对于初中平面几何中心对称一个定理的证明的商榷

现行初级中学课本平面几何关于中心对称的定理的证明为: 定理如果作一条线段的两个端点关于一个已知点的对称点,那末: (1)连结这两个点的线段平行于已知线段,并且和已知线段相等。 (2)已知线段上任何一点的对称点,都在所作的线段上。求证(2) AB上任何一点的对称点都在所作的线段上。证明(2) 在AB上任取一点M,连结MO,并且延长MO交B′A′于M′。在ΔA′OM′和ΔAOM中∠2=∠1(平行线的内错角相等)。∠4=∠3(对顶角相等)OA′=OA;     

海莱定理及应用

在最优化理论中,凸分析是不可缺少的准备知识,总的说来,它不属于中学数学范畴。然而其中一些基本的概念对于解决某些中学数学的内容亦有帮助。下面介绍一个定理——海莱定理,并借此解决一些初等几何问题。定理:若n(≥3)个凸图形中任意三个都有公共点,则这n个凸图形有公共点。为了讨论问题的方便,我们把凸图形限制在平面上。这样凸图形指的是:对于平面图形中任何两点A、B,线段AB总在其中。从而圆、线段、三角形、矩形等均为凸图形。     

关于格点多边形的性质的讨论

平面直角坐标系中,纵坐标和横坐标都为整数的点称为格点,顶点都为格点的凸n边形称为平面格点凸n边形,1×1的格点正方形称为单位格点正方形.文[1]中提出了下列关于格点凸九边形的几个性质而没有给出证明:命题A(1)平面格点凸九边形的内部至少有11个格点;(2)平面格点凸九边形的内部及边界包含一个长为3,宽为2的格点长方形;(3)平面格点凸九边形的内部及边界最少包含10个两两不同的单位格点正方形.经研究后发现上述3个结论都不正确,事实上如下图,我们取格点A1(0,0),A2(3,1),A3(7,2),A4(12,3),A5(18,4),A6(16,3),A7(12,2),A8(7,1),A9(1,0).则…     

2004年第12期“小灵通出招”参考答案

这道题可以简化成一笔画问题。先说说“奇点”和“偶点”。从一点引出的线段条数是奇数时,这点称为奇点;从一点引出的线段条数是偶数时,这点称为偶点。能一笔画出的条件是:(1)凡是只由偶点组成的图形都可以一笔画出。(2)凡是只有两个奇点,其他的点都是偶点     

线段和垂线性质的证明

几何一册课本第6页和第25页中,分别直接给出了线段和垂线的性质,本文试作如下证明。(一)证明“在所有连结两点的线段中,线段最短”。已知:平面上任意两点 M、N,连结两点得线段 MN,以 M、N 为端点的折线无限多,按节数分有2个节、3个节…n 个节…的折线(如图一)。     

“线段、射线、直线”学习指导

《平面图形及其位置关系》一章中“,线段、射线、直线”三者是最基本的概念之一.欲弄清这部分内容,需掌握如下内容:一、理解三者的概念线段是不定义的概念,课本中是这样叙述的“:绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看作线段.线段有两个端点.”射线和直线都是用线段的延伸来定义的:将线段向一个方向无限延伸就形成了射线;将线段向两个方向无限延伸就形成了直线.将射线反向延伸也可形成直线.二、三者意义辨析三、比较线段的长短1.有关线段的两个重要概念:(1)两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.(2)如果一个点把线段分成相等的两条线段,…     

数学问题与解答——1985年第4期问题解答

76.求证:如果凸四边形一组对边的中点和两条对角线的交点共线,那么这个四边形是平行四边形或梯形。证明:在凸四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,P为AC、BD的交点,M、P、N三点共线。     

调和分割的基本性质及其应用初探

如果点M内分线段AB,点N外分线段AB,且AM：MB=AN：NB,那么称点M,N调和分割线段AB．亦称A,M,B,N为调和点列．     

一个正方形个数的计数问题

一个4×4的方格中有25个格点.每个小格子都是边长为1的正方形.任取两个格点可连成一条线段.如果排除竖直和水平的线段,则由剩下的那些斜的线段,共可围成多少个正方形(正方形顶点都是格点)?如果是4×5的方格呢?如果是m×n的方格呢?本文将予以讨论.     

托勒密定理的推广和应用

定理一(托勒密定理) 圆内接凸四边形的两双对边的乘积的和等于两条对角线的乘积。如果把一点看成是(?)为零的圆,两点之间的线段长看成是两圆的外公切线长。这样,可以把这个四边形的四个顶点看成是分     

第37届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1996—04—03) 一、以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D和E,过D,E作BC的垂线,垂足分别是F,G,线段DG,EF交于点M。求证:AM⊥BC。 (裘宗沪 供题) 二、设N是自然数集,R是实数集,S是满足以下两个条件的函数f:N→R的集合:     

凸n边形的一个性质及其应用

本文提出凸n边形的一个性质,并提供两道应用该性质解的几何题。 性质:凸n边形如果有内切圆,那么它们的面积比等于周长比。 如图(1),已知O是凸n边形ABCD…N的内切圆,H、I、P、Q……M是切点。 求证: 证明:分别连结OA、OH、OB、OI、OC、OP、OD、OQ……,OA、OB、OC、OD……把凸n边形分成n个三角形。 ∵H、I、P、Q……M分别是切点, ∴OH⊥AB,OI⊥BC,……,OM⊥AN 设OH=OI=OP=OQ=……=OM=r,     

基于夹角的凸包算法改进

针对基于夹角的二维凸包算法提出一种利用四边形初始凸包方法进行优化的思路。其基本思想是利用平面点集中4个极值点构成的四边形,摒弃掉平面点集中位于四边内部的内点,再利用夹角凸包算法对剩余点集进行凸包计算。实验结果表明,该凸包算法有效提升了原有算法的运行效率,但两个算法同样存在着无法应用于数量庞大的数据中的问题。     

弦切夹原理及其应用

一、原理考察可求长的平面曲线弧AI（图1）。假设AB上没有拐点，称这样的曲线弧为凸单调的；并称凸向一侧为孤外侧，另一侧为弧内侧。在AB上取几个分点风，贼，…，M，作折线AM；M。…MB，称为曲线弧AB的内接折线。分别过点A，M；，M，…，凤，B作曲线的切线．由这些切线相交而成的折线AM，IM’。…M’N＋；B称为曲线弧AB的外切折线。显然，曲线弧AB的内接线和外切折线分别位于弧的内侧和外侧。曲线的切线如AM’；定义为当点民沿曲线趋近于点A时内接折线段AMI的极限位置。如果在曲线弧上每两个分点M－；与风（i—l，2，…，n…     

如何求解双动点线段长的最小值问题

<正>双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段.由于线段的两个端点都在运动,因此增加了解决问题的难度.这类问题的解题策略是:消点——将双动点转化为单动点,然后利用"垂线段最短"确定单动点线段长的最小值,进而得到双动点线段长的最小值.下面举例说明.     

凸包工作集TSP算法

TSP问题是一个NP完全问题,在现实生活中许多领域得到充分应用。通过对"S计算几何"中凸包算法分析,提出了一种最大凸包工作集规划TSP路径算法,能快速解决二维TSP问题。首先运用凸包算法构造城市的最大凸包工作集,将剩余城市节点根据隶属度大小加入到相应的凸包子工作集中。再应用最大凸包算法逐个划分凸包子工作集,直至子工作集中的尺度为2。最后依次访问每个子工作集头,得到TSP最短路径。实验结果表明,该算法能更快速地得到问题的近似最优解。     

凸包工作集TSP算法

TSP问题是一个NP完全问题,在现实生活中许多领域得到充分应用。通过对＂S计算几何＂中凸包算法分析,提出了一种最大凸包工作集规划TSP路径算法,能快速解决二维TSP问题。首先运用凸包算法构造城市的最大凸包工作集,将剩余城市节点根据隶属度大小加入到相应的凸包子工作集中。再应用最大凸包算法逐个划分凸包子工作集,直至子工作集中的尺度为2。最后依次访问每个子工作集头,得到TSP最短路径。实验结果表明,该算法能更快速地得到问题的近似最优解。     

妙题赏析

2008年高考,我最欣赏的一道数学试题是江西卷理科第10题．试题如下： 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2√7、4√3,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题：     

“直线、射线、线段”典型题解析

一、理解概念例1下列说法正确的是().A.线段AB和线段BA表示的是同一条线段B.射线AB和射线BA表示的是同一条射线C.直线AB和直线BA表示的是两条直线D.若点M在直线AB上,则点M也在射AB上解析:线段AB和线段BA表示的是同一线段;直线AB与直线BA表示的也是同一直线;射线AB的端点为A,向点B的方向限延伸,而射线BA的端点为B,向点A的向无限延伸,因此射线AB与射线BA不是一条射线;因为射线是直线的一部分,所以直线AB上的点M不定在射线AB上(如图).所以正确答案为A.例2下列说法正确的是().A.线段AB是A、B两点间的距离B.两点间的距离是…     

Whc64的一点突破

希布隆(Heilbron)型问题的研究成果屡见报道,杨之老师在文中列为WhC64: 平面上给定n个点,其中任三点可构成一个三角形,有一个最大面积与最小面积的比为μ_n,求μ_n的最小值。 (本文将面积最大三角形记为△ABC,面积为单位面积,面积最小三角形记为△XYZ,面积为S,μn的下确界记为infμn。李文志得到infμ_4=1,infμ_5=5~(1/2)+1/2,infμ_8=3。本文将进一步证明: 命题1:infμ_6=3 命题2:infμ_7=3 命题1证明: Ⅰ当不共线六点的凸包是t边形,3≤t≤5,由凸t边形内至少有一点P,又过凸t边形一顶点有(t-2)个三角形覆盖凸t边形,所以点P在其中一个△DEF内(△DEF可