B.2C.22D.426.直线x+y-1=0到xsin…     

单元测试题

(A卷)一、选择题1.点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为().(A)(-1,2)(B)(1,-2)(C)(2,-1)(D)(-1,-2)2.下面点()在函数y=21x+1的图象上.(A)(2,1)(B)(-2,1)(C)(2,0)(D)(-2,0)3.点P(-3,4)关于y轴对称的点的坐标是().(A)(3,-4)(B)(-3,-4)(C)(3,4)(D)(-4,3)4.下列函数关系中,①y=2x+1,②y=1x,③y=x2+1-x,④s=60t,⑤y=100-25x,表示一次函数的有().(A)1(B)2个(C)3个(D)4个5.一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是().(A)一、二、三(B)二、三、四(C)一、二、四(D)一、三、四6.已知正比例函数y=(k-2)x+k+2,k的取值正确的是().(A)k=2(B)k=-2(C)k≠2…     

利用曲线系思想解一类轨迹问题

1命题命题1若A B是椭圆22C1:ax2+by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则椭圆22222C:(2x M x)(2y My)a b?+?=1经过A、B两点.证明设点A(x A,y A)、B(x B,y B),则由M是弦AB的中点,可知,x B=2x M?xA,y B=2y M?yA,由点B在椭圆C1上,知(2x M?x A)2/a2+(2y M?y A)2/b2=1,所以点A在椭圆C2上.同理可知点B也在椭圆C2上,故椭圆C2经过A,B两点.类似地有:命题2若AB是双曲线22C1:ax2?by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则双曲线22222C:(2x M x)(2y My)1a b???=经过A,B两点.命题3若AB是抛物线y2=2px的一条弦,且弦AB的中点为…     

2005年高三第一次联合考试数学试卷

一、选择题:本大题共12小题,每题5分. 共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知(3 在)·:二一2汉,那么复数: 对应的点位于复平面内的() (A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限、(D)第四象限 (C)y (D)y 3.lim ‘弓 二。一‘一l(x oR) 二。飞一1(二只_R) sinZ另 eos气下一工) ) ’2.函数夕誉l叔1七二)(二、1’)的反函数为 () (A)y (B)y =l一e一‘(二二 二l一犷(二。 R) R) (A)一2(B)2(C)一l(D)l 二4.过点(2,3)的直线矛与圆c:产 尹 4: 3三.d交于注、B两点,当弦!滋引取最大值时, 直线.1的方程为() (A)3:一4了…     

高一（上）数学期末测试题及参考答案

一、选择题 :(本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 )1.下列四个命题中 ,不正确的是 (　 )(A)若 A∩B= ,则 A∪B= (B)若 A∪ B=I,则 A∩ B= (C)若 A∪ B= ,则 A=B= (D)若 A∩B=A,则 A B2 .已知 A={ x|0≤ x≤ 4} ,B={ y|0≤ y≤ 2 } ,从 A到 B的对应法则 f分别为 :1f:x→ y=12 x;2 f:x→ y=x- 2 ;3f:x→ y=x ;4f :x→ y=|x- 2 |,其中能构成映射的个数是 (　 )(A) 1个　 (B) 2个　 (C) 3个　 (D) 4个3.已知 f(x)是奇函数 ,则下列各点中在函数y=f (x)图象上的点的是 (　 )(A) (a,f (- a) )　　 (B) (1a,- f (1a) )(C…     

解析几何中的一个快捷键——圆锥曲线的割线的斜率

1.定义:如果一条直线l交圆锥曲线C于A、B两点,则称直线l为圆锥曲线C的割线. 2.公式:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB的中点N(x0,y0). 椭圆:x2/a2+y2/b2=1的割线AB,则kAB=-b2x0/a2y0. 双曲线:x2/a2-y2/b2=1的割线AB,则KAB=     

2005年高考江苏卷数学试题及参考答案

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=().(A){1,2,3}(B){1,2,4}(C){2,3,4}(D){1,2,3,4}2.函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log22x-3(B)y=log2x-32(C)y=log23-x2(D)y=log223-x3.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=().(A)33(B)72(C)84(D)1894.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)34(B)32(C)334(D)35.△ABC中,A=π3,BC=…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(Ⅰ)

第I卷e.(在一汀的”开式中的常数项“(A)15(B)一15一选择题1.设集合材={(:,y)lx,+尹=l, 1(x,力}:2一y=0,二。R,yoRI 的个数是 (A)l(B)2(C)3_、。~、,,,,~、,、、_一、,2叮1.仗星致z的描用阴王但刀不万, J(C)20虚部为万,(D)一20则尹=x ER,y oR},浑=则集合MnN中元素(D)42.函数,=},i。令I的最、、正周期是 }‘I(B)二(C)2二(D)4二 (^)一2一2万i (C)2+2万i8.设双曲线的焦点在x轴上, 该双曲线的离心率。= (A)5(B)万(B)一2涯一21(n)2涯+21两条渐近线为y二土冬二,则 乙3.记函数y=1+3一,的反函数为y=g(x),则或10)二 (A)2(B)一2(C)3(D)一…     

函数与导数(文)

一、选择题: l、函数y=f(x)的图像与直线x二2的公共点共有( A.0个B.l个C.O个或1个D.不能确定2、函数y=共(:,一5)的反函数是( X J A .y二土一5(x尹。) e .y二土 5(、尹。) B .y二x 5(x eR) D·y二x一5(x‘R) X 3、“△ABC中,若乙C=9()。,则乙A、乙B都是锐角”的否命题为( A.△ABC中,若乙C护卯“,则乙A、乙B都不是锐角B.△人BC中,若乙C护卯“,则乙A、乙B不都是锐角C.△ABC中,若乙C笋oo。,则乙人、乙B都不一定是锐角D.以上三个命题都不正确4、函数y二处卫ZX 3的值域是( A.(一,,一I)U(一l, ao) C.(一,0)U(0, a…     

高二数学测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l1:y=1,l2:3x+y-1=0,那么直线l1与l2的夹角为()(A)60°(B)120°(C)30°(D)150°2.若a,b∈R,且a3>b3,则下列判断正确的是()(A)1a<1b(B)1a>1b(C)ab3.若直线l经过点(3,-3),且倾斜角为30°,则直线l的方程是()(A)y=3x-6(B)y=33x-4(C)y=3x+43(D)y=33x+24.已知F1、F2是椭圆x42+y22=1的两个焦点,P是椭圆上的点,若PF1·PF2=0,则这样的点P有()(A)2个(B)4个(C)6个(D)0个5.抛物线y=-31x2的准线方程是()(A)y=23(B)x=61(C…     

对新教材一公式推导的质疑、建议和想法

公式　如果已知点P的坐标为 (x0 ,y0 ) ,直线l的方程为Ax+By +C=0 ,则点P到直线l的距离为d=｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .1　一点质疑此公式是高中教科书 (试验修订本 ·必修 )《数学》第二册 (上 ) (以下简称新教材 )第 7.3节的内容 ,新教材给出了此点到直线距离公式的推导过程 ,并指出了用两点间距离公式推导的繁琐和运算过程的复杂 .其实 ,在教材中 ,编者一再提到的思路自然、运算复杂的推导方法其实是很简单、巧妙的 .具体推导如下 :推导 1　设A≠ 0 ,B≠ 0 ,过P作直线l的垂线 ,垂足为Q(x1,y1) ,则Ax1+By1+c=0 ,y1- y0x1-x0 =BA ,即A…     

2001年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )1.已知 a为给定的实数 ,那么集合 M={ x |x2 - 3x- a2 2 =0 ,x∈ R}的子集的个数为 (　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 4　　 (D)不确定2 .命题 1:长方体中 ,必存在到各顶点距离相等的点 ;命题 2 :长方体中 ,必存在到各棱距离相等的点 ;命题 3:长方体中 ,必存在到各面距离相等的点 .以上三个命题中正确的有 (　 )(A) 0个　 (B) 1个　 (C) 2个　 (D) 3个3.在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|cot x |,y=lg|sin x|中以 π为周期、在 (0 ,π2 )上单调递增的偶函数是 (　 )(A) y=sin|x|　　 (B) y=cos|x…     

注重基础 融会贯通——从湖南卷文史类第21题说起

(21题):如图1,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3 3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0＜t＜1)与曲线C1、C2分别交于点B、D.     

2004年数学高考冲刺卷（五）

一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 已知映射f:A→B ,其中A =B =R ,对应法则f:y =-x2 2x ,对于实数k∈B ,在集合A中不存在原象,则k的取值范围是(　　)(A)k>1　　　　　(B)k≥1(C)k <1 (D)k≤12 点M是圆(x-5 ) 2 (y -3 ) 2 =9上的点,则点M到直线3x 4y-2 =0的距离的最小值是(　　)(A) 9　　(B) 8　　(C) 5　　(D) 23 已知x、y∈R且x2 y2 -2x≤0 ,则(　　)(A)y2 >2x　　　　(B)y2 <2x(C)y2 ≥2x (D)y2 ≤2x4 设f(x)为偶函数,对于任意的x >0 ,都有f(2 x) 2f(2…     

《一次函数》单元测试题

图1一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列函数中,一次函数的个数是()①y=x;②y=3x;③y=5x 6;④y=x-11;⑤y=3x2.A.1B.2C.3D.42.下列各点中在一次函数y=3x-4图象上的是()A.(2,3)B.(-1,-1)C.(0,-4)D.(-4,0)3.一次函数y=-2x 3的图象所经过的象限是()A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限4.弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)是一次函关系,图象如图1所示,则弹簧不挂物体时的长度是()A.9cm B.10cmC.10.5cm D.11cm5.已知直线y=kx b经过点A(0,-2),且与坐标轴围成的角三角形的面积为4,则k的值为()A.2…     

一些特殊的不定方程

一、选择题1.方程A .1组J十3了+1y=0的整数解有( 方法2:原方程可化为(二+1)(y一1)=2.因为二、y为整数,所以B .2组C .3组 ).D .4组x十1=一1,y一1二一2;{‘十)气夕i=一3.=一2=一l买+1二1.y一1=2;{二+l=2.{,_、即气y一1一i·工=0,}了=1=0;}y=3;{y=2.Xy ,;,白..︸一一一一一一艾y 2.满足等式二石+y存一厂历丽至一了厄丽亏子书丫灭而砚二2005的正整数对(二,y)的个数是(). A .0 B.2 C.4 D.8 3.整数.I、y满足2二“+少+l=4二Zy,则l“+少的值等于(). A .1 B.2 C.4 D.5 4.方程mZ一Zmn十14n2=217的正整数解有(). A.1组B.2组C.3组D.无数组 5.若…