圆与函数“联姻”

一、圆与反比例函数例1（2010广东茂名）如图1所示,在直角坐标系xOy中,设⊙O₁的圆心O₁的坐标为（R,R）,当反比例函数y=k/x（k>0）的图象与⊙O₁有两个交点时,求k的取值范围.     

巧用函数求数列中的最值问题

由于数列是特殊的函数,所以解决数列相关问题时,往往要用函数一些思想.数列中的最值问题,若结合函数的图象和性质,会使问题简单化、操作性强.题型1借助二次函数的顶点求最值例1等差数列{a_n}中,a₁<0,S₇=S₁₅,所以公     

反比例函数易错点剖析

反比例函数是一种重要的函数,由于某些同学对反比例函数概念、性质及图象的特征理解不到位,在解题过程中常会出现一些错误,现将易犯错误剖析如下,望同学引以为戒.一、忽视性质成立的条件而出错例1反比例函数y=2/x图象上的两上点为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）,且x₁2,则下列关系成立的是（）.     

一道中考试题的分析与启示

题目:如图直线y=kx+b与x轴交于D点,与y轴交于C点,连结CD,△COD的面积为S,且ks+32=0.抛物线y=x²/8与直线y=kx+b交于A（x₁,y₁）、B（x₂、y₂）两点,连接AO、BO.（1）求b的值;（2）求证:点（y₁,y₂）在反比例函数y=64/x上;（3）求证:x₁·BO+y₂·AO=0.一、试题的质量分析1.这是一道比较好的试题,它把知识的基础性与运用的灵活性很好好的融合在一起.第（1）问求字母b的值,用常规的方法设横坐标为0,求出C的坐标（0,b）;设纵坐标为0,求出D的坐标（-b/k,0）,通过面积S_△COD=DO·CO/2=-b²/2k,再代入ks+32=0中就能求出b=8.这比较基础,绝大部分学生都能把基本分拿到手.第（2）问中验证一个点在已知函数的图象上,这个     

平面曲线的中心对称与轴对称问题

对称问题是函数和解析几何中的重要考点,如何有效解决?本文将以向量为工具给出对称问题的有效解决方法,供读者参考.一、点关于点对称问题结论1点P（x₀,y₀）关于点M（a,b）的对称点为Q（2a-x₀,2b-y₀）.证明:设Q（x₁,y₁）,则必有（?）,即（a-x₀,b-y₀）=（x₁-a,y₁-b）,得到a-x₀=x₁-a,b-y₀=y₁-b,即     

导数一直线和曲线相切问题的基本策略

近年来,与导数有关的直线和曲线相切问题一直是高考命题的热点和难点.无论题目千变万化,处理这一问题的关键是理解y=f（χ）在点χ处的导数f’（χ₀）的几何意义是曲线y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的斜率.求函数y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的一般步骤是:①求出函数y=f（χ）在点χ₀处的导数f’（χ₀）,即y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））处的切线的斜率.②由点斜式写出切线方程y-f（χ₀）=f’（χ₀）（χ-χ₀）,但要注意函数的导数不存在处的切线是与χ轴垂直的直线.例1已知函数f（χ）=χ³+bχ²+cχ+d的图象过点P（0,2）,且在点M（-1,f（-1））处的切线方程为6χ-y+7=0,求函数y=f（χ）的解析式.     

也谈谈极值点偏移问题

1问题回顾极值点偏移问题在高考中很常见,此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数与形结合、转换的思想解决函数问题的能力,层次性强,能力要求较高.文献[1]给出了引例,通过研究,归纳总结出解决此类问题的一般性方法.引例已知函数f（x）=e^x-ax+a,（a∈R）的图象与x轴交于A（x,0）,B（x₂,0）两点且x₁2.（I）求实数a的取值范围;     

二次函数交点式的应用

如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点A（x₁,0）、B（x₂,0）,那么二次函数的解析式可写成y=a（x-x₁）（x- x₂）的形式,其中a是待定系数,这就是二次函数的交点式（或零点式）.下面举例说明这个形式在解题中的应用.     

数学的全新思想——“合元”思想例说

本文所说的合元就是把两个变量合并成一个整体,从而可看作一个变量.它主要用于某些含两个变量的二元函数,通过合元,把它转化成一元函数,从而可达到利用常用的导数工具来解决问题的目的.下面通过两个例子来解析一下合元思想.例1已知函数f（x）=lnx,g（x）=ax²/2+bx（a≠0）（1）若a=一2时,函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域上是增函数,求b的取值范围;（2）在（1）的结论下,设函数ψ（x）=e^2x+be^x,x∈[0,ln2],求函数ψ（x）的最小值;（3）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P、Q,过     

巧思妙解话函数

巧用特殊值巧用特殊值是指在题目条件下取一些特殊的值进行简单计算,以确定问题的解的一种解题技巧.适用范围遇到含有数的取值范围选择题时,运用特殊值可使解题快捷.试题1在函数y=k/x（k>0）的图象上有三点A₁（x₁,y₁）,A₂（x₂,y₂）,A₃（x₃,y₃）,已知x₁2<03,则下列各式中正确的是（）A.y₁23 B.y₃21C.y₂13 D.y₃12技巧关键可通过取特殊值转化为简单的计算进行比较,但需要注意的     

探究《匀变速运动中速度与时间的关系》

一、探究质点运动时常用到v-t图象,根据v-t图象可作出哪些判断1.读出物体在某时刻的速度或物体的某一速度所对应的时刻.如图1所示,0时刻的速度为v₀,t时刻的速度为v₁.求出物体在某段时间内速度的变化量或物体发生某一速度变化所经历的时间.图中,在     

与反比例函数有关的一个结论及应用

<正>在反比例函数有关的习题中,常出现与面积、反比例系数k有关的问题.笔者探究发现,有一类问题可得到一般性结论,本文就探究这个结论及应用.引例如图1,反比例函数y=k/x(k>0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E,F两     

正比例函数与反比例函数交点坐标规律及应用

[义务教育课程标准实验教科书八年级《数学》（人民教育出版社）下册]第61页第9题揭示了正比例函数与反比例函数交点坐标的规律.在同一直角坐标系中,正比例函数y=k₁x与反比例函数y=k₂/x没有交点,请确定两个常数的乘积k₁k₂的取值范围.分析:解答本题,既可从k₁、k₂的符号入     

入住反比例函数图像的最值问题

最值问题历来是中考的热点之一,最值问题知识面广、难度大,近几年向着多形式的题型发展,并有拓宽和加深的趋势,走进反比例函数图像的最值问题就是一朵绽放的"奇葩".一、利用三点共线例1（2012年湖北省黄石市）如图1所示,已知A（1/2,y₁）,B（2,y₂）为反比例函数y=1/x图象上的两点,动点P（x,0）在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是（）.     

08年高考数学模拟试题(5)

一、选择题1.若α,β∈（0,π/2）,cos（α-β/2）=3^1/2/2,sin（α/2-β）=-1/2,则cos（α+β）的值等于（） A)-3^1/2/2.（B）-1/2.（C）1/2.（D）3^1/2/2.2.如果复数（m²+i）（1+mi）是实数,则实数m=（） （A）1.（B）-1.（C）2^1/2.（D）-2^1/2.3.已知向量OA^→:（1,-3）,OB= （2,-1）,OC=（m+1,m-2）.若点A、B、C能构成三角形,这实数m应满足的条件是（） （A）m≠-2.（B）m≠1/2.（C）m≠1.（D）m≠-1.4.设有三个函数,记第一个为y=f（x）,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数关于直线y=-x对称,则第三个函数是（）     

函数图象的析与辨

<正>函数图象把数与形有机地结合起来,能形象直观地描述两个变量之间的函数关系,因此,学习函数要能根据图象分析和解决问题,这是同学们必备的能力之一.本文分类例说函数图象的析与辨,希望对同学们有所帮助.一、根据函数图象判断函数性质例1 (2021年凉山彝族自治州中考题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列结论中不正确的是( )     

说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

2011年高考必做创新题——探究创新题

第1点信息探究型XINXI TANJIUXING（）必做1已知函数f（x）的图象在[a,b]上连续,定义:f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,其中,min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值,max|f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f₂（x）-f₁（x）≤k·（x-a）对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f（x）为[a,b]上的"k阶收缩函数".（Ⅰ）若f（x）=cosx,x∈[0,π],试写出f₁（x）,f₂（x）的表达式.     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

2014年高考数学必做解答题——导数及其应用

第1点导数与函数（）必做1已知函数f（x）=eax·（a/x+a+a）,其中a≥-1.（1）求f（x）的单调递减区间;（2）若存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,求a的取值范围.牛刀小试破解思路第（1）问求出导数后,分a=-1,-10求出单调递减区间.第（2）问注意理解条件是存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,可以直接论证或者构造反例求解.