关于直线和平面划分区域个数问题的探究

关于直线 (平面 )划分平面 (空间 )区域个数问题 ,在各类高中数学书刊和试题中出现频率较高 ,往往解法难度较大且答案容易出错。本文给出两个定理和两个推论 ,使这两类问题一并得到圆满地解决。定理 1　已知平面内有ｎ条直线 ,这ｎ条直线有ｍ个交点 ( ｐ条直线共点 ,取交点个数为ｐ -1 ) ,则这ｎ条直线将此平面划分出区域的个数为ｆ(ｎ ,ｍ) =1 ｎ ｍ。证明　 ( 1 )ｎ =1时 ,ｍ =0 ,ｆ(ｎ ,ｍ) =2 ,1 1 0=2 ,定理 1成立。( 2 )假设ｎ =ｋ时 ,ｆ(ｋ ,ｍ) =1 ｋ ｍ。则ｎ =ｋ 1时 ,增加了第ｋ 1条直线ｌｋ 1,设增加了ｍ1个交点Ａ1,Ａ2…     

握手问题与高斯求和

七年级数学的基本图形这一章中,有一个很经典的问题:一条直线上有n个点,以这n个点为端点的线段有几条?我把它简称为数线段的问题.类似的问题还有数角的个数,数交点的个数.比如:"平面内以O为端点的射线有n条,求角的个数.(初中教材中默认锐角)""平面内有n条直线,两两相交,请问有多少个交点?"     

两条封闭折线交点个数的最大值

定理 分别有m、n(m,n≥3)边的两条平面闭折线(无公共边),它们之间交点个数的最大值记为P(m,n)。则 mn,m、n均为偶数; P_(m,n)= (m(n-l),m为偶数,n为奇数; m(n-1),m、n均为奇数且m≥n. 我们采用典型的证明方法:先估计,再构造,但关键还需要如下的引理。 引理 直线l与闭折线L的交点数为偶     

仔细观察 探索规律

问题一两条直线相交有一个交点,三条直线相交最多有几个交点?四条直线相交呢?你能发现什么规律?分析:1、画出图形直接观察,找出交点个数。2、列表比较、探索规律直线条数2条3条4条……n条交点个数1个3个6个变化规律2(2-1)/23(3-1)/24(4-1)/2……n(n2-1)从上述直接观察并比较归纳得出:两条直线相交只有一个交点,三条直线相交最多有三个交点,四条直线相交最多有六个交点,……,一般地,n(n>1)条直线相交最多有n(n2-1)个交点。问题二在一条已知线段上取一点(端点除外),这点把这条线段最多分成三条线段,在这条线段上取两点呢?取三点呢?你能发现什…     

几何图形的计数

给定一个几何图形 ,计算该图形中某种特定的元素有多少个 ,这类问题称为几何图形的计数问题。它在各种数学竞赛中很常见 ,而且学会解这类问题 ,有助于培养学生周密细致的思维能力。本文通过几个初中数学竞赛题 ,讲一些解计数问题的方法。知识点　 1、平面上给定n个点 ,每两点连一直线 ,最多可以得到(n -1 )n2 条直线。2、平面上给定n条直线 ,当它们每两条都相交 ,且任何三条都不共点时 ,这n条直线交点最多 ,共有(n -1 )n2 个交点。例 1　怎样在平面上画 1 0条直线 ,使它们恰有 :( 1 ) 2 1个交点 ;( 2 ) 3 1个交点 ;( 3 ) 3 0个交点。分析　 …     

在探究中发现规律

题目:两条直线相交,有几个交点?三条直线相交,最多有几个交点?四条直线呢?问题:探究一平面内的直线相交,最多能有的交点数.1.分析这里既然是最多,那么必定是两两相交,不能是三条或三条以上的直线交于一点.2.操作、实验在平面内作相交直线,探究直线数n与最多交点数m之间的关系.通过画图、实验,得下表.3.观察、分析、猜想n与m的关系通过图形不难发现,只有一条直线的情况:交点数为0;两条直线的情况:因为第二条直线与原有的一条直线相交,增加了一个交点,所以此时交点数为1(1+0=1);三条直线的情况:因为第三条直线与原有的两条直线分别两两相交,增…     

画直线 找交点

平面上有7条不同的直线,其中任何3条都不共点： （1）请画出满足上述条件的一个图形,并数出图形中各直线之间交点的个数： （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）; （3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中,1分别为6,21,15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现一些什么规律？     

画直线 找交点

平面上有7条不同的直线，其中任何3条都不共点： （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间交点的个数： （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； （3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中，1分别为6，21，15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现一些什么规律？     

关于直线划分平面

统编教材高中第三册在讲到数学归纳法时有一个直线划分平面问题:“平面上有“条直线。其中任何两条不平行,任何三条不过同一点。证明这n条直线把平面分成f(n)=1/2(n~2+n+2)个部分(见教材P144)”。本来,用数学     

高中数学复习知识点测试题(十)

(立体几何之二)姓名一一、单项选择题《75分)1.若a上是异面直线(是a:b的公垂线,d//c,则直线d和a上的公共点的个数是()(A)一个①)两个(C)一个或两个山)最多一个2.从平面a外一点P引与0相交的直线,使得P点到交点的距离等于1,这样的直线可以作()u)两条(B)1条或无数条地)无数条(D)1条或无数条或不能作3.下列命题正确的个数是()①直线a上与平面。所成的角相等,则a//b②直线a上在平面a内的射影平行,则a夕b③直线。和平面目平行,则a和a内的任何直线都平行;④直线且上都和平面a平行,则a才b;⑤垂直于同一直线的两条直线必平行。(A)0个(B)1个(C)2个…     

关于圆和球面划分区域个数问题初探

文[1]给出了直线(平面)划分平面(空间)区域个数的一般性结论;对于圆(球面)划分平面(空间)区域个数问题,目前人们只得到“最多划分”的结论(参见文[2]P_(560)).本文探讨出圆划分平面区域个数的一般性结论,从一新的途径得出圆(球面)划分平面(空间)区域个数问题的“最多划分”优美和对称的结论;另外本文与文[1]又具有对称和相似的美.     

三类易错的排列、概率问题

1 交点:圆内还是圆外 例1 圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是___. (A)412A (B)221212AA (C)221210CC (D)412C 错解 因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定212C条直线,从剩下10个点中任取2个可确定210C条直线,根据乘法原理,有221210CC个交点.这里错误的原因在于这些相交直线有重复计算且所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内. 因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要…     

从解两道立体几何题看解析法的优越性

立体几何中求两条异面直线的距离和求两个平面的二面角的问题往往是比较困难的.这里介绍两个定理,可作为解以下两道立体几何问题的依据.定理1.两条异面直线 a、b 的距离,就是 a 到过 b 而平行于 a 的平面的距离.定理2.两个平面间的二面角的平面角与两平面的垂线所成的角相等或互补.这两定理的证明不难,请读者自证.一、下面首先介绍求两条异面直线距离的三种方法.已知:三棱锥 S-ABC,底面是边长为4 2~(1/2)的正三角形,棱 SC 的长为2,且垂直于底面,E、D 分别为 BC、AB 的中点.     

高二数学期末测试题

选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 )1 .空间四点中 ,三点共线是四点共面的 (　　 )　　 (A)充分不必要条件　　 (B)必要不充分条件　　 (C)充要条件　　 (D)非充分非必要条件2 .若a和b是异面直线 ,AB是它们的公垂线 ,直线c∥AB ,那么c和a、b这两条直线交点的个数是 (　　 )　　 (A) 0　　　　 (B) 1　　 (C)最多 1个 (D)最多 2个3 .教室内有一直尺 ,无论怎样放置 ,在地面总有直线与直尺所在的直线 (　　 )　　 (A)平行 (B)垂直　　 (C)相交 (D)异面4.3个不重合的平面 ,能把空间分成n部分 ,则n所有可能值是 (　　 )　　 …     

Desargues定理的推广

将Desargues定理从三点形有条件地推广到平面n点形。得到了如果不同平面上的两个多点形(n≥4)对应顶点的连线交于一点,则两个多点形对应边的交点在同一直线上。     

平面分割空间得最大块数的条件

我们在数学归纳法的学习和研究中曾遇到如下两个命题:(一)平面上有 n 条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,则此 n 条直线把平面分割为1/2(n~2+n+2)块;(二)空间有 n 个平面.其中任意两个不平行,任意三个不过同一条直线,任意四个不过同一点,则此 n 个平面把空间分割为     

四点共圆的充要条件

本文给出两条二次曲线,两条直线与一条二次曲线,四条直线的四个交点共圆的充要条件。 定理1 设二次曲线 f_i:A_ix~2 B_ixy C_iy~2 D_ix E_iy F_i=0(i=1,2)。若f_1,f_2有四个交点,则这四点共圆的充要条件     

递推方法与递归函数

统编高中数学课本第三册第144页,有这样一道例题:“平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=(1/2)(n~2+n+2)个部分。”课本是用数学归纳法证明的。可是解析表达式f(n)=(1/2)(n~2+n+2),究竟是怎样得出来的呢?也就是说,下面的问题该如何求解呢? 例1.平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,问这n条直线把平面分成多少个部分? 显然,这n条直线把平面分成的部分数,是由n决定的,是n的函数,记为f(n)。f(n)是定义在整个自然数集N上的函数,其取值集也是N。我们的问题,就是要求出f(n)依赖于n的解析表达式。为此,我们从n开头的几个值,来看一     

立体几何中的计数问题

一、选择题1.对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件:①与直线 a 异面;②与直线 a 所成的角为定值θ;③与直线 a 的距离为定值 d.那么,这样的直线 b 有( ).A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条2.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个"正交线面对".在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是( ).A.48 B.36 C.24 D.183.球面上有10个圆,这10个圆可将球面分成 n个区域,则 n 的最大值与最小值之和等于( ).A.193 B.153 C.103 D.634.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 a 去截这个四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( ).A.不存在 B.只有1个C.恰右4个 D.有无数个     

式子n(n-1)/2的多种妙用

式子n(n-1)/2是从1开始的n-1个连续自然数的和,在求角、线段、直线、交点的数量方面有着广泛的应用.一、求角的个数从一个角的内部引出n-2条射线,加上原来的两条边共有n条射线(n≥2),