几何不等式初步 (上)

几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式．几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类．     

几何不等式初步

几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式。几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类．下面给出一些基本的几何不等式性质．     

一类几何不等式的推广

1．引言 不等式是数学研究的重要内容,含有几何元素（线段、角、面积等）的不等式称为几何不等式．几何不等式涉及的内容丰富,处理问题的方法与技巧灵活多变．文[1]提出下列问题     

均值不等式在几何中的应用

均值不等式是最重要的代数不等式之一．人们往往只注重其代数背景,却忽视其在几何中的运用．本文选取几何平均数和算术平均数,分析均值不等式在几何中的运用．     

涉及平面上动点的两个几何不等式

我国初等数学研究中，关于几何不等式的研究仍方兴未艾，其中涉及平面上动点的几何不等式引人注目，已取得了丰硕成果．近来笔者试作研究，也得到了一些结果，在此介绍其中两个此类型的几何不等式。     

几个新的几何不等式

1943年,Pedoe发表了被他称为“第一个涉及两个三角形”的不等式,自此以后,几何不等式的研究更加活跃.近年,国内发表了若干很有意义的几何不等式,如高灵不等式、安振平不等式等.受这些结果的启发,本文给出4个涉及三角形边长及其外接圆半径的不等式,并说明它们的三角本质.     

角平分线的两个不等式与若干猜想

建立了涉及三角形内角平分钱的两个几何不等式,提出了有关内角平分线的几个猜想不等式．     

一个新的几何不等式

本文利用两点之间的距离公式得出一个重要的新的几何不等式．     

《数学反思》S357问题的一个逆向

利用算术—几何均值不等式、Gerretsen不等式给出了一个几何不等式的逆向不等式.     

一个优美的三角形几何不等式新问题的解决

刘保乾老师在文中给出了100个优美的三角形几何不等式新问题,笔者研究了其中的第68个几何不等式．发现它是正确的,本文试图给出它的一个证明。     

高维单形的一类几何不等式

本文利用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法,证明关于ｎ维单形的一类几何不等式,作为应用, 给出欧氏平面上关于三角形的Ｒ．Ｒ．Ｊａｎｉｃ不等式的高维推广．     

几个不等式的逆向探讨

对若干几何不等式或代数不等式进行逆向思考，得出了相应不等式的上界估计及不等式链，同时提出几个相关猜想祈教于同行。     

不等式与不等式组——知识篇

初中学习不等式与不等式组,重点考查用不等式表示常见的不等关系,不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示,涉及已知不等式的解,确定不等式（组）中的字母取值（范围）,同时探求不等式与方程、函数的关系,熟练掌握解不等式的一般步骤是前提．     

涉及三角形内部一点的两个不等式

涉及三角形内部一点的不等式是一类有趣的几何不等式,其中既有简单而美妙的结果,又有大量困难莫测的猜想．因而深受各个层次的读者的喜爱．本文中,我们给出这类不等式的两个新的结果．     

若干优美的三角形几何不等式新问题的解决

刘保乾老师在文[1]中给出了100个优美的三角形几何不等式新问题,笔者研究了其中的几个几何不等式,发现它们均是正确的,本文试图各给出它们的一个证明．本文约定所用符号均与文[1]同．     

函数与不等式的综合应用

本文从抽象函数与不等式、二次函数与不等式、几何中函数问题与不等式等方面来阐述函数与不等式的综合应用．     

关于n维Euler不等式的加强

应用几何不等式理论与解析方法，研究了单形外接球半径与内切球半径之间的关系，建立了涉及单形外接球半径与内切球半径的一些几何不等式，从而加强了著名的n维Euler不等式．     

构造几何图形证明不等式

不等式的证明方法很多,有时使人觉得扑朔迷离、无从下手或证法太繁．而构造几何图形证明不等式,却是十分巧妙且有效的方法,也体现了数形结合的优越性．本文介绍用几何法证明不等式的几种途径,读者可以体会到用几何方法证明不等式,思路清新、直观明快．     

一个高维几何不等式

本文将关于三角形几何不等式的一个猜想推广到n维欧氏空间E^n中的n维单形，从而建立了一个高维几何不等式，并推广了Gerber不等式。     

新发现的一些三角不等式

涉及三角形的三角不等式是几何不等式的一个重要组成部分，也是国际国内数学竞赛命题的热点之一。近年来，本文作者对此类不等式作了较为广泛的研究，并取得了不少漂亮的结果。本文给出这类不等式的一些新结论。