任意凹四边形的一个面积公式

本刊1997年第3期刊登了《任意凸四边形的一个面积公式》一文,其实该文的结论对凹四边形也是正确的。 命题 设凹四边形的一组对边中点的连线长为a,另一组对边中任一边中点到a的距离为h。则该凹四边形的面积     

数学问题与解答——1985年第4期问题解答

76.求证:如果凸四边形一组对边的中点和两条对角线的交点共线,那么这个四边形是平行四边形或梯形。证明:在凸四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,P为AC、BD的交点,M、P、N三点共线。     

第24届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级 1.设t为任意实数,求证不等式t~4-t 1/2>0. 2.已知在凸四边形中,过一组对边的两个中点的直线与四边形的两条对角线成等角,求证两条对角线相等.     

第22届全苏中学生数学奥林匹克试题及解答

第一天 I、年级 i。一本书由30篇小说组成,各篇分别有1,2,…,30页.小说从第一页开始刊载,每一篇小说都从新的一页开始.问:以奇数页开头的小说最多可以有多少篇? 答:23。 2。设ABcD是凸四边形.考虑两个凸四边形F:和FZ,其中每个四边形的两个对角顶点为ABcD对角线的中点,而另两个顶点分别为ABCD一组对边的中点.已知四边形F:与FZ的面积相等。试证:四边形ABCD的一条对角线平分其面积. 3.设x,;,‘为三个不同的自然数,而且它们中的任意两数的乘积能被第三个数整除.试证:方程x一百 z=1有无穷多组解。 证将所求的解表示为x=。,,;=:k,‘=mk的…     

2011年第12期问题

841．在对边乘积相等的圆内接凸四边形ABCD中，M为对角线BD的中点.     

探索一类面积问题

我们先来看一个简单的真命题： 如图1（1）,任取一凸四边形ABCD,顺次连结各边中点E、F、G、H,则四边形EFGH是平行四边形,且其面积为凸四边形ABCD面积的1/2。     

四边形规律探究，相似知识显身手

题目(2004年重庆市)如图1，四边形ABCD是面积为a的任意四边形，顺次连结各边的中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为.     

有关中点四边形的结论

下面就有关中点四边形的结论归纳如下:1.顺次连接任意四边形的各边中点,所得到的四边形是平行四边形,即任意四边形的中点四边形是平行四边形.2.顺次连接平行四边形的各边中点,所得到的四边形是平行四边形,即平行四边形的中点四边形是平行四边形.3.顺次连接矩形的各边中点,所得到的四边形是菱形,即矩形的中点四边形是菱形.4.顺次连接菱形的各边中点,所得到的四边形是矩形,即菱形中点四边形是矩形.5.顺次连接正方形的各边中点,所得到的四边形是正方形,即正方形的中点四边形是正方形.6.顺次连接梯形的各边中点,所得到的四边形是平行四边形,即梯…     

对角线——中点四边形的锚

我们先来看教材上一道题目:题目如图1,在四边形ABC D中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?我们把四边形E FGH叫做四边形ABCD的中点四边形,从课本上知道,中点四边形EFGH是平行四边形.同学们是否思考过下列问题:1.为什么任意四边形的中点四边形都是平行四边形?2.中点四边形的周长和面积与原四边形的周长和面积有什么关系?3.中点四边形能否为特殊的平行四边形(矩形,菱形,正方形)呢?23在学习和探索中,同学们可以发现:对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;对角线互相垂直的四边形的中点四边…     

1985年第4期问题

76.求证:如果凸四边形一组对边的中点和两条对角线的交点共线,那么这个四边形是平行四边形或梯形. (安徽黄全福供题) 77.试求出顶点在原点,其它两个顶点在,,二,.犷_,L二一‘、‘且小二。、椭圆奋十素=‘上的三角形的最大面积,并指出这时三角形的特征. (上海杨卫生、陈士明供题)78.设数列{a。}:1,9,8,5,…,是a。+a‘十。的个位数字(落=a全.5。+a翌.5。+…+a羞。。。是4其中a‘,‘),试证: (湖南70.求搜「息(击)‘的倍数. 沈文选供题),其中K>1 (湖南草红云供题) 80.把1985。(e为自然对数的底数)分成若干个正数的和,其积最大为多少? (湖北叶年…     

2021年全国中学生数学奥林匹克(决赛)

1.给定正数a、b和平面上的一条长度为a的线段AB.设此平面上的两个动点C、D满足四边形ABCD是一个非退化的凸四边形,且BC=CD=b,DA=a.已知存在⊙I与四边形ABCD的四边都相切.求圆心I的轨迹.     

聚焦“中点四边形形状”的命题证明

任意一个四边形,连结四边形各边中点所组成的四边形叫做这个四边形的中点四边形.与中点四边形形状有关的命题有哪些呢?下面本文摘取八个与中点四边形形状有关的命题证明,供同学们学习时使用.命题1:连结平行四边形各边中点所得的     

四边形与它的中点四边形的关系

顺次连结四边形各边中点,得到一个新的四边形.为了叙述方便起见,我们把这样的四边形叫做原四边形的中点四边形.下面通过例子来说明,中点四边形的形状由原四边形来决定的.     

观察对角线,判别中点四边形

<正>三角形中位线性质定理,是初中几何重要定理之一.利用此定理,证明顺次联结四边形各边中点所得四边形(约定为中点四边形)是平行四边形、菱形、矩形、正方形.这类问题对不少同学来说,容易出错.原因有二,一是不会运用三角形中位线性质定理;二是判断"中点四边形"是何形状的特殊四边形,需要哪些条件不清楚.本文总结四种类型如下,供     

中点四边形的判定与性质

所谓中点四边形,本文专指顺次连结四边形各边中点所得的四边形.由三角形中位线的性质及平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关知识容易证明中点四边形有下列性质和判定方法(证明略).判定定理1 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形(如图1)推论矩形或等腰梯形的中点四边形是菱形.判定定理2 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形(如图2)     

第44届IMO试题解答

1 .设S ={ 1,2 ,… ,10 0 0 0 0 0 } ,A为S的一个恰包含 10 1个元素的子集合 .证明 :在S中存在数t1,t2 ,… ,t10 0 ,使得下列集合Aj={x +tj|x∈A} ,j=1,2 ,… ,10 0中的任意两个都不相交 .2 .求所有的正整数对 (a ,b) ,使得 a22ab2 -b3 +1为正整数 .3.给定一个凸六边形 ,其中的每一组对边都具有如下性质 :这两条边的中点之间的距离等于它们的长度之和的 32 倍 .证明 :该六边形的所有内角相等 .(一个凸六边形ABCDEF共有三组对边 :AB和DE ;BC和EF ;CD和FA)4.设ABCD是一个圆内接四边形 .从点D向直线BC、CA和AB作垂线 ,其垂足分别…     

探索中点四边形

“顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形(简称为中点四边形)一定是平行四边形.”且面积是原四边形面积的一半(华师大九年级课本P62).     

凸四边形绝对值方程又一形式

②中给出凸四边形的一般形式.本文给出另一形式,它不含二重绝对值(符号). 引理若A(a,b),B(c,d),C(e,f),D(g,h)是凸四边形四顶点,令川刊川|川fd人尸‘g 一一 D弓.人,工‘.几bd召心g 一一 D 0. 笋D oD 事实上,因A,B;C,点,D:,D:非零且异号,0}D为凸四边形顶故,上︸.上‘.工11b d fh口c eg 一一 D D一}D,iDZ一}DZ}D,尹0. 定理凸四边形ABCD顶点为A(a,b),B(。,d),C(e,f),D(g,h).则其绝对值方程可写为 }a:x十b,y十‘,1+rlaZ二十饥y+。:}+a3x 十b3少十e3一0.(*) 其中a,,b,,。.,r(i~l,2,3)可由a,b,…,g,h确定. 可仿③定理l的证明.现举一…     

凸多边形面积平分的尺规作法

过圆心作直线可以将圆面积平分,过三角形顶点和对边中点作直线可以将三角形面积平分,过平行四边形对角线交点作直线可以将平行四边形面积平分,过梯形上下两底中点的直线可以将梯形面积平分．那么,对于一般的凸四边形如何作一条直线平分其面积呢？凸五边形、凸六边形、凸n边形,又将如何作直线平分其面积呢？这里介绍一种凸多边形面积平分的尺规作法,供读者参考．     

再探中点四边形

顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形.中点四边形是人教版第19章的数学活动3所探究的问题,通过完成课本的探究,我们知道几个结论.