妙构造巧转换 学会运用一次函数解决问题

<正>构造法是一种数学能力,每年的考题中都能找出许多通过构造函数、构造不等式,以及构造新的方程来解答问题的试题。一、构造一次函数证明不等式例1设a,b,c∈R,且它们的绝对值都不大于1,求证:ab+bc+ca+1≥0。分析:构造函数f(a)=ab+bc+ca+1,f(a)是关于a的一次函数,由于a∈[-1,1],因此,只要证明f(-1)≥0且f(1)≥0,就能证明f(a)≥0。     

巧用构造法，证明不等式

构造法是一种重要的数学方法,在数学中的应用十分广泛.本文着重谈谈构造法在证明不等式中的应用,通过 “构造函数”、“构造图形”、“构造方程”、“构造复数”等方法来证明不等式,不但能拓展证明不等式的思路,而且对于培养良好的思维品质,提高解题的灵活性、准确性,特别是创造性具有十分积极的意义. 1 构造函数 例1 已知1a<,1b<,求证:11abab+<+. 证明 构造一次函数 ()(1)()fxabxab=+-+ 令()0fx=,得1abxab+=+, ∵(1)(1)ff? [(1)()][(1)()]abababab=+-+-+-+ 22()(1)abab=+-+22(1)(1)0ab=--<,∴函数()yfx=的零点在区间(1,1)-中, 即 111abab+…     

构造函数式 巧证不等式

在数学题目的证明中会用到许多思想方法,如数形结合、代换、构造函数、分类等,这些方法贯穿了数学学习的全过程,这些方法的应用,不仅能提高学生的解题能力,而且能训练学生的思维。在不等式的证明中利用函数的思想,构造函数证明不等式是一种重要的思想方法,下面就举例说明构造函     

数学解题构造思维途径初探

数学解题的构造性思维和方法是解题研究的热点之一,近年来,就具体的构造方法,诸如构造函数、构造方程、构造图形等,研究文献较多.本文通过例题,从思维的整体性角度探求构造思维形成的一些途径. 一、背景构造有些问题,当孤立地运用题设条件难以获得解题思路时,不妨把所考虑的问题置于特定的背景下,构造问题的原形,往往可得到简捷巧妙的解法. 例1 设n为自然数,证明     

浅谈构造能力的培养

构造作为一种数学方法,属于非常规思维,带有试探性,不规则性和创造性。用构造法解题,见解独到,不蹈常规,是培养创造性思维能力的较好手段。因此,我们应当向学生提供接受构造训练的机会,发展学生的构造能力.下面就笔者在解题教学中的如何教学构造思想和方法谈点体会. 在解决某类数学问题时,突出构造思想.如构造函数,构造图形,构造复数,构造反例等. 1.构造函数法函数在中学数学领域内象一根主轴,凝聚着式、方程、不等式、数列、曲线和方程等等问题.因此,为构造函数解题提供了广     

一道课本例题的构造法证明策略

构造法是一种创造性的解题方法,它根据数学问题的题设和结论特征,构造出新的、易解决的问题,从而得到简捷、明快、新颖的解法.笔者以高二数学教材上册中的一道例题来说明构造法证不等式的几种策略.[例]已知a,b,m∈R+,且aba.策略一:构造函数,利用其单调性分析:不等式左边为ba++mm,而右边可写成ba++00,从而可构造函数f(x)=ab++xx,研究其单调性便能使问题得到解决.证明:构造函数f(x)=ab++xx=1-bb+-xa,易知f(x)在[0,+∞]上递增,又因为m>0,所以ab++mm>ba.策略二:构造斜率,数形结合分析:观察不等式的左式,结构与斜率公式k=y2-y1x2…     

例谈构造法解题

“构造法”是一种重要而灵活的思维方式,它没有固定的模式,需要有敏锐的观察;丰富的联想、灵活的构思和创造性的思维等能力,故有一定的难度.应用构造法解题关键有两点:(1)要有明确的方向,即为什么目的而构造;(2)必须弄清条件的本质特点,必须进行构造,从而达到解题的目的.本文通过具体的实例来说明构造法在解题中的应用.1构造函数式构造函数式是指构造一个函数表达式,利用函数的性质进行解题.例1设ai、bi∈R(i=1,2,3,L,n),求证:(a1 a2 L an)(b1 b2 L bn)222222≥(a1b1 a2b2 L anbn)2(柯西不等式).分析从不等式的形式来看与一元二次不等式中…     

例谈构造法的应用

构造法即是在解决某个问题时,先构造一种与问题有内在联系数学对象,并应用有关知识使问题化难为易的一种解题方法.作为一种数学方法,它不同于一般的逻辑方法,它属于非常规思维.其方法是:对某些用常规解法不易解决的问题,依据题设的条件特点,用已知条件中的元素作为“元件”或用已知数学关系式的原有结构作为联络点,在思维中构造出新的较为熟悉的数学模型,并利用其有关的性质,而使数学解题由难变易.对学生深入理解数学思想方法,发展学生智力,提高学生解题能力极有好处,也是培养学生创造性处理问题的途径之一. 1 构造函数或方程模型 构造函数…     

函数、导数紧密配合,不等式可破

利用导数证明不等式是高考压轴题的热点题型之一,此类问题的特点是:问题以不等式形式呈现,“主角”是导数,而不等式的证明不仅技巧性强,而且方法灵活多变,因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”,如何有效合理地构造函数是证明不等式的关键所在,下面以实例谈谈如何构造函数的若干解题策略.襛移项作差,直接构造例1已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2lnx+     

构造法在证明不等式中的应用

证明不等式方法很多,其中构造法尤其体现对于数学概念综合应用的能力．构造法即建立数学模型,探求解题途径的方法．若能构造精巧简捷的数学模型,就可以使思路豁然开朗．使“天堑变通途”,其主要类型总结如下．     

构造函数证明不等式

在不等式的证明中,可根据不等式的结构特点,恰当地构造函数,将证明转化为函数问题来研究,常常会使问题的研究得到简化.一、构造一次函数例1｜a｜<1,｜b｜<1,｜c｜<1,求证:ab bc ca 1>0.分析直接来证明比较困难,观察到不等式的左边是a(或b或c)的一次二项式,可以构造一次函数来研     

构造函数巧证不等式

有些不等式的证明问题若能合理地构造函数来解,往往能收到意想不到的效果,今举几例. 例1 已知a2 ab ac<求证:b2>4ac. 证明:构造函数f(z)=a2x2 abx ac. 由已知a≠0,抛物线开口向上. 又即b2>4ac. 例2 设a>b>c,且     

构造函数解不等式问题的若干方法

函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想 ,或者说一个集合到一个集合的一种映射思想 ,它是数学从常量数学转入变量数学的枢纽 ,它能使数学有效地揭示事物运动变化的规律 ,反映事物间的相互联系 .因此 ,函数思想已成为整个中学数学的重点和高考的热点问题 .不等式问题是中学教学中的一个难点 ,有些不等式采用常规方法难以解决 ,若能根据不等式的结构特征 ,唤起联想 ,巧妙地构造函数将不等式问题转化为函数的问题 ,借助函数的有关性质 ,常能使问题获得简捷明了的解决 .本文从下面几个方面谈谈构造函数解不等式问题的若干方法 .1　差式构造…     

利用导数证明不等式中构造函数策略探究

不等式的证明因其灵活多变、技巧性强著称.很多复杂的不等式证明,如果能灵活构造函数,并利用导数,往往能获得简捷解决,而构造相应函数是关键.如何构造、从哪里构造函数,许多同学找不到突破口,下面就此问题进行探究.1直接构造例1（2010年安徽理科18题）设a≥0,     

高考试题中"构造函数证明不等式"的回顾与对策

不等式是高考命题的热点.从历年高考试题看,有关不等式的证明题经常与一次函数、二次函数、对数函数、幂函数、指数函数、甚至排列组合等知识结合起来考查,难度大,区分度高,综合性强,因此要求考生要有较强的逻辑推理能力和较高的数学素质才能获得较好的分数.这类不等式的处理用常规方法往往较难,若能根据不等式的特点构造函数,再根据函数的单调性,利用函数的思想比较容易解决问题.因此,如何构造函数,构造什么样的函数成为解题的关键.本文就这个问题对高考中一些不等式的证明题作些回顾,并提出对策.     

构造立几模型,巧证代数不等式

数学家华罗庚曾经说过 :“数形结合千般好 ,数形分离万事休 .”把数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象有机结合起来 ,恰当变更问题 ,使问题化难为易 ,化繁为简 ,这就是“数形结合”的思想 .不等式的证明方法很多 ,除了课本中介绍的基本证法之外 ,对于一些不等式 ,若能联想其几何背景 ,构造出恰当的几何图形 ,往往解法更简单 .这里略举几例 ,以期引起同学们的重视 .例 1　证明对任意的正实数 a,b,c,不等式a2 +b2 - ab +b2 +c2 - bc >c2 +a2 - ca恒成立 .分析 :从形式观察内在式子的结构 ,可知a2 +b2 - ab是以 a,b为两边长 ,所夹 6 0°角…     

恰当构造函数，可使不等式问题证明简捷化

在解决一些不等式问题时,若直接去证明（或解答）,问题的解决过程可能会很复杂．若能从所给题目条件中的不等关系出发,去探索,去寻找条件与证明的结论之间存在的规律,“恰当”构造出一个沟通条件与结论不等关系的新函数,利用函数的单调性和最值,便可使不等式问题的解决过程得到简化,使问题解决简捷化．因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”．如何有效合理地构造出函数是使不等式问题获得证明（或解）的关键．     

运用构造法解题 启迪创造性思维

平时有很多数学问题,用常规解法显得很难解决,或者不能解决,若想到运用构造法,则能够打破常规、另辟蹊径,获得简捷、明快、精巧的解答,给人一种“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”之感.运用构造法解题就是根据题设条件及知识间的相互联系,通过分析联想到过去学过的方法、技巧,构造出一个与问题有关的辅助函数、方程、不等式、数列、复数、几何图形等模型,使问题得到转化. 一、构造函数模型 现实生活中存在着很多的函数关系,要求我们要学会用函数的观点去审视解决问题.对于某些数学题,用常规解法难以奏效,但由已知条件,通过联想,构造出一个新的相关函数,可     

柯西不等式的应用举例

不等式问题覆盖面广、综合性强 ,是当今各层次数学竞赛 (包括IMO)的热点和难点之一 ,而不等式问题的处理更以“多入口 ,方法巧”见长 .为了寻求规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分有关不等式问题试题 ,深入研究 ,发现许多问题都能采用柯西不等式加以简单地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c∈R+ ,求证 :ab+c+ bc+a +ca+b ≥ 32 . ( 1)( 196 3年莫斯科竞赛题 )证明　令A =a(b +c) +b(c +a) +c(a +b) =2 (ab +bc +ca) ,B =ab+c+ bc+a+ ca+b.由柯西不等式 ,有AB≥ (a+b +c) 2 ,根据基本不等式 ,有A ≤ 23(a+b +c) 2 .所以 ,B≥ 32 …     

构造法在证题中的应用

关于不等式的证明有许多种方法 ,但在某些不等式的证明中 ,若改变观察与思维的角度 ,将我们所学知识横、纵向联系 ,找出知识网络间关系 ,我们可在众多解法之中寻求更令人信服的方法 ,这不仅提高了我们的解题速度 ,同时也拓宽了同学们在解题中的思路 ,能够起到培养同学们创新的思维能力。下面我们通过例子说明“构造法”在证题中的思维方法及应用。一、构造函数 ,利用函数的单调性例 1 :已知ａ、ｂ、ｃ、是三角形的三边长 ,求证 :ａ1 ａ ｂ1 ｂ>ｃ1 ｃ分析 :由所求证式子的结构看 :ａ1 ａ、 ｂ1 ｂ、 ｃ1 ｃ实质上就是将函数ｆ(Ｘ) =ｘ…