证明角相等六法

一、利用全等三角形的性质证明例1 已知:如图1,D、E在线段BC上,AD=AE,BD=CE.求证:∠B=∠C.证明:∵AD=AE,∴∠1=∠2,∴∠ADB=∠AEC在△ABD和△ACE中,BD=CE,∠ADB=∠AEC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠B=∠C.     

上期《“证明(二)”自测题》参考答案

1 .(1) 3 　△ABD≌△DCA ,△ABC≌△DCB ,△AOB≌△DOC .　 (2 )AOB、DOC、AOB、DOC、ABO、DCO或∠BAO =∠CDO 　 2 .2 0 　 3.2 ,6 ,2 3.　 4 .72 ,10 8 　 5 .如果∠ 1+∠ 2 =180° ,那么∠ 1与∠ 2互为邻补角 .假 　 6 .AB=CD ,或BC =DC ,或∠BAC=∠DAC ,或∠ACB =∠ACD .　 7. 130 ,70 　 8. 5 0 ,5 0 　 9.9 　 10 . 18,93 　 11.D 　 12 .D 　 13.D 　 14 .B 　 15 .B 　 16 .(1)略 　 (2 ) 6 　提示 :BE+CE=AC =8.　 17.2 5 .提示 :△PBC为Rt△ ,在Rt△ABP中 ,∵AB =2 2 ,∴AP =2 ,PC =4 …     

巧添辅助线构造轴对称图形

同学们在学习几何时,若能借助某些直线、射线(如角平分线、垂线)为对称轴构造对称图形,便会给解题带来极大方便,下面介绍这类几何题的思路及方法。一、以角平分线为对称轴构造图形图1例1已知,如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证:CE=21BD.分析:因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CE=21CF,再证明BD=CF即可。证明:延长CE和BA交于点F∵∠1=∠2BE=BE∠BEC=∠BEF∴△BEC≌△BEF∴CE=EF=21CF∴∠1+∠F=∠3+∠F=90°∴∠1=∠3又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF∴△ABD…     

一道常见题的变式

在中学数学学习过程中 ,将一些题目进行变式练习 ,有利于开阔同学们的思路 ,培养创造性思维能力 ,提高归纳、总结、发现规律的能力。图 1问题 :如图 1 ,C是线段AB上的一点 ,分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE ,边接AE、BD 求证 :AE =BD 证明 :△ACD和△BCE是等边三角形 ∠ 1 =∠ 3=6 0° ∠ACE =∠BCDAC =CD ,BC =CE △ACE≌△DCB图 2 AE =BD 变式一 :将点C改在AB的延长线上 ,如图 2。证明 :△ACD与△BCE是等边三角形 AC =CD ,BC =CE∠C =∠C △ACE≌△DCB AE =BD 变式二 :点C…     

全等模型手拉手 拓展相似再探究

<正>引例如图1,△ABC、△ADE均是顶角为45°的等腰三角形,BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边.图中△ACE可以看成由哪个三角形通过怎样的旋转得到的？解析由题意知AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE=45°-∠CAD,所以△ABD≌△ACE(SAS),观察图1容易发现,若将△ACE绕点A顺时针旋转45°,便可以与△ABD完全重合.     

全等三角形证明中对称心理初探

在全等三角形的证明中,不仅需要让学生掌握全等三角形的判定定理,更重要的是根据所给的图形,如何运用这些定理。这其中有一个学生在认识图形过程中的心理发展问题。例1 如图1,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD。例2 如图2,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,求证:△ABD≌△ACE。     

含角平分线的竞赛题解析

与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的…     

证明三角形全等错误评析

在证明三角形全等时,有些同学常出现种种错误.下面举例说明,以引起注意.例1已知:如图1,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,求证:∠D=∠E.错证:在△ACE与△CBD中,∵AC⊥BC,DC⊥EC,∴∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC,DC=EC.∴△ACE≌△CBD.∴∠D=∠E.评析:上面的证明中,错误地应用了“SAS”,但∠ACB与∠ECD并不是这一对三角形中的内角.也就不是AC与CE、BC与CD的夹角,错误原因是未能深刻理解“SAS”判定方法.!正确证明:∵AC⊥BC,DC⊥EC,∴∠ACB=∠ECD=90°.∴∠ACE=∠BCD.在△ACE与△CBD中,∵AC=BC,∠ACE=∠BCD,…     

一道几何题的简证

题:有两条内角平分线等长的三角形是等腰三角形。(本刊1978年第一期曾刊载这题的多种证法,这里用反证法,简洁新颖,特再刊登——编者) 已知△ABC的两条角平分线BD、CE等长。求证AB=AC证明用反证法,若AB≠AC,不妨设AB>AC,则∠C>∠B。 BD、CE分别是∠B、∠C的平分线, ∴∠ACE>∠ABD。在∠ACE内作∠ECG=∠ABD,CG交AE于G,交BD于F,则△GBF∽△GCE, ∴BF∶CE=BG∶CG,又∠BCG>∠CBG, ∴BG>CG,BD>BF>CE,这与已知BD=CE矛盾, ∴AB=AC。     

利用三角形全等证明有关问题

利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证…     

倍长中线好解题

在几何解题中时常需要辅助线.在含有三角形中线条件的习题中倍长中线是一种重要的添加技巧,它可以将许多较为分散的条件相对集中,从而架设已知与未知的桥梁.现就倍长中线的方法举几例说明.例1如图1,△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°.求证:AC=12AB.简析虽然AC、AB在同一个三角形中,但无法证得结论.想到BD=DC,即AD是中线,可倍长中线,即延长AD至E,使DE=AD,再连结BE,则易证得△BDE≌△CDA.于是∠E=∠CAD,BE=AC.而AD⊥AC,则∠E=90°.在Rt△AEB中,∠BAD=ABEDC图1CADEB图230°,所以BE=12AB,故AC=12AB.例2如图2,…     

6月份《30分钟智力冲浪》参考答案

1.(59a+b)cm.　提示:环套环拉直时,两环间距为acm(见原题图),第 一个与最后一个环各有一个边缘长b-a2cm.因此,60个环长为60a+b-a2× 2=59a+b(cm).　2.120.　提示:如图1,因为△ABC的三边相等,所以它 的三个内角都是60°.故在△ACD与△CBE中,因为AD=CE,∠CAD=∠BCE =60°,AC=CB,所以△ACD≌△CBE(SAS).所以∠3=∠1.因为∠3+∠2= 60°,所以∠1+∠2=60°.所以∠BFC=180°-60°=120°. 图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3 3.提示:如图2,以ME为轴,将△DME翻折至另一侧,得△EMF,因为 ∠DME=90°,故点D,M,F共线,连…     

如何证明线段的倍半关系

证明线段的倍半关系是初中平面几何中的一种常见题型 ,本文试将证明该类问题的常见方法归纳如下 ,以供同学们学习时参考 .1　加倍或折半将欲证结论中的短线段加倍或将长线段折半 ,改为证明两线段相等 ,此为解决线段倍半关系的最常用的方法 .例 1　如图 1,在△ABC中 ,AB =AC ,D为AB延长线上一点 ,BD =AB ,CM是AB边上的中线 .求证 :CD =2CM .分析 1　 (加倍 )延长CM至点E ,使ME =CM ,则CE =2CM ,易证△BME≌△AMC ,得BE=AC=BD ,∠MBE =∠A ,从而∠CBD =∠A +∠ACB =∠MBE +∠ABC =∠CBD ,进而可证△CBD≌△CBE ,…     

角平分线与全等三角形的构造

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A…     

再谈一道竞赛试题的证法

贵刊 2 0 0 2年第 1期上刊登的朱绍智、王国平两位老师《一道竞赛试题的 5种证法》.看后很受启发 ,现补充两种证法以供读者参考 .其中 ,证法 1辅助线自然天成 ,证法简洁 ,可称最优解法 ;证法 2不作辅助线 ,用代数方法 ,思路新颖 .图 1题目 :如图 1,△ ABC中 ,AC =BC,∠ ACB =90°,D是 AC上一点 ,AE⊥BD交 BD延长线于 E,且AE =12 BD.求证 :BD是∠ ABC的角平分线 .证法 1:延长 AE、BC交于 F ,因为∠ ACB =90°,AE⊥ BD,所以∠ 1=∠ 3 .(同为∠ F余角 )又 AC =BC所以△ ACF≌△ BCD(ASA)所以 AF =BD所以 AE =12 BD =…     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

训练题参考答案或提示

练习（七）——（1）一、1．1＜x＜7；2．75°；3．85°；4．30”S57·H、1·（o；2（山；3．（A）；4．（C）；5．（B）；6．（D），三、提示：∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D．四、提示：练习（七）——（2）1．（B）；2．（1）略；（2）证△ABD≌△CAE得AH=CE．从而AB=2CE，3．证△ABEgy≌△ACF；4．证△ABD≌△ACE；5．提示：在BC边上分别截取BD=AB，BF=BE，连结EH、EF，，则△BAE≌△BDE．AE=DE．再用角的关系证明DE=FE=FC；6．提示：延长中线AD至E，使DE=AD，连结CE，则凸ABDap凸ECD．”．CE—AB从…     

全等三角形中的新题型

近年来,围绕全等三角形的知识,出现了许多考查能力的新题型,主要有以下几种.一、补充条件例1如图1,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件使△AEH≌△CEB.(2003年黑龙江省中考试题)分析:在Rt△AEH与Rt△CEB中,分析图形性质可知∠1=∠2,∠3=∠B,故只要添加一组对应边相等的条件,就可判定△AEH≌△CEB,则应填AH=BC或EH=EB或AE=CE.二、探索结论例2如图2,点C为线段AB上的一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F.(1)求证:AN=BM;(2)求证:△CEF…     

“倍长中线法”在解题中的运用

例1在图1中,BD=CD,AD=ED,CA⊥AE,∠BAD=30°,且AB=3cm,那么线段AC多长呢?分析:如果直接从Rt△ADC入手求AC的长,是很难找到突破口的。要利用∠BAD=30°这一个特殊条件,若能说明∠AEB=90°,便能运用直角三角形的性质解决问题。对比图形,只要证明△ADC≌△EDB就可以了。     

一道平面几何题的几种证法

在数学习题教学过程中,要引导学生对一些题目用不同的思想方法,从不同的思维角度去寻找多种解法,不仅有助于培养学生灵活运用知识的能力,而且也有助于对他们发散思维的训练和创新能力的培养.例:已知AD是△ABC的角平分线,求证:BDDC=ABAC.证法一:如图1,过D作DE∥AB,交AC于E,则BDDC=AEEC.由∠1=∠2,∠1=∠3,得∠2=∠3,∴AE=DE,故AEEC=DEEC,又DEEC=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法二:如图2,过D作DE∥AC,交AB于E,则BDDC=BEAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,得∠1=∠3,∴DE=AE,故BEAE=BEDE,又BEDE=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法三:如图3,过C点作CE∥AD,交BA的延长线于E,则BDDC=ABAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=∠E,得∠3=∠E,故AE=AC,∴BDDC=ABAC.证法四:如图4,过B点作BE∥AD,交CA的延长线于E,则BDDC=AEAC.由∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠E,得∠3=∠E,故AE=AB,∴BDDC=ABAC.证法五:如图5,过B点作BE∥AC,交AD的延长线于E,则BDDC=BEAC...