多部图λkn（g）的G-设计，G为有1条悬边的4长圈

设λkn（g）是一个入重完全n部图，G为一个不带孤立点的简单图，一个λkn（g），G）-设计是将λkn（g）划分成边互不相交的子图，使得每一个子图都和G同构．在此基础上讨论了G为有1条悬边4长圈时多重完全多部图的G-设计的存在性，并给出其存在谱．     

由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数

本文证明由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数，等于这个幂幺矩阵的不同特征根的个数。设A＝（aij）是n阶矩阵，aij是复数，满足Ak＝E（k≥1）的矩阵称为幂幺矩阵；由这样的矩阵A的全体实系数多项式组成一个向量空间，把这个向量空间记为P（A）。引理1：n阶矩阵A相似于一个对角矩阵的充要条件是A的最小多项式没有重根。证明：充分性设A的最小多项式m（λ）没有重根，m（λ）＝（λ－λ1）（λ－λ2）…（λ－λk），则m（A）＝（A－λ1E）（A－λ2E）…（A－λkE）＝0，记矩阵A－λiE的秩为γi（i＝1，2，…，k），则由上…     

循环差集存在的一个必要条件和素数的一个性质

证明当v≡0(mod3)时，存在（v,k,λ）－循环差集的必要条件是不定方程k-λ=x^2 y^2 xy有非负整数解x,y．由此可以推出（i)当k-λ≡6或10（mod12)时，不存在（v,k,λ）－循环差集；（ii)当p≡1(mod3)是一个素数时，不定方程p=x^2 y^2 xy有非负整数解x,y。     

(k,n-k)共轭边值问题正解的全局连通分支

讨论了非线性（k,n-k）共轭边值问题（－1）^n-kx^(n)=λp（t）f（x）,t∈（0,1）,x^（i）（0）＝0,x^（j）（1）＝0,0≤i≤k－1,0≤j≤n-k-1,在常规要求条件下给出了正解的一个连通分支。     

关于一个加强的Hardy不等式

证明了如下权系数ω（k）的不等式：（ω（k）=√k∞∑n=kn2 n∑j=i 1/√j≤4（1-θ/√k）（k∈N））,这里,θ=（1-1/4∞∑n=1 1/n2 m∑k=1 1/√k）=0.13788928^＋是最佳值.从而建立了一个加强的Hardy不等式（P=2）.     

三种重要概率分布的关系及其应用

在二项分布B（k;n,p）中,当npn→λ时,它服从泊松分布;当n→∞时,（Un-np）/（np（1-p））-（1/2）-N（0,1）.在泊松分布X-P（λ）中,当λ→∞时,x-λ/λ-（1/2）-N（0,1）.二项分布的一个近似计算公式P{k1≤un≤k2}=Φ（（k2-np＋0.5）/（np（1-p））-（1/2）-Φ（k1-np-0.5）/（np（1-p））-（1/2）     

一类修正的阻尼牛顿法

在 Marquardt ！ Levenber 方法和 Goldstein ！ Price 方法的基础上对阻尼牛顿法 x（k＋1）＝x（k）－λk ["2 f（x（k））]－1"f（x（k））作了适当改进,得出了一种新的算法。与原来算法相比较,新算法避免了二阶导数矩阵的奇异性和非正定性,从而使迭代在二阶导数矩阵奇异和非正定的条件下也能进行。文章还给出了新算法的收敛性分析和算法步骤,最后给出了数值试验。     

抛物线内接多边形的奇特性质

性质1 设多边形A1A2…An-1An的各个顶点均在抛物线y^2=2px（p〉0）上,如果各边A1A2,A2A3,…,An-1An,AnA1所在直线的斜率都存在,设为k1,k2,…,kn-1,kn,当n为偶数时,1/k1-1/k2＋…＋（-1）^n＋1 1/kn=0     

一个含双参不等式及其对一类分式不等式的证明

定理设实数x,y,z满足xy＋yz＋zx=λ（x＋y＋z）＋μ,则有（x—k）^2＋（Y—k）^2＋（z—k）^2≥2k^2-2μ-2λk—λ^2．（1）     

2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛

一、填空题（每小题7分,共56分）1．设k1〈k2〈…〈kn是非负整数,满足2^k1＋2^k2＋…＋2^kn=227．则k1＋k2＋…＋kn=__________.2.已知a〉0,函数f（x）=｜x＋2a和g（x）=｜x-a｜的图像交于点C,且它们分别与y轴交于点A、B。若△ABC的面积是1,则a＝_____________.     

用超椭圆构造强正则图

在本中，我们证明了下面主要结果：如果U=（X，B）是一个t-(υ t,κ t,1）设计（t≥1),Y=(υ1，υ2，…，υt)∈X，用UY表示U在Y上的限制，如果D=UY是一个2-对称设计，并且D中的超椭圆的个数至多为tυ(υ-1)(υ-κ)/[κ(κ^2-1)]，则这些超椭圆可以分为t类，每一类构成一个2-设计，它们的块图都是强正则图，并且它们的并也是一个2-设计，作为一个推论，我们给出了一个2-设计可以扩张的判据，最后我们给出一个例子说明我们的方法有效。     

树和乘积图的圆L（j,k）-标号数（英文）

设j,k和m是3个正整数.给定一个图G.设f：V（G）→{0,1,…,m-1}是一个映射.如果对图G的任意一对相邻顶点u和v都有f（u）-f（v）m≥j,对任意一对距离为二的顶点都有f（u）-f（v）m≥k,其中a-bm=min{a-b,m-a-b},则称f是图G的一个圆m-L（j,k）-标号.使得图G有圆m-L（j,k）-标号的最小的正整数m称为图G的圆L（j,k）-标号数,记为σj,k（G）.对任意2个满足j≤k的正整数,确定了树以及2个完全图的笛卡尔乘积图和直积图的圆L（j,k）-标号数.     

一类集值映射的周期点集

设（x,d）是紧致度量空间,f：X→X是连续映射,k（X）为X的所有非空紧致子集赋予由d诱导的Hausdorff度量而得到的空间,由,诱导的集值映射f^-：k（X）→K（X）定义为f^-（A）={f（a）：a∈A）,主要考虑（X,f）的周期点集与（k（X）,f^-）的周期点集之间的关系,得到了如下重要结果：证明了若P（f^-）是闭集,则P（f）是闭集,并举例证明了它的逆命题不一定成立;证明了P（f^-）：r（X）能蕴含p（f）：X,并给出了一个反例说明了p（f）=X不一定蕴合P（f^-）=r（X）;证明了在X为有限集时p（f^-）：X能蕴含P（f^-）k（X）。     

重尾相关非负随机变量的随机加权和

本文讨论了当符合文中第2部分给出的相关定义既允许正相关又允许负相关,权重随机变量与独立的情形下,重尾非负随机变量的随机加权和的渐进式,并证明了如下关系成立。p（max nθkXk〉x）-P（n∑θkXk〉x）-x∑k-1^-Fx（x/θk）,x→∞。     

利用对偶空间构造最优等维码

令Aq（n,d,k）表示射影空间上的码所含码字的最大个数,Tuvi Etzion 等人给出了Aq（n,2k,k）的上界和下界。我们发现当q=2,n=2k＋1时上界和下界相等,并利用对偶空间给出了最优等维码（2k＋1,2k＋1＋1,2k,k）的一种构造。     

关于素数个数的又一个不等式

对于正实数x,设π（x）表示适合p≤x的素数p的个数.对于正整数k、n,设fk（n）=π（x）＋π（2kx）＋…＋π（nkx）及Sk（n）=1k＋2k＋…＋nk.证明了：当x≥4且n≥[（k＋1）e1.2]时,fk（n）≥π（Sk（n）x）.     

分担一个值的亚纯函数族

研究了关于分担一个值的亚纯函数的正规族问题,证明了：设F为区域D上的亚纯函数族,k是正整数,如果对任意的f∈F.f-a的零点重数至少为k,f（z）=a■f（k）（z）=a■f（k＋1）（z）=a,则F在D上正规.     

关于超越亚纯函数Q[f](f~((k))(z))~n-c的值分布

利用NevanLinna的亚纯函数的值分布理论,研究了超越亚纯函数微分多项式的值分布理论,取得以下主要结果:若f(z)是复平面上超越严亚纯函数,m、n和k都是正整数,且n≥2,Qj[f](j=1,2…,m)为f(z)的微分单项式,Q[f]=sum from j=1 to m ()aj(z)Qj[f]为f(z)的拟微分多项式,aj(z)是f(z)的小函数,令F(z)=Q[f](f(k)(z))n-c,则T(T,f(k)≤k+1/n(k=1)/(R,1/Q[F]+(r,1/F)+S(r,f))     

幂和的两个组合公式

设k,n∈N,利用^n∑i=0 x^i=x^n＋1/x-1推出了^n∑i=0 i^k x^i=^n∑i=0 Si（k）（x-1）^i及Si^（k）=iSi^（k-1）＋（i＋1）Si＋1^（k＋1）（0≤i≤n）,且si^（0）=s（n＋1 i＋1）（0≤i≤n）。获得了si（k）的两个不同表达式,由此得到了幂和的两个公式、两个系数公式及系数的若干性质,并给出求系数的两个C-语言程序。     

图K（5m，5）的自同态的自同态谱

从循环完全图K（5m,5）的结构出发,得到Aut（K（5m,5））≈D5m,其中D5m是5m阶的二面体群,sEnd（k（5m,5））=Aut（k（5m,5）,End（K（5m,5））=qEnd（K（5m,5））。同时也解决了End（K（5m,5））的一些记数问题,给出了此类图的自同态谱。