立方和(差)公式的应用

九年义务教材初中《代数》第一册(下)第125页介绍的立方和(差)公式:(a+b)(a~2-ab+b~2)=a~3+b~3,(a-b)(a~2+ab+b~2)=a~3-b~3,这里给出它们的两个变形:a~3+b~3=(a+b)~3-3ab(a+b),a~3-b~3=(a-b)~3+3ab(a-b),它们在解题中有着广泛的应用.现举数例说明如下,供初一学生学习时参考.     

妙用倒数巧解题

由a~2-b~2=1得(a b)(a-b)=1,故(a b)与(a-b)互为倒数,反之亦然。由平方差公式与倒数之间这种特殊联系,易知,(a~(1/2) b~(1/2))与(a~(1/2)-b~(1/2))(a>0,b>0)互为倒数的充要条件是(a~(1/2))~2-(b~(1/2))~2=1。灵活运用这个特性可巧妙迅速解题。     

倒数的一个性质及其应用

平方差公式与倒数之间存在一种特殊联系.若a~2-b~2=1,即(a+b)(a-b)=1,根据倒数的定义,容易知道此时数(a+b)与(a-b)是互为倒数关系.反之也然.由此,我们引出倒数的一个重要性质:共轭式a~(1/2)+b~(1/2)与a~(1/2)-b~(1/2)互为倒数的充要条件是(a~(1/2))~2-(b~(1/2))~2=1.了解并运用这个性质,某些问题便可迅速得解.     

平方差公式与倒数的一种特殊联系

平方差公式与倒数之间存在一种特殊联系。 如果a~2-b~2=1,即(a b)(a-b)=1,由倒数的定义可知,此时,(a b)与(a-b)互为倒数关系。反之,如果(a b)与(a-b)互为倒数,则a~2-b~2=1。 将这种关系运用到二次根式中,不难引出倒数的一个重要性质:共轭式(a~(1/2)十b~(1/2))与(a~(1/2)一b~(1/2))互为倒数的充要条     

用乘法公式解中考题举例

乘法公式是多项式的乘法推得的,如：平方差公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2;完全平方公式(a+-b)~2=a~2+-2ab+b~2立方和与立方差公式(a+-b)(a~2-+ab+b~2)=a~3+b~3(此公式人教版试用修订本《代数》第一册(下)中已删去)     

谈“乘法公式”的应用

初中代数教材中乘法公式有五个: (a+b)(a-b)=a~2-b~2; (a±b)~2=a~2±2ab+b~2; (a±b)(a~2ab+b~2)=a~3±b~3. 这些公式是数学运算和变形的基础.学习乘法公式,不仅要熟记公式,更重要的是学会灵活应用这些公式。乘法公式的应用十分广泛,本文仅从教材的例题、习题中总结其各种应用,供同学们参考。     

反证法在代数中的应用举例

反证法是一种间接的证题方法。当用直接证法比较困难时,应用反证法往往会收到很好的效果。这种证题方法不仅在几何证明中经常用到,在代数证明中也时有应用。例1 已知a与b均为正有理数,而a~(1/2)和b~(1/2)都是无理数,证明a~(1/2)+b~(1/2)也是无理数。证明:假设a~(1/2)+b~(1/2)为有理数,则 (a~(1/2)+b~(1/2))(a~(1/2)-b~(1/2))=a-b, ∵a~(1/2)+b~(1/2)≠0,(a,b均为正有理数) ∴a~(1/2)-b~(1/2)=(a-b)/(a~(1/2)+b~(1/2)), 因为有理数对四则运算是封闭的,所以,根据已知条件和所作的假设,由上式可知a~(1/2)-b~(1/2)也是有理数,这样     

一道课本复习题的证明及其推广

在高中代数《不等式》的一章中,有这样一道复习题。 题“已知a>b>0,求证a~(1/2)-b~(1/2)<(a-b)~(1/2)”。 本文先介绍这个不等式的几种证法,然后对这个不等式作适当的提高和推广。 证法1 (作差比较法) ∵ (a-b)~(1/2)-(a~(1/2)-b~(1/2)) =(a-b-(a~(1/2)-b~(1/2))~2)/ ((a-b)~(1/2) (a~(1/2)-b~(1/2))     

第二讲 式的恒等变形常用的技巧

进行式的恒等变形时,常用到下面的技巧。一、同加、同减例(1) 已知(a+b)~2=7,(a-b)~2=3,求a~4+b~4的值。解:将(a+b)~2=7,(a-b)~2=3两式分别相加、相减得: 2(a~2+b~2)=10,4ab=4。即 a~2+b~2=5,ab=1 ∴ a~4+b~4=(a~2+b~2)~2-2a~2b~2=5~2-2×1~2=23。例(2) 设a>0,b>0,a~2+b~2=7ab,求证: lg[1/3(a+b)]=1/2(lga+lgb)。解:a~2+b~2=7ab等式两边同加上2ab得: (a+b)~2=9ab。即((a+b)/3)~2=ab,     

椭圆、双曲线的共轭直径及应用

定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2).     

Weitjenbok不等式简记八法

设△ABC的边和面积分别为a,b,c和△,则a~2 b~2 c~2≥3~(1/4)△. 证1 比较法.a~2 b~2 c~2-3~(1/4)△=2(b~2 c~2)-4bcosin(A 30°)≥2(b-C)~2≥0. 证2 (a~ b~2 c~2)-(3~(1/4)△)~2=(a~2 b~2 c~2)-3(a b c)(a b-C)·(b c-a)·(C d-b)=2[(a~2-b~2)~2 (b~2-c~2)`2 (c~2-a~2)~2]≥0.     

小议“元”的作用

在对含有多个字母的代数式进行变形时,适当地确立一个字母作“元”。并按这个“元”来分析,可使一些数学问题得到规范化和简单的解法。一分解因式中按元分组 [例1] 把a~4(b-c) b~4(c-a) c~4(a-b)分解因式略解:原式=(b-c)a~4 (c~4-b~4)a bc(b~3-c~3)<以a为元> =(6-c)(a~4-ab~3-ac~3-abc~2-ab~2c b~3c bc~3 b~2c~2) =(6-c)[(c-a)b~3 (c~2-ac)b~2 (c~3-ac~2)b (a~4-ac~3)]<以6为元> =(6-c)(c-a)(b~3 cb~2 c~2b-a~3-ac~23-a~2c)     

巧用直线与圆有公共点的条件解题

众所周知,直线与圆有公共点的充要条件是圆心到直线的距离不大于圆的半径。应用这一关系解决一些数学问题将另辟蹊径。别具风格,现举例说明如下。一求值例1 已知|a|≤1,|b|≤1,且a((1-b~2)~(1/2))+b((1-a~2)~(1/2))=1,求a~2+b~2的值。解:令x=(1-b~2)~(1/2),y=(1-α~2)~(1/2),则直线ax+by=1与圆x~2+y~2=2-(a~2+b~2)有公共点((1-b~2)~(1/2),(1-a~2)~(1/2)),于是(|-1|)/((a~2+b~2)~(1/2))≤((2-(a~2+b~2))~(1/2)),     

双曲线上轴对称点的两个定理及其应用

一、定理定理1 设双曲线 E:x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0,c=(a~2 b~2)~(1/2)和直线 l:y=kx t(k≠0),那么(1)当且仅当00,b     

利用sin~2α cos~2α=1进行三角代换

平方关系是三角函数之间的一种基本关系,恰当运用千方关系,不仅能简化问题,而且还能加强数学各部分知识之间的相互渗透,本文略举数例说明其应用。 例1 已知a>b>c,求证1/(a-b) 1/(b-c) 4/(c-a)≥0。 证 由已知a>b>c得a-b>0,b-c>0,a-c>0,又因(a-b) (b-C)=a-C令:a-b=(a-C)cos~2d b-C=(a-c)sin~2d(其中0<口<π/2)。原不等式等价于1/((a-c)cos~2θ) 1/((a-c)sin~2θ)-4/(a-c)≥0即:1/(a-c)[(1 tg~2θ) (1 ctg~2θ)-4]≥0。 显然,不等式1/(a-c)(tgθ-ctgθ)~2≥0成立。故原不等式成立。 例2 已知f(x)=ax b,且2a~2 6b~2=3,证明:对任意实数x∈[-1,1],都有|f(x)|≤2~(1/2)。 证 由已知2a~2 6b~2=3,得(((2/3)a)~(1/2))~2     

算术根及其应用

根据算术根定义知,当a≥0时(a~n)~(1/n)=a(n∈N)而当a<0时(a~(2n))~(1/(2n))=-a(n∈N),在这个问题上,一定防止((-2)~2)~(1/2)=-2,4~(1/2)=±2等错误发生。根据多年教学实践可知,算术根概念是较难掌握而又有广泛应用的重点内容之一。为了较好地理解这个概念,现介绍它在许多方面的应用。 1.算术根与方根 从根式基本性质到根式运算都与算术很有密切关系,在应用算术根定义时,必需细心以防出现差错。 例1 把(a~2 b~2)~(1/2),(b-a)~(1/3)化为同次根式。 解(a~2 b~2)~(1/2)=((a~2 b~2)~3)~(1/6), 例2 约简((a-b)~4)~(1/(12))中被开方数的指数和根指数。     

一道竞赛题的两种解法

第十五届江苏省初中数学竞赛二试初二第14(2)题:已知a(1-b~2)~(1/2)+b(1-a~2)~(1/2)=1,则a~2+b~2=____.这是一道启迪思维、培养创新能力的好题.这里给出两种解法,供参考.     

完全平方公式的变式及应用

将完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2-2ab+b~2进行变形后易得以下几个公式:a~2+b~2=(a+b)~2-2ab=(a-b)~2+2ab,(a+b)~2=(a-b)~2+4ab(a-b)~2=(a+b)~2-4ab,(a+b)~2-(a-b)~2=2(a~2+b~2),(a+b)~2-(a-b)~2=4ab,(和差化积公式)ab=(a+b/2)~2-(a-b/2)~2.(积化和差公式)     

由一道数学问题所引起的联想

本刊1983年第3期“数学问题”栏里有这样一道题:“方程x~3+y~3-3xy+1=0,的图形是什么?作出此图形。”仔细思考,耐人寻味。如果稍作些考察、对比、联想,我们可以发现问题中方程等号左边式子的形式特征酷似我们在初中曾经接触过的问题:“因式分解a~3+b~3+c~3-3abc”。 a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca) ……(A)=1/2(a+b+c)[(a-b)~2+(b-c)~2     

完全平方公式的变形的运用

完全平方公式的变形运用广泛,灵活多变,对学生解题能力的训练有很大的功效.现举几例说明它的应用. 完全平方公式的变形有如下几种形式: 1.(a+b)~2=(a~2+b~2)~2+2ab; 2.(a-b)~2=(a~2+b~2)~2-2ab; 3.(a+b)~2+(a-b)~2=2(a~2+b~2); 4.(a+b)~2-(a-b)~2=4ab.