江苏省第十七届初中数学竞赛试题及解答

初一年级一、选择题 (每小题 7分 ,共 5 6分 )以下每题的 4个结论中 ,仅有 1个是正确的 ,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内 .1.若 3a的倒数与 2 a- 93互为相反数 ,则 a等于 (　 ) .(A) 32 　　 (B) - 32 　　 (C) 3　　 (D) 92 .若代数式 3x2 - 2 x+ 6的值为 8,则代数式 32 x2 -x+ 1的值为 (　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 43.若 a>0 >b>c,a+ b+ c=1,M=b+ ca ,N=a+ cb ,P=a+ bc ,则 M,N ,P之间的大小关系是 (　 ) .(A) M>N >P　 (B) N >P>M(C) P>M>N　 (D) M>P>N4 .某工厂今年计划产值为 a万元 ,比去年增长1…     

巧用“1”解题

<正> 一、巧加“1”例1 已知a>0>b>c,a+b+c=1,M=(b+c)/a,N-(c+a)/b,P=(a+b)/c,则M、N、P之间的大小关系是( ) (A)M>N>P (B)N>P>M (C)P>M>N (D))M>P>N解∵a+b+c=1∴M+1=(a+b+c)/a-1/a     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

一个不等式的优美证明

试题(2013年国际数学奥林匹克试题)已知a,b,c,d是满足abcd=1的正数,求证(a-1)(c+1)/(1+bc+c)+(b-1)(d+1)/(1+cd+d)+(c-1)(a+1)/(1+da+a)+(d-1)(b+1)/(1+ab+b)≥0这是2013年国际数学奥林匹克的不等式证明题,她是一个结构简洁对称     

一类三元分式不等式及其证明

本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c))     

数学奥林匹克初中训练题(63)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1 .若a、b都是质数 ,且a2 +b =2 0 0 3,则a +b的值等于 (　　 ) .(A) 1 999　(B) 2 0 0 0　(C) 2 0 0 1　(D) 2 0 0 22 .设a >0 >b >c,a +b +c =1 ,M =b +ca ,N =a +cb ,P =a +bc .则M、N、P之间的大小关系是 (　　 ) .(A)M >N >P　　 (B)N >P >M(C)P >M >N　　 (D)M >P >N3.△ABC的三边长a、b、c满足b +c =8,bc =a2 - 1 2a + 52 .则△ABC的周长等于(　　 ) .(A) 1 0　 (B) 1 4　 (C) 1 6　 (D)不能确定4 .下面 4个命题 :①直角三角形的两边长为 3、4 ,则第三边长为 5;②x - 1x=-x …     

函数y=(cx+d)/(ax+b)的性质及应用浅谈

<正>对于函数y=(cx+d)/(ax+b)(其中a≠0,c,d不同时为0),当ad=bc时,y=c/a为常函数;当ad≠bc时,函数y=(cx+d)/(ax+b)为分式函数,这个分式函数有着十分简洁而优美的优质.下面笔者尝试着探讨型如y=(cx+d)/(ax+b)(其中a≠0,c,d不同时为0且ad≠bc)的图象和性质的,并透过例题,给出这些性质的一些应用.     

一类三角形不等式问题的探讨

2013年OlympicRevenge 第3题为: 已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd =6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1) 文[1]退化思考得到 命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2) 在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为:     

江苏省第十七届初中数学竞赛试题(初一年级 第2试)

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有1个是正 确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内. 1.若立的倒数与丝三,互为相反数,则。等于().(B)(C)(D)2.若代数式3扩一2二+6的值为8,则代数式要扩一x+1的值为( 乙(A)(B)3.若a>O>b>。,a+b+。=1,(C)3M一b+c a(D)4_a+c一b尸 a+b 亡则M、N、尸之间的大小关系是( (A)M>N>尸 (C)尸>M>N(B)N>P>M(D)M>P>N稼篡~ 4.某工厂今年计划产值为a万元,比去年增长10%.如果今年实际产值可超过计划1%,那么实际产值将比去年增长(). (A)11%(B)10.1%(C)11.1%(D)10.01% 5,某公司员工分别…     

初二数学竞赛训练题

下列各式与分式于澳的值相等的是() “一口(A)—仅一a一b(B) 倪a斗一b(C) “b一“等于((D) db一“若 1 以(A)4长一b’Za- 一一哇N l1—:—bc:3:2~2:3:4,则a (B)6:4:33设a>0>b>c,。+b一+一‘一1j了 M、N、P之间的大小关系是( (A)M>N>尸 (C)P>几f>N(C)3: b+c(D)3尸:4:6a+b ‘则 ).(B)N>尸>M(D)M>尸>N4.设a一一(一2)’,b=一(一3)“,e=一(一42),则一[一(b一c)]等于()(A)15(B)7(C)一39(D)475.把(。一1)丫每共的根号外面的因式移到根号内,则原式等于().(A)、丁瓦乏(B)丫。一1(c)一丫二一1(D)一、五二舀 一‘一Zx一30.匕翔妥不万一 A…     

具有相同规律的一组数学竞赛题

先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+…     

一个不等式的推广与引申

文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba cb ac≥13(a b c)(a1 1b 1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba cb ac≥yx y(a b c)(1a 1b 1c) 3(xx- y2y).(2)证明a2b b2c c2a-(ab2 bc2 ca2)=(b-c)a2 (c2-b2)a (b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b c)a bc]=(b-c)(a-b)(a     

两个不等式猜想的解决--兼擂题(58)解答

《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以　 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。…     

柯西不等式的应用举例

不等式问题覆盖面广、综合性强 ,是当今各层次数学竞赛 (包括IMO)的热点和难点之一 ,而不等式问题的处理更以“多入口 ,方法巧”见长 .为了寻求规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分有关不等式问题试题 ,深入研究 ,发现许多问题都能采用柯西不等式加以简单地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c∈R+ ,求证 :ab+c+ bc+a +ca+b ≥ 32 . ( 1)( 196 3年莫斯科竞赛题 )证明　令A =a(b +c) +b(c +a) +c(a +b) =2 (ab +bc +ca) ,B =ab+c+ bc+a+ ca+b.由柯西不等式 ,有AB≥ (a+b +c) 2 ,根据基本不等式 ,有A ≤ 23(a+b +c) 2 .所以 ,B≥ 32 …     

一个三角形中的不等式

在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1　设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2　在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明　采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(…     

一道IMO予选题的解法新探及再推广

设a、b、c、d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证:a~2/(b c d) b~2/(a c d) c~2/(a b d) d~2/(a b c)≥1/3.此题为第31届I MO由泰国提供的予选题.文〔1〕~〔3〕已给出不同证明方法;文〔12〕予以推广.本文再给出新的证明方法及再推广.为行文方便,记A=b ac3 d b3a c d a cb3 d a     

2006年第7期问题解答

37.已知正方形ABCD与正方形BEFG相连,且正方形ABCD的边长为a,求S△AFC.解:如图,连接BF,易证得AC∥BF.过点B、F分别作AC的垂线,垂足分别为M、N,则BM=FN.显然,则有S△AFC=S△ABC=12a2.38.若a,b,c∈R ,ab bc ca=1,求证:aa #!1 a2 b #!b1 b2 c #!c1 c2≤1.证明:分母有理化,得a$#!1 a2-a% b$#!1 b2-b% c$#!1 c2-c%≤1.上式等价于a#!1 a2 b#!1 b2 c#!1 c2≤1 (a2 b2 c2).(*)注意到1 a2=ab bc ca a2=(c a)(a b),1 b2=ab bc ca b2=(a b)(b c),1 c2=ab bc ca c2=(b c)(c a).那么,应用二元均值不等式,有a#!1 a2 b#"1 b2 c##1 c2=a#!(…     

一个最值问题的三个简解

本文给出文[1]问题的简解.题目设实数a,b,c,d∈[-2,2],且a+b+c+d=0,求z=a^3+b^3+c^3+d^3的最大值.解法1:z=(a+b)((a+b)^2-3ab)+(c+d)((c+d)^2-3cd)=(a+b)^3+(c+d)^3-3((a+b)ab+(c+d)cd)=-3((a+b)ab-(a+b)cd)=-3(a+b)(ab-cd)=-3(a+b)(ab+c(a+b+c))=-3(a+b)(b+c)(c+a).不妨设a+b=min{a+b,b+c,c+a}.     

高二数学练习(2)

一、选择题1.已知m<0,n>0,且m+n>0,则下列各式中正确的是().A.-n2b2(2)a5+b5>a3b2+a2b3(3)a2+b2E2(a-b-1)(4)ab+ba>2这四个式子中,恒成立的有().A.4个B.三个C.2个D.1个3.设an,m,n∈N,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,x>1,则a…     

2007年第3期问题解答

85.设正数a,b,c满足a b c=3,求证:ab 1 bc 1 ca 1 1ab b1c c1a≥6.证明:首先证明下面的命题:设t>0,p,q∈R,且p·q>0,则1 tp q≥tp tq,当且仅当t=1时,等号成立.因为1 tp q≥tp tq#1 tp q-tp-tq≥0#1 tp·tq-tp-tq≥0#(tp-1)(tq-1)≥0.因为t>0,p,q∈R,且p·q>0,所以tp-1与tq-1同号,所以(tp-1)(tq-1)≥0,即要证的不等式1 tp q≥tp tq成立.在不等式1 tp q≥tp tq中,令q=p 1,则有1 t2p 1≥tp 1 tp(p>0,或p<-1),两端同除以tp得tp 1 t1p≥t 1.所以ab 1 a1b≥a 1,bc 1 b1c≥b 1,ca 1 c1a≥c 1,这三个同向不等式相加并将a b c=3代入得ab 1 bc 1 ca 1…