关于一元二次方程根的一个定理的应用

定理一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a b c=0.     

关于一元二次方程根的一个定理的应用

定理　一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠ 0 )有一个根为 1的充要条件是a b c=0 .这个定理的形式很简单 ,证明很容易(略 ) ,应用也很方便 .1　求根例 1　 (第五届初中“祖冲之杯”赛试题 )若a为正数 ,那么方程 (2a 3)x2 (a 2 )x- (3a 5) =0的两根中较大的一个实根是 .解　因为 (2a 3) (a 2 ) [- (3a 5) ]=0 ,所以x1=1 ,x2 =- 3a 52a 3,因为a为正数 ,所以x2 =- 3a 52a 3<0 ,故较大的实根为 1 .2　求值例 2　 (1 992年四川省初中数学联赛试题 )若方程 (1 92 2x) 2 - 1 991· 1 993x- 1 =0 ,较大的根为m ,方程x2 1 991x- 1 992=0较小根为n ,求m…     

关于一元二次方程公共根的一个定理及其应用

定理:两个二次方程ai二“+bix+ci=0(a,a:笋。,i=1,2)有公共根的充要条件是 (a,。:一aZ。;)2=(a 16:一aZ bl)(b,。:-bZel)(‘)且△i)0(i=1,2). 证明:先证必要性,显然△i〕0.设方程的公共根为x。,则a 1 xoZ+6lxo+el=oaZ xoZ+bZxo+eZ=o (2)x al一(l)xa:得:=一(a 1 eZ一aZ。1), (l) (2)(a 1 bZ一aZ bl)xo…(a lb:一aZ乙1)2 xoZ=(al。:一aZ。1)2(3) (l)xb:一(2)x bl得:(alb:一aZbl)xoZ=bleZ一bZe一, …(a 16:一aZ 61)ZxoZ=(a;占:一aZ占1)(bl。2一bZ。,)(4) 比较(3)、(4)得(a,。:一aZ。;)2=(a;bZ一aZb,)(b,。:一bZel). 再证充分性.①…     

具有公共根的一元二次方程的一个定理及应用

在多种级别的数学竞赛中常见有具有公共根的两个一元二次方程的题目.本文将给出一个定理并利用该定理巧妙地给出竞赛题的解答.     

一元二次方程公共根定理及其应用

定理 二次方程a1x^2＋b1x＋c1=0和a2x^2＋b2x＋c2=0,有且仅有一公共根x0充要条件是     

两个一元二次方程有公共根的一个定理

近年来,国内外数学竞赛中经常出现两个一元二次方程有公共根的一类问题。本文将探讨两个一元二次方程的系数满足什么条件时才有公共根(以下的讨论是在复数域中进行)。为此,我们给出定理两个一元二次方程 a_1x~2+b_1x+c_1=0 (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (Ⅱ)有一个公共根的充分必要条件是证明设x_1和x_2是方程(Ⅰ)的两个根,     

一元二次方程一个定理的妙用

定理：如果1是一元二次方程。2＋bx＋c＝0（a一0购根,那么十十b＋＋＝0;反过来,如果十十b＋c一队Nua个十hi＋c＝0,所以1是一元二次方程ax’＋bx＊C二0的根．应用一元二次方程axZ＋bx＋c二0的上述正、逆定理解题,常常能收到化繁为简、化难为易的效果．现分三方面介绍其应用如下：一、定理的应用例1已知方程5X2＋h6＝0的一个根是1,求它的另一个报及k的值．解…l是方程SX’＋he－6二0的一个根,…5＋k－6＝0．·k一回．设另一个根为X,则由韦达定理,得k‘l‘．l一5。5““5”例2已知在凸ABC中,a、b‘c为凸ABC的三边,又方程。2x…     

关于一元二次方程根的判别式与韦达定理的结合运用

对于一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0),判别式(?)=b~2-4ac是判定方程是否有实根的充要条件。韦达定理则是回答了根与系数的关系,不论方程有无实根,实系数一元二次方程的根与系数之间均适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合,则能更有效的说明与判定一元二次方程根的状况和特征。下面是两者结合的一些重要应用。     

关于一元二次方程整数根的应用策略

一、求根法用分解因式法表示出一元二次方程的两个解,再利用约数的特性及根据题意解决此类问题·例1已知方程a2x2-(4a2-5a)x+3a2-9a+6=0(a为非负整数)至少有一个整数根,那么a=·解:原方程变形,得[ax-(3a-3)][ax-(a-2)]=0,所以ax=3a-3或ax=a-2·因为a为非负整数,所以x1=3aa-3=3-3a,x2=a-a2=1-2a·当x1为整数时a为3的正约数,所以a=1或3;当x2为整数时a为2的正约数,所以a=1或2·所以a=1或2或3·二、判别式法当一元二次方程有整数根时,首先必须确定整系数和判别式必为完全平方数,然后进一步验证·例2设m为自然数,且1相似文献   

关于一元二次方程根的讨论

本文限于讨论首项系数为正的实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a>O) (1) 根的正、负对其系数的依赖情况。 进行这类讨论有一种行之有效的图象     

关于一元二次方程根的讨论

对于整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(1)方程有有理数根的条件是△=b2-4ac为一有理数的平方;(2)若a、b、c为奇数,则方程无整数根;(3)若a、b为偶数,而c是奇数,则方程无整数根。     

一元二次方程根的对称式与韦达定理

如果x1、x2是一元二次方程似ax^2 bx c=0(a≠0)的两个根，由根与系数的关系(即韦达定理)，不解方程，可以求下列代数式的值：     

应用一元二次方程根的判别式及韦达定理错解辨析

一元二次方程根的判别式及韦达定理在数学解题中的应用极为广泛。但是由于有些学生对它的基本概念和基本定理一知半解或不求甚解,因而在解题中缺乏周密、严谨的思维,常出现这样或那样的错误。笔者就自己     

一元二次方程两根之比的一个关系式

如果一元二次方程的两根之比为k,则证明：设方程ax~2 bx c=0的两根为x_1,x_2，由韦达定理得:x_1 x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a,∵x_1/x_2=k,将（1）两端平方除以（2），消去x_2~2，得：（90年山东省临沂地区初中数学竞赛题）如果一元二次方程的两根之比2：3，求证6b~2=25ac.（1987年徐州市初中数学竞赛题〕一元二次方程两根之比的一个关系式@徐希扬$山东省郯城师范学校     

关于一元二次方程根的分布问题

1990年全国初中数学联赛第一试有一题:方程7x~3-(K+13)x+k~(2)-k-2=0(k 是实数)有两个实根α、β,且0<α<1,1<β<2。那么 K 的取值范围是什么?解此题时,许多同学出现了下列错误解法:解:∵0<α<1,1<β<2,∴1<α+β<3,0<αβ<2.根据韦达定理α+β=(K+B)/7,αβ=(k~(2)-k-2)/7依题意有(k+13)~(2)-4·7·(k~(2)-k-2)>01<(k+13)/7<30<(k~(2)-k-2)/7<2     

浅析一个一元二次方程定理的延伸与妙用

由于初中学生刚刚接触函数,对于函数的各种变化往往手足无措,从一个定理讲解,关于定理延伸以及妙用,对学生对于本定理的掌握以及对相关定理学习方法有了一个质的学习与改变,从而让学习充满乐趣,进而进一步掌握函数,并激发学习的兴趣。     

根的存在性定理的一个应用

用二分法求方程近似解的过程中,用到了根的存在性定理：“若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续,且f（a）f（b）〈0,则在（a,b）内至少存在一点x0,使得f（x0）=0”．在教学中,我们遇到一类有趣的问题：求解时涉及到函数的极值,可是极值点却求不出来．对此,同学们大多束手无策,本文利用根的存在性定理给出一种“设而不求”的破解方法．     

关于一元二次方程两根之差公式的应用

我们知道,一元二次方程a二, 6二 e=o(a铸。)的两根为 一6十J乎一4oc一6一J夕一落而- 甸.—一1云--一--一为’一一一加----一,将x:减去为,并设判别式△=夕一4ac,即得为媳一南 击 击 …… 敲二 一卜奋十合一合十会一专十一 ,二、一二2!下面举例说明它的应用. 了J一伍[’‘击一击一’一,言、一拼. 〔例一〕求直线。一二一1与抛物线。一令二:相交的两交点间的距离.[解3由大2 4,一4=o,得 了△‘,___,_,,J~为一”=二舒一了i百不.1百二J丽从叭=为一1及协二劣:一1相减,得甘:一92,劣,一劣:=了丽,所以 }A匀=了又二‘一二刃拜面i二玩牙=J32 32=8. (…     

一元二次方程两根问题的一个思维定势

对于一元二次方程两根的问题,部分学生习惯使用根与系数的关系求解,这是教学中过分强调所形成的一种解题思维模式的定势,本文例谈如何突破这种模式化的思维倾向,供读者参考.