一类三次系统在第四象限极限环的存在性

章讨论三次系统x=x(a0 a1x a2y a3x^2 a4xy),y=y(x-1)在第四象限的极限环的存在与不存在问题。     

一类三次系统在第四象限的极限环

章给出了三次系统x=x(a0 a2x a2y a3xy-a4y^2），y=y(x-1）在第四象限极限环的不存在、存在及存在唯一所需要的条件。     

一类Kolmogorov系统的定性分析

研究一类捕食-被捕食者系统{dx/dt=x(a0 a1x-a2x2-a3y-a4y2) hdy/dt=y(bx2-d),得到该系统不存在极限环以及存在唯一稳定极限环的充分条件.     

一类食饵种群具有常数存放率的n+2次kolmogorov系统的极限环

讨论一类食饵种群具有常数存放率的n+2次kolmogorov系统:x′=x(a0+a1x-a2x2-a3yn-a4xyn)+F,y′=y(x2-1),得到系统不存在极限环和存在唯一极限环充分条件,并推广了前人的部分结果。     

例谈定比分点坐标公式的应用

设A(x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,点P(x ,y)分有向线段AB所成的比APPB=λ(λ≠ - 1 ) ,则有 :x =x1+λx21 +λ ,y =y1+λy21 +λ .且当P为内分点时 ,λ >0 ;当P为外分点时 ,λ <0 (λ≠- 1 ) .当P与A重合时 ,λ =0 ;当P与B重合时 ,λ不存在 ,这就是定比分点坐标公式 .应用定比分点坐标公式 ,能使许多问题化难为易 ,化繁为简 ,有着非凡的功效 .1　比较大小例 1　已知a >0 ,b >0 ,0 0 ,则 1 -x =1 - λ1 +λ=11 +λ.于是 a2x+ b21 -…     

略谈一个不等式的应用

设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1　已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明　由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2　已知实数 a>1 ,b…     

一道竞赛题的别证

题　证明 :对任意实数 a>1,b>1,有不等式a2b- 1 b2a- 1≥ 8.　　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )《中学数学月刊》1999年第 11期、2 0 0 0年第 5期分别用添加项法或配置对偶式进行了证明 .兹给出另外四种证法如下 :证法 1　 (增量代换 )设 a=1 x,b=1 y,x,y∈R ,则a2b- 1 b2a- 1=(1 x) 2y (1 y) 2x≥(2 x ) 2y (2 y ) 2x =4(xy yx)≥ 8.当且仅当 1=x=y,即 a=b=2时取等号 .证法 2　 (三角代换 )设 a=sec2 α,b=sec2 β,α,β为锐角 ,则a2b- 1 b2a- 1=1cos4α· tan2 β 1cos4β· tan2 α=4(1 cos2α) 2 · (1 cos2β) 2s…     

三角函数的最值的求法

1 .利用配方法化成只含有一个的三角函数【例 1】　求函数y =sin6 x +cos6 x的最值 .解 :y =sin6 x +cos6 x=(sin2 x +cos2 x) (sin4 x -sin2 xcos2 x +cos4 x)=(sin2 x+cos2 x) 2 -3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x =1-34 sin2 2x=58+ 38cos4x∴当x=kπ2 (k∈z)时 ,y取最大值为 1.当x=kπ2 + π4(k∈z)时 ,y取最小值 14∴ymax =1,ymin =142 .利用函数y =x+ ax(a >0 )的单调性【例 2】　求函数y =sin2 x + 3sin2 x(x≠kπ ,k∈z)的值域 .解 :设sin2 x =t(0 相似文献   

一个数学问题的研究性学习

1　问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2　转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知　a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ …     

“问题2·10”参考答案

(1 )首先从几个简单的特例来观察 ,分别令 (a ,b) =(2 ,2 ) ,(2 ,3 ) ,32 ,2 ,(3 ,4) ,得出 a2b-1 +b2a-1 之值分别为 8,1 1 ,414 ,1 1 .因此猜测当a =2 ,b=2时 ,a2b -1 +b2a -1 =8可能是最小值 .　(2 )由不等式x2 +y2 ≥ 2xy,或x +y≥2xy(x≥ 0 ,y≥ 0 )可得当a >1 ,且b>1时 ,a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 =2 aa-1bb-1 .( )又任一正实数x ,因为x2 -4x +4=(x-2 ) 2 ≥ 0 ,所以x2 ≥ 4(x -1 ) ,即得x ≥ 2 x-1 ,也就是 xx -1 ≥ 2恒成立 .当且仅当x =2时等号成立 ,所以由 ( )式可得 a2b-1 +b2a-1 ≥ 2· 2 ·2 =8,而且仅当a =b=2时 ,a2b…     

一类梁方程奇异边值问题的多重正解

研究了一类梁方程奇异边值问题一个正解或多个正解的存在性，利用锥上的不动点定理和新的技巧给出了C^2[0，1]和C^3[0，1]正解存在的充分条件．其中，非线性项f(t，x，y)可以在x=0，y=0，t=0和t=1处奇异．     

奇型Dirac算子的谱

记B（x）=（0 1 -1 0 ）,Q（x）=（-p（x）0 0 -r（x））,y（x）=（y1（x） y2（x））其中p（x）,r（x）是[0,∞]上的实值连续函教．本文研究下述的奇型Dirac特征值问题：B（x）dy/dx＋Q（x）（y1 y2）=λy……（1） y1（0）sinα＋y2（0）cosα=0,y∈L^2（0,＋∞） ……（2）它等价于一个微分算子的特征值问题,本文由奇型Dirac算子的parseval公式出发,推导证明了parseval反演公式：     

一类四阶两点非线性奇异特征值常微分方程边值问题正解的存在性

考察边值问题y(4)=λ(fx,y) y(0)=y(1)=y″(0)=y″(1)=0的正解的存在性和多解性,其中λ>0,推广了[2]的结论.     

一类一阶微分方程的奇解

给出了一阶微分方程a(x)y'3-b(x)y'+c(y)=0有奇解存在的充分条件是2a23(x)b'(x)-c23(y)a'(x)=2a23(x)c'(y).推广了已有的结论,并在奇解存在的条件下,给出了这类方程的通解的表达式.并举例说明该结论.     

一阶常微分方程的奇解的存在定理的应用

一阶常微分方程a（y）y＇^3-xy＇＋b（y）=0有奇解的充分条件是2a（y）=a＇（y）b（y）＋2b＇（y）a（y）;若有奇解,则奇解为x=3·2-^2/3a1/3（y）b2/3（y）。     

一维p—laplacian方程组的正解存在性

考虑一维p—laplacian非线性边值问题：（φ（x’））＇＋f（t,x,y）=0,（φp（x）’）’＋g（t,x,y,）=0,其中φp（s）=｜s｜^p-2s,p〉1．通过应用krasnoselskii锥不动点定理,建立了该问题存在多个正解的充分条件,推广并丰富了以往文献的一些结论．     

一类Pythagoras问题的推广

设x,y,z是正整数.若x2+y2=z2,则称(x,y,z)是一组Pythagoras数.本文运用初等方法证明了:(1)恰有12组Pythagoras数(x,y,z)满足2p(x,y,z)=xy,其中p为奇素数;(2)恰有36组Pythagoras数(x,y,z)满足2pq(x+y+z)=xy,其中p,q均为奇素数,且p相似文献   

一类广义径向下降核的点态恒等逼近

Guzman在文[1]中研究广义齐性的奇异积分算子时引入了一个R~n上的非欧度量~(p(x)),并用它研究一类广义径向下降核的点态恒等逼近:本文定义了一种广义最小径向控制函数,并给出了这种点态恒等逼近的一个充分条件。     

关于Diophantine方程x~4-py~4=2z~2

设素数p≡1(mod8),(2/p)4≠1,证明了不定方程x4-py4=2z2无正整数解(x,y)．     

一类具功能反应的食饵-捕食系统的定性分析

研究一类具功能反应的食饵-捕食系统：x=xg（x）-yφ（x）,y=y（-d＋eφ（x））在g（x）=a-bxα2-cxα,φ（x）=kxα及23≤α〈1情形下,分析了该系统的平衡点性态,运用Dulac判别法和Poincare-Bendixson环域定理得出系统极限环不存在性及存在性的条件。