用二重积分求旋转体的体积

在微积分中,平面图形绕x轴或y轴旋转所成旋转体的体积用定积分计算已经解决,对于平面图形绕任意直线旋转所成的旋转体的体积如果仍用定积分计算则比较复杂.通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法,进而得出一般积分公式.     

用定积分计算旋转体体积的教学探讨

讨论平面图形绕不同坐标轴旋转所形成旋转体的体积问题,给出了一组计算公式,不仅对定积分的应用进行了推广,而且对于认识各类旋转体,计算旋转体的体积都有很大的帮助.     

旋转体的体积公式的推广

本文在X型平面图形和Y型平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积公式的基础上,利用坐标系的平移变换及定积分的换元积分法等知识,推广了混合型旋转体的体积公式,并给出了相应的证明．     

关于旋转体体积的研究

阐述了平面图形绕坐标轴旋转产生的旋转体体积与形心坐标之间的联系。在此基础上把它推广到绕任意直线旋转的情况。并得出求旋转体体积的一般，公式。     

计算旋转体侧面积的积分公式

本文通过平面曲线绕坐标轴旋转而得到的旋转体的侧面积公式 ,进而探讨平面曲线绕该平面上任意直线旋转而得到的旋转体的侧面积的积分公式     

旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导

根据已有的已知截面面积的几何体体积积分公式,通过坐标变换,推导沿倾斜轴旋转的旋转体体积的一般积分公式,继而推导作为其特殊形式的平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式,列举公式的应用.     

一个计算旋转体体积的积分公式

本文就平面曲边梯形绕该平面上的任意直线旋转一圈而成的旋转体进行讨论，运用微元分析方法，得到了此类旋转体体积的积分公式。     

平面图形绕斜轴旋转所成旋转体的体积与侧面积

在高等数学中,平面图形绕x轴或y轴旋转所成旋转体的体积和侧面积的计算早已解决,本文利用元素法去推导平面图形绕斜轴旋转所成旋转体的体积和侧面积的一个普遍适用的公式。     

旋转体体积的一个积分公式

利用微元法,给出了空间曲线绕任一直线旋转一周生成的旋转体体积的一个积分公式.     

定积分应用中关于参数式的几个计算公式

推广性给出定积分应用中关于用参数方程表示的三种计算公式 :即平面曲线围成区域面积的第二种参数公式 ;求平面曲线绕X轴 (或y轴 )旋转一周所得旋转体体积的参数公式 ;求平面曲线绕X轴 (或y轴 )旋转一周所得旋转体侧面积参数公式。     

定积分应用中关于参数式的几个计算公式

推广性给出定积分应用中关于用参数方程表示的三种计算公式：即平面曲线围成区域面积的第二种参数公式；求平面曲线绕X轴(或y轴)旋转一周所得旋转体体积的参数公式；求平面曲线绕X轴(或y轴)旋转一周所得旋转体侧面积参数公式。     

一类旋转体体积公式及其应用

本文根据关于直线x=m对称的函数f(x)的性质,推导出这类函数曲线f1(x),f2(x)和直线x=m-a,x=m+a所围成的平面图形S绕y轴旋转一周所成旋转体体积公式。     

一类旋转体体积的求法

用V=π∫baf2(x)dx可求得连续曲线y=f(x)的弧AB与直线x=a,x=b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.若x轴推广为一般的直线y-yo=k(x-xo),其它条件不变,其旋转体的体积可由V=π/(1 k2)3/2∫ba[kx-kx0-f(x) y0]2|1-kf'(x)| dx求得.     

计算旋转曲面面积的定积分公式

就平面曲线绕该平面上任意直线旋转一周而成的旋转曲面,应用微元法,得到了此类曲面面积的定积分公式.     

定积分应用中关于极坐标方程表示的几个计算公式

笔者拓广性推导出定积分应用中关于用极坐标方程表示的三种计算公式:求平面曲线围成区域面积的第二种极坐标公式;求平面曲线绕x轴(或y轴)旋转一周所得旋转体体积的极坐标公式;求平面曲线绕x轴(或y轴)旋转一周所得旋转体的侧面积的极坐标公式.     

浅谈微元法几何应用的教学

微元法的几何应用是中专校定积分教学中的重点和难点,在几何上主要用来求平面图形的面积和旋转体的体积.一旦掌握了这种方法不仅可以解决几何问题,还将为学习物理和其它技术理论课带来方便.     

定积分应用中关于极坐标方程表示的几个计算公式

笔者拓广性推导出定积分应用中关于用极坐标方程表示的三种计算公式 :求平面曲线围成区域面积的第二种极坐标公式 ;求平面曲线绕x轴 (或 y轴 )旋转一周所得旋转体体积的极坐标公式 ;求平面曲线绕x轴 (或 y轴 )旋转一周所得旋转体的侧面积的极坐标公式     

旋转体容球的一个有趣共性再探究

<正>1."‘柱-缺’型组合旋转体容球"的情况若圆柱与球缺具有全等的底面,将它们底面相叠而组合的"柱-缺"型几何体可以看成如图1所示图形ABCD绕边AD所在的直线旋转得到的旋转体,而图形ABCD的内切半圆O绕边AD所在的直线旋转得到的旋转体即为以上的"柱-缺"型旋转体的内切球.故我们不难得到如下性质:性质1:如图1所示,设图形ABCD含有半径为R内切半圆O,其中四边形OBCD是边长为R的正方形,由图形ABCD绕边     

旋转体体积计算公式的再推广

关干旋转体体积的计算公式，一般的高等数学教科书给出的结论是：设函数f（X）在区间［a，b］上连续，且f（x）≥0。由曲线y=f（x），直线x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形绕x轴旋转，得到的旋转体体积公式是。数学通报1994年第10期程曹宗老师著文《旋转体体积计算的一般公式》，该文给出了平面曲线绕任一直线旋转所产生的体积公式。其结论是：设y=f（X）为[a，b]上连续可微函数，若L为过任一点（X0，y0）的直线：y-y0=m（x－x0），则曲边梯形ABB’A’（见图1）绕L旋转所产生的旋转体体积是：作者运用点到直线距离公式证得上述结论。本文运…     

计算旋转体体积的一般公式

本文应用分割、求和、取极限及定积分概念，导出一段曲线派统任一条直线旋转时，所生成的旋转体体积的一般计算公式。