一道中考题引出的正方形的一个巧妙性质

引例(2014年四川宜宾中考题)如图1,将n个边长都为2的正方形按如图1所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是()(A)n(B)n-1(C)(14)n-1(D)(14)n解析:这是一道有关几何图形面积的规律探索题,我们先对题意进行分析.要求重叠部分的面积之和,我们先从局部入手,即先求两个正方形重叠部分的面积.观察图形,我们可以猜想,两个正方形重叠部分的面积与其中一个正方形的面积必然存在着联系(甚至存在着某种数量关系).这种联系是什么?于是问题转化为下面的问题:     

一类求(证)定值问题的解法探讨

求 (证 )定值一类问题 ,由于所求 (证 )的结论不明确 ,不具体 ,不少同学往往无所适从 ,不知从何入手 ,下面略举数例 ,谈谈这一类问题的解法 .例 1　如图 1 ,正方形ABCD的对角线相交于点O ,O是正方形A′B′C′O的一个顶点 ,如果两个正方形的边长为a ,那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动 ,两个正方形重叠部分的面积总是一个定值 ,(人教版几何第二册 ) .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　两个正方形重叠部分的形状是千变万化的、不规则的 ,要证明它的面积是一个定值 ,关键在探明这个定值等于多少 .现在把正方形A′B′C′O旋转到…     

正方形的分割

下面我们看两道竞赛题1.将一个正方形分割成n(n>1)个小正方形,则n不可能取().(A)4(B)5(C)8(D)9(第十六届江苏省初中数学竞赛题)2.试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同);又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形.(1997年安徽省初中数学竞赛题)这两道题都是研究正方形的分割问题.为了解决这两个问题,我们先来全面、深入的研究如何把一个正方形分割成n个小正方形.我们先考虑n可以取哪些数?首先从n=2开始,当n=2时,正方形不可分;当n=3或5时,正方形亦不可分.接下来,通过画图可以知道,当n=22…     

关注正方形的探究问题

正方形的探究问题近年来在中考中屡见不鲜.这类问题以正方形为框架,将探究问题融入其中.解答时,要注意灵活利用正方形性质,借“全等三角形”之力.现举例介绍如下: 例1(梅州市中考题)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?     

对一道中考题的探索

<正>(2016年聊城中考题)如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA_1B_1C_1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB_1为边作正方形OB_1B_2C_2,再以正方形OB_1B_2C_2的对角线OB_2为边作正方形OB_2B_3C_3,以此类推……则正方形OB_(2015)B_(2016)C_(2016)的顶点B_(2016)的坐标是.1分析原题的解法     

中考拼图题与割补法

图形的拼接问题在近年来的中考题中有增加的趋势 ,这种题一般来说没有复杂的计算 ,但是却需要较强的分析问题、探索问题的能力 .因此对学生适当的思维训练是必要的 .图 1　　　　　　　图 2例 1　工人师傅要将一块如图 1所示的铝板 ,经过适当的剪切后 ,焊接成一块正方形铝板 .请在此图中画出剪切线 ,并将剪切后的铝板拼成一个面积最大的正方形 (保留拼接痕迹 ,不写画法 ) ( 2 0 0 2年淄博市中考题 )图 3　　　　图 4　　　　图 5解　很明显铝板可分割为五个边长是 10 0的小正方形 (图 2 ) ,因此若以单位正方形整体移动是不可能拼成最大正方…     

探究性习题选登

观察分析型1.观察下面图形并仔细分析。(1)正方形和直角三角形的数量关系的变化规律是()。(2)正方形之间的面积变化规律是()。(3)按照上面的画法如果画20个正方形,能得到()个直角三角形。如果要得到100个直角三角形,应画()个正方形。(4)如果第一个正方形的面积是256平方分米,那么第六个正方形的面积是()平方分米。2(.1)观察分析后填表。ABA与B的乘积A与B的最大公约数A与B的最小公倍数最大公约数与最小公倍数乘积2545485924624(2)观察比较A与B的乘积与最大公约数和最小公倍数的关系,你发现了什么?规律是()。(3)根据上面的发现:如果A与B…     

算·剪·拼

有一类剪纸片拼图形的问题,这类问题是,已知纸片中某些边的长,用剪刀把它剪成几块,然后拼成一个正方形. 解决这类问题的方法与步骤是: (1)求出已知纸片的面积; (2)根据剪出后拼成的正方形的面积等于已知纸片的面积,求出正方形的边长; (3)通过计算,在已知纸片上找出等于正方形边长的线段,确     

图形信息题的解法

图形信息题是指将几何图形作为信息载体的一类数学题.这类题常将已知条件,特别是数量关系隐藏在图形中.解决此类问题,必须仔细观察图形,准确提取图形中的信息.现举例介绍这类问题的解法.例1如图1,把四个相同的小矩形与一个小正方形镶嵌在一起,组成一个正方形图案.已知该图案的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示小矩形的两边长(x>y),请观察图案,指出以下关系中不正确的是().(A)x+y=7(B)x-y=2(C)4xy+4=49(D)x2+y2=25(2004年南昌市中考试题)分析:由题意得,大正方形的边长为7,小正方形的边长为2.根据图形提供的信息可知:x+y=7,x-y=2,这…     

完全正方形化问题

完全正方形化问题,指的是将一个矩形无空隙地割分成若干个正方形.这类题在中考、竞赛试卷中常有出现,现举例说明之. 例1 大厅长27.2 m,宽14.4 m.用大小相同的正方形木板铺满地面,最少需要正方形木板__块. (1998年“希望杯”培训题)     

数学教学活动中图形演示的意义

数学教学过程是再现数学知识发生的过程 ,是揭示数学对象内在联系的过程。图形的演示可使上述过程形象化 ,找出变化规律 ,找出变与不变之因素 ,从而发现问题的内在联系 ,有利于学生掌握知识 .1　证明恒等式有些恒等式可用图形来证明 .图 1(1)～ (3)的 3个图形分别用大正方形的面积进行不同分割 ,得到了 3个恒等式 .分析 :图 1(1) : = =ab, =a2 , =b2 .大正方形的面积 (a b) 2等于 ,即 (a b) 2 =a2 b2 2 ab;图 1(2 ) : = =12 (a b) (a - b) , =b2 .大正方形的面积 a2 等于 ,即 a2 - b2 =(a b) (a - b) ;图 1(3)…     

考考你的眼力

俗话说,耳听为虚,眼见为实.可有些几何图形却未必如此,有时眼睛也会欺骗自己的.让下面一组图形问题来考考你的眼力吧!1.图(1)中的四边形是正方形吗?揭秘:图中四边形的四条边看似弯曲,其实是个正方形.     

中考的格点相似三角形问题

本文所说的格点三角形是指在正方形的网格中,以方格的顶点为三角形的顶点的三角形.近年来,不少地区就以格点三角形为背景设计格点相似三角形问题.为说明问题,现举例说明.一、判断三角形的相似例1(枣庄市)如图1,小正方形的边长均为l,则在如图2中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()简析因为小正方形的边长均为l,所以△ABC的三边分别是’10、2、’2,且∠ACB=135°,由此我们可以发现只有B图中有一个角是135°,且三边分别是’2、’5、1,所以选B.说明判断正方形网格中的两个三角形相似,通常设小正方形的边长为1,求出三角形的三边,再利用三…     

如何将矩形剪拼成正方形

剪拼图形问题,是几何学上的面积问题.本文从一道中考题人手来谈谈如何将矩形剪拼成正方形.例1(2011年天津中考题)如图1,有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD,要通过适当的剪拼,得到一个与之面积相等的正方形.     

例谈动点路径长问题

动点路径长问题是近年来中考的热点,动点所经过的路径,常见的有线段和圆弧,这类试题能全面考查数学活动过程,考查通过数学思考解决问题的综合应用能力,因而倍受各地中考命题者的青睐.由于动点所经过的路径(线)长不明晰,它对分析问题的能力要求更高,本文拟通过几道中考试题加以解析,从中体会这类试题的特点.1动点旋转过程中所经过的路径长为圆弧图1例1(2012年贵州遵义)如图1,将边长为槡2cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动6次后,正方形的中心O经过的路线长是cm.     

“一元一次方程”自测题

一、填空题 (第 1 3题每小题 8分 ,第 4,5题每题 6分 ,共 3 6分 )1 .运用等式的性质 ,解下列问题 :( 1 )如果两个正方形的边长分别是m ,n ,并且第一个正方形的周长是第二个正方形周长的 4倍 .那么m和n间的关系是　　　　 .( 2 )如果 5 -3a =5 +b ,那么 3a与b间的关系是　　　　 .( 3 )如果s,t两个数的乘积是 -1 ,那么s,t间的关系是　　　　 .2 .合并含有相同字母的项 :( 1 ) 3x +x+2x =　　　　 ;( 2 ) 14y +12 y +13 y =　　　　 .3 .去括号 :( 1 )m +( 1 -3m2 ) =　　　　　　 ;( 2 ) 5n -2 ( 3n2 -1 ) =　　　　　　 .4.百位数是x ,十位…     

一组有趣的剪纸题

问题1把图1中的格点多边形剪成四部分.要求:(1)沿格点剪裁;(2)四部分全部全等.问题2如图2,由五个相同的正方形组成的“+”字形纸板,请将它剪两刀,然后重新拼成一个正方形.问题3将正方形ABCD按图3(a)比例裁剪后拼成另一个矩形如图3(b),试求(x+y)∶y的值是多少?问题4有直角边分别等于2和3姨的直角三角形纸块(如图4),请将这个三角形剪裁成3块,再拼成一个正三角形(通过画图表示).问题5设M是△ABC(非等腰三角形)边BC的中点(如图5),求最小值n,使得可以把△ABM剪成n个小三角形,这n个小三角形能够重新拼合成一个全等于△ACM的三角形.问题6请…     

察特点 巧解题

解组合图形题时,我们要观察分析图形特点,发现解题途径,运用已学知识,巧妙解题。例1图1是由4个相同的长方形和一个边长是3分米的小正方形拼成的边长为11分米的大正方形。求每个小长方形的长和宽各是多少?周长是多少?分析与解:图中大正方形的边长11分米,其实是小长方形长与宽的和。小正方形的边长3分米则是小长方形长与宽的差。根据和差问题的特点,我们很容易求出小长方形的长与宽。长:(11+3)÷2=7(分米)宽:(11-3)÷2=4(分米)周长:(7+4)×2=22(分米)例2图1是由4个相同的长方形和一个小正方形拼成的边长为11分米的大正方形。求每个小长方形的…     

浅析中考中的“格点问题”

“格点问题”突出了“数形结合”的数学思想方法,考查了学生对图形的观察力和对数学规律的发现探究能力,还考查了学生的创新意识、决策意识和实践能力.“格点问题”现已成为中考中的热点题型,其题型多样,涉及的知识点十分广泛,综合性很强.现举例如下:例1(2005江西)如图1,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ABC中,边长为无理数的边数是()(A)0(B)1(C)2(D)3解析用勾股定理求出三条边的长度即可,答例案2选C.(2004黑龙江)已知正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A、B两点在小方格的顶点上,位置如图2,点C也在小方格的顶…     

相同的条件 不同的剪法

在做题时,我们会遇到题目的条件相同,但所提出的问题不一样的情况。不同的问题采用的解题策略也不相同。因此,解题时要结合我们所学的数学知识,仔细分析题意,认真解题。例1.一块长方形纸片长1833毫米,宽423毫米(如图1)。能剪几个最大的正方形?最大的正方形的边长是多少?