巧证一道复数题

题 已知△ABC的三个顶点A,B,C对应的复数分别是z_1,z_2,z_3若(z_2-z_1)/(z_3-z_1)     

一道集训题的巧证

(原证请参见本刊1994年第4期P18) 证 当x_i>1时,由算术几何平均值不等式得     

一道奥林匹克赛题的巧证

求证：是第五届国际奥林匹克数学竞赛的第五题．本刊92年第八期胡绍培老师介绍了该题的三种证法，下面我再给出该题的一个巧妙的证法：一道奥林匹克赛题的巧证@季刚祥$江苏省金湖县教师进修学校     

一道题的多种巧证

题目已知25cosA 5sinB tanC=0,且sin~2月—4cosAtanC=0,求证:tanC=25cosA.解法1:由题设条件得: 25cosA tanC=—5sinB, 25cosAtanC=(25)/4sin~2B.     

一道竞赛训练题的探讨

在“抽屉原则”的一些资料中,下面一题被经常采用: 把1到10的自然数摆成一个圆圈,证明一定存在三个相邻的数,它们的和数不小于17。 证明 如图,设a_1,     

一道常见题的巧证及推广

题目已知a1-b2+b1-a2＝1, 求证:a2+b2＝1.     

一道几何赛题的巧证及探源

2005年全国初中数学联赛E卷的一道几何赛题是: △ABC中,AB＜AC,I是内心,M是BC的中点,P是BC上的一点,且AO∥IM,Q是AP上的一点,若IMPQ为平行四边形,求证△MPQ为直角三角形.     

对一道竞赛训练题的商榷

贵刊1993年第11期刊登的《初中应用物理知识竞赛训练(2)》,其中第二题填空第4小题是:     

构造长方体巧证一道名题

题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原文给出的证明非常繁．本刊１９９８年第４期《一道课本习题的引伸与一道名题的妙证》一...     

一道名题的两个巧证

如果一个三角形的两条内角平分线相等,则该三角形等腰.大约1840年,德国数学家雷米欧司在一次数学会议上说了以下的话:几何问题在还没有证出之前很难说它是困难还是容易!为此,他举出了这道题作为例子.当时该问题还没有被证出来,后来另一     

一道最值题推广的巧证

题:设x_i∈R,i=1,2,…,n,且∑_(xi)=m,则sum from i=1 to n(i~2/x_i≥n~2(n 1)~2/4m. 这是熊光汉老师将命题:x,y,z>0且     

一道竞赛训练题的引申及其应用

如图 1 ,在△ABC中 ,BC边上依次有B、D、E、C ,AC边上依次有A、G、F、C ,满足BD =CE =14BC ,图 1CF =AG =14AC ,BF交AE于J ,交AD于I,BG交AE于K ,交AD于H ,且S△ABC=1 ,则S四边形KHIJ=。(天津师大《中等数学》2 0 0 1年第四期第 40页数学奥林匹克初中训练题 )如果将此题的条件改为CF =AG =1nAC ,CE =BD =1nBC ,那么四边形KHIJ与△ABC的面积的比值能否用n的式子表达呢 ?请看下面的命题 :引申　如图 2 ,在△ABC中 ,BC边上依次有B、图 2D、E、C ,AC边上依次有A、G、F、C满足BD =CE =1nBC ,CF =AG =1n A…     

一道IMO预选题的巧证及其推广

原题（39届IMO预选题）设x,y,z是正实数,且xyz=1,证明：x3/（1＋y）（1＋z）＋y3/（1＋z）（1＋x）＋z^3/（1＋x）（1＋y）≥3/4.（1）本题无论是组委会还是一些数学竞赛教材提供的解答,都无非是强化命题构造函数求导或者琴生不等式均值不等式联合使用．这些证法都是奥赛尖子才能问津,普通中学生看这解答都很吃力．其实本题用最基本的均值不等式便容易得解．     

两种构造法巧证一道CMO题

20 0 3年中国数学奥林匹克 (CMO)最后一题为 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,满足 ab+cd= 1,点 Pi(xi,yi) (i=1,2 ,3,4 )是以原点为圆心的单位圆周上的四个点 .求证 :(ay1 +by2 +cy3 +dy4) 2 +(ax4+bx3 +cx2 +dx1 ) 2≤ 2 (a2 +b2ab +c2 +d2cd ) .文 [1]提供了一种证明方法 .本文给出构造函数与构造向量两种构造性证明 ,巧妙简易 .证法 1　 (构造函数 )设 f (x) =(ax- y1 ) 2 +(bx- y2 ) 2 +(cx- y3 ) 2 +(dx- y4) 2=(a2 +b2 +c2 +d2 ) x2 - 2 (ay1 +by2 +cy3+dy4) x+(y21 +y22 +y23 +y24) ,由于 f(x)≥ 0 ,所以Δ≤ 0 ,即 4 (ay1 +by2 +cy3 +d…     

一道数学奥林匹克高中训练题的简证

本文给出了一道数学奥林匹克高中加试训练题直接、简洁的证明过程.     

一道解析几何竞赛训练题的解法创新与推广

浙江大学出版社出版的《高中数学竞赛专题讲座》中P₆₈有这样一道题:如图1所示,过抛物线y²=x上的一点A（1,1）作抛物线的切线,分-别交x轴于D,交y轴于B,点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足（AE）/（EC）=λ₁,点F在线段BC上,满足（BF）/（FC）=λ₂,且λ₁+λ₂=1,线段CD与EF交于点P,当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.现摘录原文解答如下:解:过抛物线上点A的切线斜率为k=2x|_x=1=2,切线AB的方程为y=2x-1.所以B、D的坐标     

一道习题的巧证

人民教育出版社出版的《初中数学课外习题集》(三年级用)p32第78题: 求证:不论x是什么实数,二次函数y_1=x~2 mx-(m-1)与y_2=x~2 x m~2(m为任意常数)的值中至少有一个大于零。书中的证明采用了反证法,过程较为复杂,现给出一种简洁证法: 证明:函数y_1和y_2的判别式△_1=m~2 4(m-1),△_2=1-4m~2,则: △_1 △_2=-3m~2 4m-3 =-3(m-2/3)~2-5/3<0 故△_1、△_3中至少有一个小于零。又函数y_1、y_1的二次项系数都是正数。