也谈不等式求解中分类讨论的思维策略

对于有些不等式，若按常规思路分类讨论求解，运算量大，且过程冗长，还容易出错；解题中，若能够充分挖掘问题潜在的特殊性，灵活地采用相应的解题策略，则可简化或避免分类讨论．本文就几类常用的策略归纳如下：     

基底的思想在不等式中的运用

我们先看这样一个题目:例1已知f(x)=xZ+。x十b.(1)求f(1)一Zf(2)+f(3)的值;{1+即+3q=0,1十P十q=几从而{P二q=(2)求证:!f(1)卜 ._.__1一个小小于二 乙}f(2)I、ff(3)f中至少有 如此想来,构造}f(l)}+21f(2)}+非倡然. 以此方法,再看两题:一2,1.}f(3)1并(1)解:f(1)==1+a+b,f(2)二4+Za+b,f(3)二9+3a+6·.’.f(1)一Zf(2)+f(3)=2.(2)证明(运用反证法):假设结论不成立,则!了(l)}相似文献   

简化不等式求解中分类讨论的思维策略

对于有些不等式，若按常规思路分类讨论求解，运算量大，且过程冗长，还容易出错；解题中，若能够充分挖掘问题潜在的特殊性，灵活地采用相应的解题策略，则可简化或避免分类讨论．本文就几类常用的策略归纳如下：     

不等式专题学习

使用说明 1．不等式的基本性质是以后解(证)不等式的理论依据，要正确理解和使用．对不等式的每条性质，要弄清条件和结论之间的内在联系，并注意它们的适用范围．     

不等式学与教

一、学习准备。提问与思考 1．5为什么大于3，你能说明吗?2．-x一定小于x吗?     

一类不等式的巧妙解证

形如m＜f(x)/g(x)＜n(m＜n)的不等式的求解或证明，一般都转化为不等式组来处理，有时还需要分类讨论，解法往往很繁．其实这类不等式有一种特殊的简单解法，下面举例说明．     

函数观点在不等式证明中的应用

函数思想利用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．它是贯穿中学数学的一条主线．不等式证明也不例外，利用函数观点能够快捷的证得不等式，事半功倍．下面举几例说明：     

分式不等式的证明变形策略

国内外数学竞赛及各大期刊的“数学问题”中，频繁出现的分式不等式证明问题，可谓千姿百态、精彩纷呈．证明这些分式不等式，虽然证法灵活多变、因题而异，但总以一定的变形为基础，通过变形，沟通与已知不等式之间的联系，使问题获解．可以说，恰到好处的变形是证明分式不等式的关键．为此，本文归纳分式不等式证明的变形策略，供读者参考。     

妙用数字特征证明不等式例说

数学是研究事物的空间形式和数量关系的一门科学，而作为数量关系中的数在数学中所占的地位，则往往容易为人们所忽略．现枚举不等式证明中妙用数字的若干例子，以飨读者．     

解不等式问题错解分类辨析

不等式是中学数学的重要内容之一．在解不等式的过程中，常因审题不严、考虑不周、方法不当、转化不等价等原因而错解题目，下面就解题中经常出现的错误，分析错误的原因，给出解题的正确方法，从而达到举一反三，触类旁通的作用．     

函数不等式的解题分析

函数不等式是高考中的热点之一，由于这类问题将函数与不等式的知识进行了交汇，既有函数性质的灵活应用，又有不等式证明方法的妙巧使用，从而加大了问题的难度．本文试通过例题对这类问题进行解题分析，期望对同学们有所帮助．     

新教材中应重视不等式的向量证法

不等式的证明一般采用比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、放缩法等方法．但有时却需要较强的技巧，学生难以掌握，向量是高中数学新增内容，由于它兼具几何与代数的双重性质，因此是数形结合的有力工具．教学中若能适当介绍一些向量证明不等式的基本方法，则能有利于学生对该部分知识的掌握。     

一个三角不等式的思考

在三角形中,有很多对称优美的不等式,形式简洁,但其蕴涵的思想比较深刻.     

矢量在不等式证明中的应用

不等式证明是数学竞赛中的重要问题之一,本文运用矢量证明不等式,从而使不等式的证明更加简捷．     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]中有这样一个不等式 :(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2(a b c) 2 <π24 .①其中 ,a、b、c为三角形三边长 ,α、β、γ分别为a、b、c所对的内角 .本文给出一种简单证法 .首先给出两个引理 :引理 1　aα bβ cγa b c <π2 .引理 2　若x∈ 0 ,π2 ,则tanx > .引理 1、2的结论易证 .下面证明不等式①成立 .式① (bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2<π24 (a b c) 2 .由引理 1知(aα bβ cγ) 2 <π24 (a b c) 2 .故要证式①只须证(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ-bα) 2　 ≤(aα bβ cγ) 2 α2 (…     

正确运用平均值不等式

平均值不等式是一个重要的基本不等式,它在中学数学中有很重要应用,利用它不仅可以证明一些不等式,还可以求函数值域或最值．在运用这个不等式时,一定注意是否满足正数条件、定值条件(和或积为定值)、等号条件(不等式中等号是否成立),简单地说即所谓“一正、二定、三相等”,否则容易出错．下面就是学生在解题中容易出现的一些错误。     

巧用均值凑数法证明一类不等式

高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1　已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 :　　　a+1+b+1≤ 6.证明　由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即　　a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条…     

例析函数观点下的不等式处理对策

函数与不等式是密切相关的数学内容,用函数的观点来审视有关不等式的证明及求解,可以加深对不等式本质的理解,体会函数的应用,深谙知识间的纵横联系,提高问题的分析和解决能力．