函数单调性与数列单调性的整合

教材高一(上)(指全日制普通高中教材必修本;下同)学习了函数单调性定义和数列,并指出了数列与函数的关系;高二(下)研究二项式系数的性质,在研究其增减性时,用Cnk= Cn(k-1)·(n-k 1)/k来讨论,这里实际上提出了函数单调性定义在数列中的具体应用:数列{f(n)}单调增等价于f(n 1)>f(n);单调减等价于f(n 1)相似文献   

判别函数列一致收敛的两种新方法

两个判断一致收敛的新方法:设对每一个n,函数fn(x)在某闭区间上单调或连续,若该函数列{fn(x)}在该闭区间上收敛于连续函数f(x),则该函数列{fn(x)}必一致收敛于f(x)。     

互补的数列与一道国际数学竞赛题

1.数列互补的定义及定理: 定义如果两个递增的正整数的数列{f(n)}、{g(n)}满足下面两个条件: (ⅰ)这两个数列没有相同的项,即对任意的正整数m、n,有,f(n)≠g(m); (ⅱ)每一个正整数k,都必定在数列{f(n)}或{g(m)}中出现,即总可以找到正整数n或m,使得k=f(n)或k=g(m)。     

一道错误试题的分析

1．题目（选自参考文献[1]） 数列及数列的前n项和均可以看成特殊的函数,同样具备单调性．若f（n）是等差数列{an}的前n项和,则f（n）单调递减的充要条件是（ ）     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

一类数列求和问题的一种解法

由于数列{g(n)}与{g(n))}的前n项的和函数f(n)有关系:f(n)-f(n-1)=g(n)．已知g(n),求f(n)的数列求和问题可看作函数方程f(n)-f(n-1)=g(n)来求解．本文提出关于f(n)的函数方程f(n)-f(n-1)=g(n)的一种导数解法,并运用此方法简捷地解决了自然数方幂和等一类数列的求和问题．     

由函数f(x)确定数列x_(n+1)=f(x_n)的敛散性

本文叙述了由函数f(x)的单调性、不动点及数列的初值x_0来确定数列x_(n+1)=f(x_n)的敛散性的方法.     

一道高考题的疑问及剖析

2011年上海市春季高考数学第23题:对于给定x0＞3√a(a＞0),由递推式xn+11/2=(xn(√a/xn)(n∈N)得到数列{xn},且对于任意n∈N,都有xn＞3√a.用数列{xn}可以计算3√a的近似值.     

一类递推数列通项的求解

<正>本文探讨形如an+1=g(n)an+f(n)(*)的一阶递推数列通项的求解方法,其中g(n)、f(n)是关于n的函数.一、an+1=g(n)an型若(*)式中f(n)=0,g(n)≠0,且数列{g(n)}的前n项乘积易化简,则可通过累乘法求得这类递推数列的通项公式.当g(n)为     

用函数性质解数列问题的错误一例

数列是按一定次序排列的一列数.在函数意义之下,数列是定义域为正整数集合N~*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数f(n)当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f(1),f(2),f(3),…,f(11),…,通常用a_n代替f(n),简记{a_n},其中a_n是数列{a_n}的第n项.这样,我们可以通过函数的性质类推数列的某些特性,但是,反过来,由已知数列的某些特性去确定参数的取值范围时,     

例谈数列中恒成立问题的求解思想

众所周知,数列可以看成以正整数集N~*(或它的有限子集{1,2,3,…,k})为定义域的函数a_n=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应一系列函数值,即数列是一种特殊的函数.因此,可以用函数的思想观点拓展、探究数列,已得到一定认可,如:求数列的最大(小)项、单调性等.也基如此,数列中不断推出一些相关恒成立或对任意n∈N~*都成立的问题.那么,此类问题有哪些求     

数列单调性的综合应用例举

<正>数列可看作是定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.数列的通项公式就是相应函数的解析式,数列的单调性与函数的单调性类似,只需比较an+1     

具有指定亏量的整函数

在本文中,笔者将W.K.Hayman的经典著作“亚纯函数”定理4·1加以推广,由任意指定的复数列{a_v}_V~N=1,扩充到任意指定的多项式列{a_v(z)}_(v=1)~N(次数为k<∞),给出了一个新定理.定理:设{a_v(z)}_(v=1)~N、{δ_v}_(v=1)~N(N≤∞)分别为任意指定的多项式列(次数为k<∞)和正数列,且,0≤δ_v≤1、sum from v=1 to N(δ_v≤1),则必存在一个整函数f(z),使得δ(a_v(z),f)=δ_v 1≤v≤N,对a(z)(?){a_v(z)}_(V=1)~N,有δ(a(z),f)=0.     

高考数列题中函数思想的运用

数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数.任何数列问题中都蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征.因此,在解决数列问题时要注意利用函数的性质(如值域、单调性、最值等)去分析,以它的概念、图象、性质为纽带,架起函数与数列间的桥梁,揭示它们间的内在联系,从而有效地分解数列问题.1以函数概念为载体,有机地消化数列问题数列的通项公式an=f(n)就是函数的解析式,定义域为N (或它的有限子集{1,2,…,n}).它的图象上的点(n,an)是一群孤立的点.如:等差数列是an=pn q的函数值系列,它的图象是直线y=px q上均匀…     

一类数列单调性的探究

从数列{（1＋1/n）^b）（n∈N＊）和{（1＋1/n）^n＋1）（n∈N＊）的单调性出发,探讨了数列{（1＋1/n）^n＋1/2）（n∈N＊）的单调性,进而研究了数列{（1＋1/n）^n＋a）（n∈N＊,a∈R为常数）的单调性,并得出一般性的结论。     

导数在数列问题中的应用

导数是解决函数问题的有力工具,更为数学解题注入了新的活力.由于数列可看作特殊的函数,所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.1利用导数确定数列的最大或最小项例1已知数列{an}的通项an=8n2-n3,n∈N*,求数列{an}的最大项.解构造辅助函数f(x)=8x2-x3(x>0),则f′(x)=     

有理递归数列通项公式的求法

定义对数列{u_n}:u_i=a_i(i=1,2,…,r),存在r元函数f(x_1,…,x_1),使u_(n r)=f(u_n,u_(n 1),…,u_(n r-1))(n∈N),则称数列{u_n}为r阶递归数列,f为数列的定义函数,常数a_i(i=1,2,…,r)为初始值。当f为有理式时,称{u_n}为有理递归数列。本文研究了两类一阶有理递归数列通项公式的求法。     

数列{V(n)=V(n-1)+V(n-2)+1}的若干性质

本文用组合分析的方法,对图论中二分树的顶点计数中的一个重要参数一数列{V(n)}满足(1)递推关系V(n)=V(n-1)+V(n-2)+1;(2)初始条件V(0)=1,V(1)=2,进行了深入研究,得出了一系列关于{V(n)}的基本性质;并将{V(n)}与Fibonacci数列{Fn}及Lucas数列{Ln},有机地联系了起来,得出了其间相关的结论。     

常见递推数列通项公式的求解方法

<正>数列是高中数学的一项重点内容,求递推数列的通项是其中的一个难点.它类型多,解法灵活,技巧性强,是考查学生逻辑推理与化归转化能力的良好载体,也是近年来高考常有的内容.下面介绍高中阶段四种常见递推数列通项公式的求解方法,希望对读者能有所启发与帮助.一、累加法它适用于在数列{a_n}中,已知首项a1,且满足a_(n+1)=a_n+f(n),其中数列{f(n)}是可以求和的.通常f(n)有以下三种常见类型:     

关注高考中涉及n最值的求法

涉及n的最值问题是高考考试的一个热点,同时也是个难点.这里提供几种方法供同学们参考.一、直接用单调性处理【例1】已知函数f(x)=2x log2x数列{an}的通项公式是an=0.1n(n∈N)当｜f(an)-2005｜取得最小值时,n=.解:记F(n)=f(an)-2005注意到f(n)、an均是n的增函数,故F(n)是n的增函数.由计算器知道:F(109)≈-91,F(110)≈46,F(111)≈193,从而n为110.【例2】与方程x2 lgx-2005=0的实根最接近的自然数是.分析:本题的实质也是个关于自然数的最值问题.考虑F(n)=n2 lgn-2005,注意到n2、lgn均是n的增函数,故F(n)是n的增函数.同样由于F(44)≈-67,F(…