利用线段中点解中考数学试题

贵阳市 2 0 0 1年中考试题第八大题 (见本文例 2 ) ,是围绕两内切圆与有关角、线之间关系的两个台阶式小题 .从求证等积式的角度而言 ,是学生所熟知的问题 ,但由于积式中出现了系数“2” ,会使学生感到无从入手 .那么 ,“2”从何来呢 ?简言之 ,“2”源于中点 ,因此 ,解答这类问题能否善用中点、找出中点、构造中点十分关键 .1　善用已知中点这类题 ,在题设中往往给出中点 ,证出等积式之后用好中点就可以了 .图 1例 1　如图 1 ,ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ ,割线ＰＢＣ交⊙Ｏ于Ｂ、Ｃ两点 ,Ｄ为ＰＣ中点 ,连结ＡＤ并延长交⊙Ｏ于点Ｅ ,已知ＢＥ2 =ＤＥ…     

存在性智力趣题与抽屉原理

一本数学智力趣题集中有如下三道趣题.1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住这1987个点中的994个点.2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比为2∶3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于同一点.3.平面上有n(n≥4)个互不相同的点,每两点间用直线段相连,若其中长度为d的线段有n 1条,则这n个点中至少有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为d.上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个简单而强有力的武器——抽屉原理:若将sn b个苹果(s,b,n∈N ,0     

也谈挖掘教材——浅论四面体

在立体几何教学中,对四面体的适当探讨,颇有效益。本文以课本中最简的问题着手,由浅至深适当加以探究。 问题1 已知:E、F、G、H分别是空间四边形的四条边AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形。（现行教材立几必修本第16页6题） 思索1:由平行四边形EFGH深入易知,空间四边形对边中点的连线交于中点;对角线中点连线也相交于该点且被其平分。从而得: 结论1:空间四边形中,对边中点及对角线中点的连线相交于一点且被该点平分。     

排列组合题的求解策略

本文就排列、组合题的求解方法作一归纳总结,以揭示这类问题的求解规律.一、剔除法对有限制条件的问题,先以总体考虑,再把不符合条件的所有情况剔除,这是解决排列、组合题的常用策略.【例1】四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中任取4个不共面的点,不同的取法共有()A1150种B1147种C1144种D1141种分析:在这10个点中,不共面的不好寻找,因此采取剔除法,由10个点中取4个点的组合数C410减去4个点共面的个数,即为所求,4点共面的情形可分三类:第一类:四面体中每个面的四个点共面共有4C46=60种;第二类:四面体的每四个棱的中点构成平行四边形,则…     

两类中点轨迹方程的一般形式

在解析几何中,经常要求这样两类中点轨迹方程:第一类是求一个定点与二次曲线上任一点的连线的中点轨迹方程;第二类是过一个定点作二次曲线的弦,求弦中点的轨迹方程。本文准备给出这两类中点轨迹方程的一般形式,利用它们,可以直接写出要求的轨迹方程。设一般二次曲线的方程为 Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0其中A、B、C不全为零。为了方便起见,我们设f(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F,这样二次曲线的     

俄罗斯萨温竞赛题选(五)

在历年的萨温数学竞赛题中,有不少涉及了图形面积.它们都要求证明所给的面积是否相等,证法也千变万化.现介绍几例:1.在任意凸四边形ABCD中取各边的中点,并与它相对的一个顶点连结,如图1所示.那么所围成的中央四边形面积与周围那4个阴影三角形的面积总和相等吗?2.在等边三角形内任意取一点,该点与3个顶点连线,又从该点向3条边作出垂线,如图2所示.这样图中的3个阴影三角形的面积总和与余下的3个三角形的面积总和相等吗?3.过正方形内某一点,先作出两条与正方形边平行的直线,再作两条与正方形对角线平行的直线,把正方形分割成8块,如图3所示.图…     

从一道课本习题到一道竞赛题

让我们先考虑《几何》第一册习题十六的第2题:题1 求证:直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等.已知:梯形 EBCF 中.BE(?)CF,∠E=90(?),M 是 BC 的中点,求证:ME=MF.     

立体几何解题如何添加辅助线

有人说,解立体几何题"得辅助线者得天下".此话说得虽有点过头,但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键.那么,辅助线该如何添加呢?这里我先介绍一段口诀:"有了中点配中点,两点相连中位线;等腰三角形出现,顶底中点相连线;有了垂面作垂线,水到渠成理当然."然后结合口诀分析几个例子,供同学们参     

让学生的思维“荡起双桨”——一道条件不充分习题的变式探讨

<正>原题已知:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.新题已知:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.简析因为四边形ABCD是梯形,要证明它是等腰梯形,就是证明两腰相等,也就是要证两条线段相等,可以利用全等三角形来解决.证明因为点M是AD的中点,所以AM=BM.又因     

2010年全国高中数学联赛加试题另解

第一题已知锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆.     

二次曲线中点弦方程

二次曲线上任意两点连线叫做弦,以P(x_0,y_0)为中点的弦称为二次曲线关于P的中点弦.我们知道,若P不为有心二次曲线的中心,则P的中点弦是唯一的. 定理设P(x_0,y_0)为二次曲线Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0内部一点(异于中心),则P的中点弦所在的直线方程为     

“将军饮马”模型的应用

"将军饮马"模型其实是根据两点之间线段最短的原理求最短距离的一个方法模型,若已知两点在同一直线的一边,要在此直线上求一点,使得此点到已知两点的距离之和最小,作法是求已知两点中其中一点关于该直线的对称点,对称点与另外一点的连线与已知直线的交点即为所求的点,且最小距离之和为对称点与另一点的连线的线段长.     

画画数数找规律

在数学兴趣小组活动上,王老师跟我们复习了直线的特点,知道了2点确定一条直线,接着出示了这样一道题：经过纸上2点可以画一条直线;经过3点中的每两个点画直线,最多可以画3条;经过4点中的每两个点呢？5个点、6个点呢？……（任意3个点不在一条直线上。）     

三角形中位线定理的应用

三角形中位线定理涉及到了线线平行、一条线段等于另一条线段之半以及等分线段等内容,在几何题中有着十分广泛的应用。一、当题设中有过同一点的两线段的中点连线段,但少第三边时,应设法添出第三边,构造出三角形,再运用定理。例1 如图1,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形。     

利用类比法学习线段中点与角平分线

<正>在沪科版七年级数学教材的第四章《线段与角》的内容中,通过观察研究我们不难发现,线段与角的性质特点与习题有着很多的内在联系.下面,让我们从它们的性质与常见的一些题目入手,谈谈它们的相似性.一、比较线段中点与角平分线概念1.线段中点点C在线段AB上且使线段AC,CB相等,这样的点C叫做线段AB的中点(如图1).这时有     

组合中“立体几何题”的解法

一求解方法1.分类(“和”的思路):把问题分成若干类,用分类计数原理处理.分类时要做到不重不漏.2.剔除(“差”的思路):对有限制条件问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况剔除.3.特征分析:常用立体几何概念或其图形分析.4.构造法:构造几何模型.二例题讲解例1空间有10点,无任何三点共线,且无四点共圆,只有某4点共面.求:(Ⅰ)可确定多少个平面?(Ⅱ)可作多少个四面体?(Ⅲ)10个点任两点连线的所有直线中异面直线有多少对?(Ⅰ)解法1(分类方法):在共面4点中分别取2点、1点、不取,在其余6点中相应取1点、2点、3点,则C16C24+C26C14+C36C04+1…     

“共圆”解题 妙哉妙哉

<正>在初中数学"圆"这一章节的教学中,我们遇到这样一题:题1如图1,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB=4,PC、PD是⊙O的两条切线,C、D为切点.(1)如图1,求⊙O的半径;(2)如图1,若点E是BC的中点,连接PE,求PE的长度;(3)如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B、C),以点M为直角顶点,在BC的上方作∠AMN=90°,交直线CP于点N,求证:AM=MN.     

从六人集会问题谈起

六人集会问题：试证明任何六个人的集会中，总有三个人彼此认识，或者彼此不认识．这是一个数学游戏问题，也可看成一个实际问题．解决这一问题的关键在于通过适当的方法，把它转化为一个数学问题．把六个人看作平面上的六个点，记作A１，A２，A３，A４，A５，A６（如图），两人相识或不相识分别用“实线”或“虚线”相连．显然，为了讨论六个人之间的相识情况，应当考虑每两个点之间的连线是实线还是虚线．为了避免连线重叠的情况，可以假设平面上的六点中没有三个点共线．把任意两点连起来后，一共有C２６＝１５条线段，这样原问题就转…     

水厂到底建在何处?

利用几何知识求最小值,主要应用的知识点有:①在连接两点的所有连线中,以直线段为最短;②从直线外一点到这条直线上各点的所有连线中,垂直线段最短.但在实际应用中,解决同一类问题时,在特定条件下也有不同之处.     

让学生从“学数学”向“数学化”漫溯

苏教版四年级上册的数学书上有一道思考题:"经过纸上的两点可以画一条直线,经过3个点中的每两个点画直线,最多可以画3条;经过4个点中的每2个点呢?5个点呢?6个点呢?(任意3个点不在一条直线上)20个点呢?(这一问是教师补充的。)"对于这道题,原来只能在五六年级的奥数课上出现,讲授时颇费一番工夫才能使学生理解。现在四年级数学书上居然出现了,而且还要面对全班学生去讲,笔者心里不免嘀咕:学生能理解吗?