变换与化归

变换是数学中最常用、最重要的一种思想方法。通过各种变换,常常可以把复杂或未知转化为简单和已知,从而达到化归的目的。“‘变换’,亦称‘映射’、‘映象’、‘映照’、‘对应’等。设 A 与 B 是两个集,如果按照某个对应法,使 A 的每一个元素在 B 中有一个确定的元素与它对应,称这个对应法为从 A 到 B 的‘变换’。”(《辞海》,一九七九年版)初中数学没有也不可能介绍变换的这     

有关几何变换中考试题的命题实践与思考

几何变换作为初中数学新课程新增的教学内容,是“空间与图形”领域的重要组成部分,在现实生活中有着广泛的应用．几何变换包括轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换等．轴对称变换、平移变换、旋转变换只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小;相似变换改变图形的大小,但不改变图形的形状．几何变换的学习有助于学生从“变换”的角度认识传统的几何图形．轴对称变换与等腰三角形相对应,平移变换与平行四边形相对应,相似变换与相似形相对应,这些都是欧氏平面上常用的特性．几何变换有着特殊的教育价值,特别是在发展学生的空间观念,以及观察、实验、探索、合情推理等方面具有“过程性”教育价值．     

利用等积变换解题

等积变换是指不改变图形面积的大小,只改变图形形状的几何变换．我们常用“同（等）底等（同）高的三角形（平行四边形）面积相等”进行等积变换．利用等积变换,可解决一些图形面积的计算和证明问题．其图形特点可分为以下两种．     

高考立体几何题中的八种变换

图形变换是处理立体几何的钥匙 .解高考立几题 ,若能灵活实施图形变换 ,就可将不熟悉或不易计算的图形转化为熟悉或易于计算的图形 ,从而使解题得以顺利进行 .本文以高考立几题为例 ,简谈几种图形变换的方法及技巧 ,供同学们参考 .一、等积变换三棱锥是最简单的多面体 ,它的每一个顶点均可为棱锥的顶点 ,每一个面均可为棱锥的底面 ,因此多角度观察图形 ,适当进行“换底”的等积变换 ,便可简化求解过程 .例 1　 ( 91年高考题 )已知 ABCD是边长为 4的正方形 ,E、F分别是 AB、A D的中点 ,GC垂直于 A BCD所在平面且 GC =2 ,求点 B到平面…     

让图形动起来——《图形的平移与旋转》章节知识详解

《图形的平移与旋转》是新教材中增加的重要内容.这一章内容主要介绍几何中的两种变换,即平移变换和旋转变换.在学习本章知识之前,有必要对几何变换作一个简单的了解:几何变换包括相似变换和全等变换.相似变换是我们以后要学的相似形的内容;全等变换主要包括平移变换、旋转变换和反射变换(轴对称)等.全等变换的特点,是变换前后的     

“连杆变换”模型及其应用

<正>一、“连杆变换”模型如图1,O是定点,点A在图形(或运动轨迹)lA上,对于点A在运动中的每一时刻,连结OA,把OA绕点O逆时针旋转角度θ,变为OA′,在射线OA′上截取OB,使OB:OA=a:b,点B对应的轨迹图形(或运动轨迹)是lB.借用机械装置结构中的一些专用名词,我们不妨把OA称作主动杆,把OB称作从动杆,把这种先将一个图形绕点O旋转,再把旋转后的图形以点O为位似中心进行均匀放缩的变换称作连杆变换.     

应用对称巧证几何题

对称变换是一种常见的几何变换,将平面图形F1变换到与它成轴对称的图形F2,这样的几何变换就叫做关于直线L(对称轴)的对称变换．对称变换前后的对应线段相等,对应角相等,其对称轴是连接各对应点线段的垂直平分线,我们常常选用角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的高作为对称轴,实施对称变换．现举例说明对称变换在几何题中的应用．     

初等几何变换与中学几何教学

初等几何变换是欧氏几何学的主要概念之一。1872年德国数学家教育家克莱因建议几何学应按变换群分类,把几何学定义为在某种变换群下,研究图形的不变性质与不变量的一门学科。按照克莱因的观点,初等几何内容就是在移动、相似变换群下研究图形的不变性质与不变量的几何学。众所周知,初等几何学是一门古老的经典几何学,而平面几何是中学数学的重要组成部     

数学竞赛题的非常规变换

数学竞赛题的变换一般可分为常规和非常规两类. 常规变换是指通常的代数变换与几何变换.代数变换有恒等变形、变量代换、置换轮换等,几何变换有合同变换(平移、反射、旋转、中心对称)、相似变换和等积变换.这些变换已广泛应用于中学数学竞赛的常规题类中,本文不作累述. 非常规变换题类已日益渗入到各类数学竞赛命题中.这些命题大多涉及到按某种特定的条件和要求,进行“操作”、“调整”和“变形”,使之得出某种结论或证实某个     

圆中常作的辅助线

(本讲适合初中 )前苏联数学家亚格龙将几何学定义为 :几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科 .我们把几何图形的运动叫做“几何变换” ,常见的几何变换有平移、对称与旋转 ,它们都是“保距变换” ,即一个几何图形运动到一个新的位置时 ,这个图形上任意两点的距离保持不变 .本文就平移变换在解竞赛题中的应用加以介绍 .1　基础知识平移变换是使图形Ｆ1上的点沿同一方向平移同一距离得到图形Ｆ2 .平移变换前后的图形具有如下性质 :( 1 )对应线段平行且相等 ;( 2 )对应角的两边平行且方向一致 .例 1　如图 1 ,六边形ＡＢＣＤＥＦ中…     

变换视角研究一类几何证明题

几何变换包括平移、旋转、翻折三种全等变换,这种变换前后的两个图形大小与形状都不变．如果将条件弱化,仅仅保持形状不变,那就是放缩变换．如果仅仅保持大小不变,那就是等积变换．新颁布的《数学课程标准》中就加强了几何图形的平移变换、轴对称变换和旋转变换的相关内容．以苏科版教材为例,它是以平移、旋转、翻折作为一条主线统领整个几何知识体系．     

数学思维方法ABC——变换思想(5)

平移、对称、旋转都不改变线段长度和角的大小,因而图形的形状、大小是不改变的,仅仅改变了图形的位置,所以称为变换.有关面积问题中,往往只考虑面积的大小而不计较图形的形状,对于变换的限制条件更弱,只要面积的大小保持不变就行了,这样的变换称为等积变换(也叫做等积变形).在初等几何里研究的是多边形的等积变换.     

几何变换在格点作图中的妙用

数学思想方法是数学的灵魂,而几何变换是一种重要的数学思想方法。在格点作图问题中,可以综合运用数学知识及多种数学思想方法,借助格点中的“数”“形”关系,巧妙运用图形变换思想构造解决问题的条件,从而完成作图。     

中考中的图形变换试题

数学新课程标准在“空间和图形”部分，提出了让学生能够探索图形之间的变换关系(平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合)，掌握图形变换的基本性质．为适应上述新的理念，2004年中考试卷中几何变换的试题如雨后春笋频频亮相，本文楫录几例加以阐释，望能对读者理解和掌握图形变换的基本特征和方法有所帮助．     

等积变换

(本讲适合初中) 利用平面图形面积间的关系作代换,然后由代数方法找出图形之间的关系,以求得有关几何问题的结果,此类几何证题方法称为等积变换. 一、同底等高的三角形等积. 推论1 同底的两个三角形面积的比等于其对应高的比. 推论2 等高的两个三角形面积的比等于其对应底的比.     

例谈平移思想在初中几何中的运用

平移是初中数学几何变换的常用方法之一,它是图形的一种变换,在这种变换中图形的形状和大小都不改变(不变性),只是改变了图形的位置(改变性)。利用平移的不变性和改变性,对解决零散图形的求值问题特别有效,利用平移的思想可以把复杂的问题简单化,这是一种重要的数学思想,在几何问题中有着广泛应用,同样也是中考的热点。     

全等变换在证题中的应用

人们在日常生活中经常遇到有关图形变换的问题,全日制义务教育数学课程标准(以下简称课标)下的数学课程增加了图形这一部分知识的内容.课标中有关“空间与图形”这一版块中,安排了四部分内容,“图形与变换”是其中之一,而且一至三学段(即七至九年级)都安排有“图形与变换”.由此可见,图形变换在数学课程和人们日常生活中的重要地位和作用.新课标下的“空间与图形”中的图形与变换主要有全等变换、相似变换和等积变换.教材重点介绍了利用全等变换和相似变换的方法来画空间图形,而用图形变换的性质来解决其他有关问题的内容却涉及较少.因此,本…     

应用几何变换解题

新颁布的《数学课程标准》中加强了几何图形的平移变换、轴对称变换和旋转变换的内容.初中阶段要求通过教与学探索这些几何变换的基本性质和图形之间的变换关系,并能按要求作出平面图形变换后的图形,利用几何变换解几何题,体现了用运动的观点来研究几何问题,它使条件与结论的联系更加明显,使辅助线的添加更自然,同时也使解题更简捷,思路更开阔,以达到出奇制胜、化难为易的目的.下面分别介绍三种常用的几何变换及应用,供参考. 一、平移变换平移变换就是把某个图形上的各点按照同     

浅谈“几何变换”

在平面几何解题中,有些题目不易找到条件与结论的直接联系,需要添加适当的辅助线.经常采用“几何变换”的方法,将分散的条件集中在一个易于联系的图形中,以利于解(证)题.常用的“几何变换”方法有平移变换、对称变换、旋转变换.下面举例说明     

以学生为中心成就高效课堂——“旋转变换”课例分析

正1教学设计教学内容浙教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册2.4节"旋转变换".内容解析本节内容是在学习了三角形全等的基础上学习的,是继轴对称变换、平移变换的又一基本图形变换,也为今后研究其他具有对称性质的图形及几何变换奠定基础,起着承上启下的作用.因此,它既是教学上的一个重要基础知识,又是重要的数学思想方法,是培养学生思维能力、树立变化观点的良好素材.