切线只有一条吗?(高三)

1.问题高中新教材数学第三册114页谈到导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0),切线方程为: y-y0=f'(x0)(x-x0) (*)所以可利用导数求曲线的切线方程. 问题1 点P不在曲线上如何用导数方法求过点P的切线方程? 问题2 点P在曲线上,过点P作曲线的切线只有一条吗?即方程(*)惟一吗?     

求曲线切线时的一点注意

曲线y=f(x)在点x0的导数f′(x0)就是曲线在该点的切线的斜率,本文对用导数几何意义求切线引起的误解进行剖析.已知曲线C:y=2x-x3,求过点A(1,1)的切线方程.(2005年全国高考卷Ⅲ文科15题改编)误解:显然点A(1,1)在曲线C:y=2x-x3上,f′(x)=2-3x2∴f′(1)=-1∴过点(1,1)的切线方程为:y-1=-1(x-1),即y=-x 2解析:由于点A(1,1)恰好在曲线y=f(x)上,因此容易得到一条切线方程,即以点A为切点的切线.但本题求的是“经过点A的切线”,而不是“在点A处的切线”,因而不排除有其他切线经过A.因此本题切线应有两条,一条以点A为切点,另一条不以点A为切点但…     

小议曲线的切线方程

曲线的切线方程是高考必考的一个重要的知识点.但是,我在教学过程中发现学生求曲线的切线方程时,对曲线的切线的概念理解不透彻,产生漏解和错解的现象.我们在初中平面几何中学过圆的切线,它的定义是:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.此时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线.它的切线的定义并不适用于一     

曲线与其切线关系误点辨析

正在高中数学学习导数时,经常会碰到求函数的切线方程这一问题,主要做法是函数在切点处的导数值等于切线的斜率.而对于切线的理解,由于受圆和圆锥曲线切线(圆与圆锥曲线的切线:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一侧的直线叫切线)的影响,同学们对于切线的认识存在着许多的误解,本文就常见的误解加以一一辨析,希望起到明辨是非的作用.     

例谈用导数的几何意义求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率,其求法为:设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为:y-y0=f’(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.     

“在”与“过”，有所不同

曲线在某点处的切线方程与曲线过某点的切线方程不同,在解题过程中,这是一个易混点．求曲线的切线方程时,首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上,可用求切线方程的一般方法求解;若不在曲线上,可先设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标或切线斜率,从而得到切线方程．     

导数应用的误区

误区1 曲线的切线与曲线只有一个交点 在圆和圆锥曲线中,曲线的切线和曲线只有一个交点．于是有些同学就认为曲线和切线的交点有且只有一个,但利用导数求出的切线与盐线有时为什么不止一个交点？首先,要理清曲线的切线的定义：     

曲线凹凸性定义的推广及应用

在高等数学的教材中,曲线的凹凸性直观定义为:"设曲线弧的方程为y=f(x),且曲线弧上每一点都有切线.如果在某区间内,该曲线弧位于其上任一点切线的上方,则称曲线弧在该区间内是凹的;如果在某区间内,该曲线弧位于其上任一点切线的下方,则称曲线弧在该区间内是凸的."     

寻定义之根 探解法之源——相切问题的研究

切线的定义最早产生于古希腊．当时的大数学家阿基米德在《论螺线》中给出了确定螺线在给定点处的切线的方法，数学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中也讨论过圆锥曲线的切线．但这些都是把切线看作与曲线只有一点接触且不穿过曲线的“切触线”，曲线都在切线的同旁这与初中教材圆的切线定义相符合，是静态的切线观．近代微积分的诞生，赋予切线新的定义和应用，大数学家牛顿在他的老师巴罗的基础上提出了切线的近代定义，即把一般曲线的切线定义为割线的极限位置，并由此得到了切线斜率的导数求法，这是动态的切线观．切线从而有了新的数学和物理意义，如切线的斜率表示曲线在切点处的瞬时变化率，切线是在切点处最逼近曲线的直线，切线表示沿曲线运动的物体在某个时刻的运动方向等．近代切线的定义关注的是曲线在微小局部“相切”的性质，所以切线可以与曲线的某一微小局部相切，又同时与曲线相交于其他点，也可以“穿过”曲线，即曲线在其切线的两旁．     

曲线的切线与方程“等根”间的关系

对曲线切线的求法,绝大部分是用导数作为研究的工具．利用“等根”与一般曲线切线的关系,给出了用方程“等根”求曲线切线的具体方法,介绍了曲线切线的概念以及用方程“等根”刻画曲线切线的基本思想,推出了直线与三次函数图像相切的充要条件．     

导数的几种常见用法

一、利用导数的几何意义解决有关切线的问题 利用导数求曲线上某点的切线方程,通常都是先求出该点的导数,即该点处切线的斜率,再由点斜式写出切线方程.若曲线上点x0处的导数不存在,由切线定义可知切线方程为x=x0.另外,"曲线上点P处的切线"与"过点P的曲线切线"是两个不同的概念,要注意区分,这是个易错点.     

有关切线的四类问题

导数是高考的热点,曲线的切线问题在高考试卷中经常出现。解决曲线切线问题,首先要搞清相切的充要条件。直线与曲线相切的充要条件为：①曲线在切点处的导数是切线的斜率;②切点为公共点。下面通过具体例子谈一谈四类曲线切线问题。     

例谈曲线的切线方程的类型与解法

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,在近几年的全国高考试题中常有出现．但学生在解这类问题时经常出现偏差或错误．究其原因．主要是对曲线的切线的定义,导数的几何意义等关键知识理解不透,对求曲线的切线方程的关键点把握不准。求曲线的切线方程的关键在于确定切点．只要切点确定．就可求出切线的斜率,从而求出切线方程。     

切线方程的统一

关于二次曲线切线的处理,我们注意到了一些需要也完全可以统一的情况: 第一:求解方法因曲线的类型而异,比如《课本》中,求圆的切线用了斜率关系,求抛物线、椭圆、双曲线时用了二次方程判别式。第二:方程形式因已知点的位置而不同。当已知点M在曲线上时,切线方程很简单;当M在曲线外时,情况就复杂了,通常的教材都没有给出方程。第三:直线方程存在有斜率切线与无斜率切线的区别,并且常常因此而导至失误。在这方面,《课本》(甲种本)对圆和抛物线的处理都欠周密。《课本》(甲)P74例2,求圆     

高三数学"导数"章教学问答

(续上期 )2 1　为什么要用割线的极限位置来定义切线 ,而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线” ?答 :过去我们定义圆的切线就是“与圆只有一个公共点的直线” ,这个定义显然符合圆、椭圆等一类曲线。那么 ,能否对任何曲线C都用“与C只有一个公共点”来定义C的切线呢 ?不能。比方说 ,抛物线y2 =x与x轴、y轴都只有一个公共点 ,但只有 y轴是它的切线 ,x轴显然不是它的切线。因此 ,与曲线只有一个公共点的直线不一定是切线。2 2　为什么说函数 y=|x|在点x =0处连续 ,但在点x =0处无导数 ?答 :这个结论的数学证明需要用到左极限与右极限…     

高三数学“导数”章教学问答

22 为什么要用割线的极限位置来定义切线 ,而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线” ?　　答 :过去我们定义圆的切线就是“与圆只有一个公共点的直线” ,这个定义显然符合圆、椭圆等一类曲线 .那么 ,能否对任何曲线Ｃ都用“与Ｃ只有一个公共点”来定义Ｃ的切线呢 ?不能     

导数应用的常见错误

一、混淆曲线y=f(x)在点P处的切线与过点P的切线例1已知曲线y=f(x)=(1/3)x~3上一点P(2,8/3),求过点P的切线方程。错解:f′(x)=x~2.设过点P的切线的斜率为k,则k=f′(2)=4.     

曲线上某一点处的切线方程

曲线上某一点处的切线方程的三种类型及其解法：第一种已知曲线上任意一点的坐标求切线方程;第二种已知曲线上任意一点的横坐标求切线方程;第三种已知曲线上任意一点处的斜率求切线方程。     

切线问题错解剖析

同学们对切线的认识是逐步深化的,最初用和圆只有一个公共点的直线来定义圆的切线,接着用判别式为零判别直线与二次曲线相切,而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线,切线与曲线的交点可以不止一个,就不再用交点个数来定义,而是用割线的极限位置来定义曲线的切线.直线与圆相切的情形在同学们的大脑中已根深蒂固,受此负迁移的影响,不少学生对切线问题产生错误的想法,导致错解时常发生.请看下面几例:     

导数与切线问题的常见类型和隐患

本文主要研究了高中数学中出现的利用导数求函数切线的问题,主要介绍了已知切点求切线、已知斜率求切线、过曲线上一点求切线、过曲线外一点求切线四种高考中常见的类型。另外还谈到了导数不存在而切线存在的问题,利用导数求圆锥曲线切线等。