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问题已知a,b∈R~+,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax~2+by~2≥(ax+by)~2.解法1作差比较简单明了ax~2+by~2-(ax+by)~2=ax~2+by~2-a~2x~2-b~2y~2-2abxy=a(1-a)x~2-2abxy+b(1-b)y~2=ab(x~2-2xy+y~2)=ab(x-y)~2≥0.解法2代换在前作差在后因为a+b=1,令T=(a+b)(ax~2+by~2)-(ax+by)~2=abx~2+aby~2-2abxy=ab(x-y)~2≥0.评析"作差法"是证明不等式的一种最基本的方法,巧用作差法是我们解决不等式证明问题的一种行之有效的途径,如果应用得恰当,能切中要害,问题 相似文献
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李歆 《数理天地(高中版)》2006,(10)
高中数学课本第二册(上)习题6.3第7题:若a,b∈R~ ,x,y∈R,且a b=1,则ax~2 by~2≥(ax by)~2.(*) (当且仅当x=y,时,取“=”号)此题看似简单,常常被同学们所忽视,但它的条件和结论特征却非常明显,由此联想到带有条件“x y=1”的最值和不等式问题,用(*)作“桥”求解,结果十分凑效,充分显示出课本习题(*)的应用价值.下面略举数例予以说明. 相似文献
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二次函数的一般形式是:y=ax~2+bx+c(a≠0),经配方,得y=a(x+(b/2a))~2+(4ac-b~2)/4a,设b/2a=m,(4ac-b~2)/4a=k 变式一:y=a(x+m)~2+k(a≠0) 二次函数图象的顶点坐标是(-m,k),对称轴方程是x=-m,即当x=-m时,函数y取得最大值(a>0)或最小值(a<0),“最”值是k。 若抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴有交点(x_1,0)、(x_2,0)(x_1=x_2时相切),即方 相似文献
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对于二次函数y=ax~2 bx c(a≠0),可通过配方法将其化为顶点式y=a(x b/2a)~2 4ac-b~2/4a(a≠0),可知: 相似文献
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由一元二次方程根与系数的关系知道,二次三项式ax~2 bx c=a(x-x_1)(x-x_2)(?)x_1 x_2=-b/a,x_1x_2=c/a。由此可对“十字相乘法”作如下改进: 作变换ax~2 bx c=1/a[(ax)~2 b(ax) ac]。令ax=y,则ax~2 bx c=1/a(y~2 by ac)。若有x_1、x_2,使x_1x_2=ac,x_1 x_2=-b,则ax~2 bx c=1/a(y-x_1)(y=x_2)=1/a(ax-x_1)(ax-x_2),于是有定理对于二次三项式ax~2 bx c,若能找到x_1、x_2,使得ac=x_1x_2,x_1 x_2=-b,那末,ax~2 bx c 相似文献
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罗增儒 《中学数学教学参考》2006,(8)
1 案例的呈现2005年天津市中考有一道代数综合题:例已知二次函数 y=ax~2+bx+c.(1)若 a=2,c=-3.且二次函数的图象经过点(-1,-2),求 b 的值;(2)若 a=2,6+c=-2,b>c,且二次函数的图象经过点(p,-2),求证:b≥0;(3)若 a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图象经过点(q,-a),试问当自变量 x=q+4时,二次函数y=ax~2+bx+c 所对应的函数值 y 是否大于0.并证明你的结论.本题的核心内容在第(3)问(第(1)、(2)问只是其 相似文献
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1.配方法 对于二次函数y=ax~2+bx+c,通过配方可得: y=a(x+(b/2a))~2+((4ac-b~2)/4a)。 由二次函数的极值性可知: 若a<0,则y有极大值,当x=-b/2a时,y_(max)=4ac-b~2/4a;若a>0,则y有极小值,当x=-b/2a时,y_(min)=4ac-b~2/4a。 相似文献
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段春生 《开封教育学院学报》1994,(1)
一、配方法函数y=f(x)=ax~2+bx+c(a■0),配方后有:y=a(x+b/(2a))+(4ac-b~2)/(4a),,由此,若a>0,当x=-(b/(2a))时,y_(min)=(4ac-b~2)/(4a);若a<0,当x=-(b/(2a))时,y_(max)=(4ac-b~2)/(4a). 相似文献
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二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)有如下性质:当a>0时,在对称轴x=-(b/2a)的左侧y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧y随着x的增大而增大;当x=-(b/2a)时函数y有最小值((4ac-b~2)/4a).当a<0时,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧y随着x的增大而减小;当x=-(b/2a)时函数y有最大值((4ac-b~2)/4a).利用二次函数的这一性质及图象求最大值、最小值是中学数学中一个 相似文献
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夏群华 《中学数学教学参考》2004,(6):32-33
1 问题提出我们经常看到这样一道题:已知a >0 ,b >0 ,且a b =1 ,求(a 1a) 2 (b 1b) 2 的最小值.该题通常这样求解:(a 1a) 2 (b 1b) 2 =a2 b2 1a2 1b2 4=(a b) 2 -2ab 1a2 1b2 4=5 -2ab 1a2 1b2 ≥5 -2 ( a b2 ) 2 2ab=92 2ab≥92 2( a b2 ) 2=2 52 .当且仅当a =b时取等号.作为上题的推广,我们自然会想到问题1 :已知x >0 ,y >0 ,且x y =1 ,求函数f1(x ,y) =(x 1x) 3 ( y 1y) 3的最小值.对于问题1 ,我们同样可以如下求解:由题设条件可求得0 相似文献
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画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x) 相似文献
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孟燕 《数理化学习(高中版)》2012,(10):12-13
一、初等函数的概念一次函数y=ax+b(a≠0),二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),指数函数y=a~x(a>0且a≠1),对数函数y=log_ax(a>0且a≠1),幂函数y=x~a,其中a为任意实数,三角函数 相似文献
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石吉祥 《邵阳学院学报(社会科学版)》1995,(2)
作二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的略图是初中学生应掌握的基本技能。怎样才能比较正确,迅速地作出二次函数的略图呢?我是这样教学生的。 因为二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的图象是以直线x=b/(2a)为对称轴的抛物线。 相似文献
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