荒岛寻宝：HPM视角下的复数教学

美国《数学情报》(Mathematical Intellin-sencer)杂志曾于1988年刊出数学上24个著名的定理,让读者给每一个定理打分,评出最美的定理。统计结果,第一名为18世纪瑞士大数学家欧拉(L.Euler,1707～1783)给出的著名公式e~(iπ)+1=0(得分:7.7)。这个公式让数学上最重要的五个常数1、0、π、e、i团了圆。 比起0、1、e和π来,欧拉公式中的i这个数可谓时乖命蹇,尝尽世态炎凉、人情冷暖。最初,16世纪意大利数学家卡丹(G.Cardan,1501～1576)在他的数学名著《大术》中提出如下问题:将10拆成两份,使两份之乘积等于40。在实数范围内,这个问题是没有解的。但卡丹以试试看的心态获得两个数5+(-15)~(1/2)和5-(-15)~(1/2)并称这种负数开方所得的数为“诡辩式的数”。名不正则言不顺,卡丹骨子眼里压根儿没接受它们。     

坚强的数学家欧拉

欧拉（Euler），1707年4月15日出生在瑞士的巴塞尔，是世界历史上最伟大的数学家之一。他从19岁开始写作，直到76岁。半个多世纪写下浩如烟海的书籍和论文。至今几乎每一个数学分支都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，主体解析几何的变换公式，四次方程的欧拉解法，到数论中欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分法的欧拉方程，复变函数论的欧拉公式等等，数也数不清。但由于过度的工作，他右眼失明，那时他才28岁。     

奇妙的欧拉公式

欧拉（1707.4—1783.9）,瑞士数学家及自然科学家,18世纪数学界最杰出人物之一,为数学界做出了重大贡献．在许多数学分支中,以他的名字命名的常数、公式和定理数不胜数．本文所说的欧拉公式是指e^iw＋1=0．之所以说它奇妙,是因为它的组成元素非常特殊,其中的1是正整数的基本单位,0是唯一的中性数,i是虚数的基本单位,     

天才的公式

在所有数中,人们认为只有5个最重要,即0、1、i、π、e.1748年,欧拉提出一个著名公式:e~(ix)=cosx isinx.如果令x=π,则得出e~(iπ) 1=0.这个天才的公式将5个最重要的数用最简洁的方式绝妙地联系起来,令人叹为观止!     

小学数学符号的分类及渊源

一、元素符号。表示数、常数的字母、符号称为元素符号。 1、表示数的字母“a”、“x”。法国数学家韦达于1591年在代数中建立了抽象的符号。他和另一名法国数学家笛卡尔先后都用拉丁字母a、b、c表示已知数、用x、y、z表示未知数。 2、表示常数圆周率的符号“π”。英国数学家琼斯于1706年首先用“π”表示圆周率;瑞士数学家欧拉于1736年也用     

欧拉和他的“鸡蛋问题”

18世纪著名的数学家欧拉从19岁开始,直到76岁逝世,半个多世纪写下了浩如烟海的著作.他是科学史上最为多产的数学家,研究不仅深入到数学的各个分支,而且涉及当时科学研究的所有领域.以欧拉命名的定理、公式也非常多,有欧拉定     

欧拉与我国中学数学教育——纪念欧拉诞生300周年

欧拉(1707-1783),18世纪最伟大的数学家,也是中国人最熟悉的数学家之一.欧拉的名字,在我国50年来出版的各种版本的中学数学教科书中,曾经是出现频率最高的数学家之一.因为在这些中学数学教材里,以“欧拉”名字命名的公式、定理有很多.而这些内容并不复杂,是能够为多数中学生所接受的,并能够引发学生对于学习数学的兴趣.1欧拉———数学家中的英雄欧拉,这位数学家中的英雄,已经故去二百多年,但是我们对他的名字还是那样的熟悉,感到那样的亲切.今年是他诞生300年的纪念年,全世界的数学界都缅怀他的不朽的功绩,中国数学家也在成都召开国际数学…     

小欧拉巧算羊圈

<正>欧拉是18世纪最优秀的数学家,也是历史上最伟大的数学家之一。欧拉从小就喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》。欧拉12岁那年,有一天,他跟着父亲在后院修建羊圈。父亲钉好四根木桩,构成长方形     

赏析数学美

众所周知,数学在我们的基础教育中占有很大的分量,它不但有智育的功能,也有其美育的功能。 1.简洁美。爱因斯坦说:“美,本质上终究是简单性。”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这个美学论断,在数学界也被多数人所认同。朴素、简单,是其外在形式,只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美。 欧拉给出的公式:V-E+F=2,堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少没有人能说清楚,但它的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式。一个如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性,令人惊叹不已。由它还可派生出许多同样美妙的东西,如:平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2,这个公式成了近代数学的两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。 2.和谐美。数论大师赛尔伯格曾经说,他喜欢数学的一个动机是以下的公式:π/4=1-1/3+1/5-……这个公式实在美级了,奇数1、3、5……这样的组合可以给出π,对于一个数学家来说,此公式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式:e~(iπ)=-1,曾获得“最美的数学定理”称号。欧     

欧拉与“欧拉著作”

欧拉(1707￣1783),瑞士数学家。欧拉从10岁开始写作,直到76岁,他在一生中写下了浩如烟海的书籍和论文。他发表的著作先后有865篇(本)之多,是历史上最多产的数学家。几乎每一个数学分支都可以看到欧拉的名字:初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次     

封面数学家简介：

柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857)法国数学家,19世纪前期世界数学领袖人物,柯西是仅次于欧拉的多产数学家,发表论文800篇以上,其中纯数学约占60%,几乎涉及当时所有的数学分支,数学物理(力学、光学、天文学)约占35%,很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式等。其主要成果是:研究代换理论;证明了费马关于多角形数的猜测;用复变函数的积分计算实积分;建立了微积分的基础极限理论,还阐明了极限理论;研究复平面上的积分及留数计算,并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等;研究了复变函数的级数展开和微分方程(强级数法);开创了积分几何,在代数方面首先明确提出置换群概念;独立发现了格拉斯曼的外代数原理。柯西出版的著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。     

e与理想稀释(高二、高三)

在对数函数和指数函数中经常出现一个无理数P,瑞士数学家欧拉(Euler,1707-1783)首先发现此数并称之为e(Euler的头一个字母).e应称为“自然对数logea的底数”.后来有人发现,e与无理数也不同类,因为e不能表示为有理系数代数方程的解,e和π一样,是无理数中的超越数.在高等数学中,e可用极限lim(1+1/x)x 或lim(1+x)1/x表示,其精确值为N+),据此可求出e的近似值为2.71828.     

数之12(初一、初二、初三)

(8)无理数e,牛顿和欧拉前面讲到π是一个非常重要的无理数,和π同样非常重要并且更奇妙的另一个无理数就是e.首先发现这个无理数的是18世纪伟大的瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707～1783),他用自己的名字Euler的头一个字母命名这个无理数.这个数,通常被称为自然对数的底.这里,简单介绍一下对数. 世界上研究对数的第一个人是英国数学家纳     

Clifford分析中的三正则函数

定义了Clifford分析中一类三正则函数(即3f=0的解f(x),算子=e11+e22+…+enn,i=xi,i=1,2,…,n),讨论了它的表示定理,Cauchy型积分,Plemelj公式,延拓定理等性质.     

高斯与《算术研究》

高斯(1777￣1855),德国数学家,物理学家,天文学家。高斯19岁发现了正十七边形的尺规作图法,解决了欧几里德以来2000年悬而未决的问题。高斯22岁给出了代数基本定理的第一个严谨的证明,24岁出版了《算术研究》。《算术研究》是现代数论的基础,是数学史上为数不多的经典著作之一。高斯对数论、微分几何、复变函数、椭圆函数、电磁学、大地测量学、天文学等都作出了重大贡献。电磁学中的高斯单位制、向量分析中的高斯定理、方程理论中的高斯定理等为人们所熟悉,他被誉为“数学家之王”。高斯在历史上的影响可以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。高…     

素数分布等倍函数

通过对欧拉乘积和黎曼猜想的探讨,发现一个素数分布逼近原理。这个原理表示：不大于x的素数个数,x越大,越逼近π（x）数值。在此基础上,得到素数分布的基础函数。然后转换为两个函数。s（x）函数是其一,称为等倍函数。这个函数虽然与素数定理Li（x）不相同,但是,其本源是欧拉乘积和黎曼猜想。这就是说,函数s（x）与Li（x）都有一个共同的原理。这里给出素数分布等倍函数与计算、数值和分析。     

也谈由函数方程确定的周期函数

读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m     

漫谈两个著名的超越数

一、什么是超越数 1744年，瑞士数学家欧拉首先提出超越数的概念并给出了它的定义；1794年，法国数学家勒让德猜测π可能不是有理数方程的根。这就导致超越数从无理数中分裂出来：凡是能满足某个整系数代数方程的实数叫代数数，如√2，5；不是代数数的实数叫超越数，如π，e。超越数必然是无理数，但无理数不一定是超越数。法国数学家刘维尔1844年在一篇论文中首先证明了超越数的存在。     

高阶变系数线性微分方程求特解的方法

对于n阶线性做分方程1997年赵白云对常系数几（t）方程（1）给出一种解法“‘．今对变系数a小）方程（1）给出特解的求法．不妨弓队做分算子D一如,并记F（D）一Za;（t）H,则方程（1）表示为引理在式F（D）中,对常数人有关系F（D）［e“xj一e“F（D＋A）［习．（3）定理方程（l）有型如x一e“。（J为常数）特解的先要条件是于是,方程（l）有待解x一e“z的充要条件是（4）成立．此时,取函数Z一／（是为常数）,则当j＞在时,D卜」一0,于是（）等价于推论1方程（1）有持解x—x‘e“（k,A为常数）的充要条件是（）成立．现若令人…     

一类带有p—Laplace算子的方程解的有界性

研究方程（Фp（x＇））＇＋λ2Фp（x）＋f（x）=e（t）的拉格朗目稳定性,其中Фp（s）=｜s｜p-2s,p≥2为常数;当x→∞时,扰动项f（x）=o（x）;e（t）为2πp周期函数,且πp=2π（p-1）1/p/psinπ/p.