由递推公式求数列通项的一种方法——展开求和法

由递推公式求数列的通项,这个问题学生掌握起来是比较困难的。如何利用已经学过的知识,找出其间的规律,化难为易,是解决这种难题的关键。中学课本中等差数列和等比数列,其通项可以写成递推公式的形式。等差数列:a_n=a_(n-1)+d,(n>1);等比数列:a_n=a_(n-1)q,(n>1)。由这两个递推公式,反过来求其通项是很容易的。如果给出形如 a_(?)—a_n=a(a_n—a_(n-1)或形如 a_(n+1)—a_n=(a_n—a_(n-1)+b(其中 n≥1,a、b 是常数)的递推公式,那么如何求出已知数列的通项 a_n 呢?解决这种问题的方法分两个步骤:第一,把所给的递推公式先化成等差或等比数列     

逆用等差、等比数列的求和公式

有很多问题需要逆用等差、等比数列的求和公式来解决问题.(一)逆用等差数列的求和公式例1已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*) (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式;     

运用转化思想求递推数列的通项

求递推数列的通项,在近几年高考中凸显地位,这类试题的求解,多是运用转化思想,将所给递推数列转化为等差数列、等比数列或其他特殊数列,下面笔者就几种常见类型举几例高考试题,并对其解法进行探讨、总结.例1数列{a_n}中a_1=2,a_(a 1)=a_n cn(c是常数,n∈N~*),且a_1,a_2,a_3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a_n}的通项公式.     

混合数列通项的求法

本文把由一些基本数列,如各阶等差数列、等比数列、简单周期数列,调和数列,阶乘数列等经过变换复合而得到的数列称为混合数列。求混合数列的通项公式是中学数学的难点。下面介绍求混合数列通项的几种方法。一、变换为等差等比数列将给定的已知关系式进行变换,有的可化为等差、等比数列,如a_(n+1)=a_n+ka_(n+1)a_n,就可化为等差数列。如a_(n+1)=ma_n+k就可化为等比数列,再按这二数列的通项去求。     

数列求和常用的三种方法

数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;     

一阶线性递推数列通项公式的几种求法

已知数列{a_n}中,a_1=p,a_(n 1)=qa_n r,求通项公式a_n,其中p、q、r为常数,且q≠0,q≠1。 显然r=0时,a_(n 1)=qa_n,这时{a_n}为等比数列,易推得a_n=pq~(n-1);当r≠0,q=1,a_(n 1)=a_n r,{a_n}是等差数列,易推得a_n=a_1 (n-1)r。     

构造函数求解线性循环数列

如果数列{a_n}满足 a_n=c_1a_(n-1)+c_2a_(n-2)+…+C_ka_(n-k).(n≥k+1)(＊),其中c_k≠0,就称{a_n}是一个k阶线性循环数列。在高中数学课本中的等比数列与等差数列就是线性循环数列,因为公比为q的等比数列的定义式是a_n=qa_(n-1)(n=2,3,…).所以等比数列是一阶线性循环数列.因为等差数列的定义式是     

推陈出新 重视拓展——对一道调研试题的思考

<正>江苏省南通市2010～2011学年高三第一学期期中调研考试文科卷第19题值得一看,从中我们可以得到一些启发与思考,这道题目是这样的:已知数列{a_n}满足a_n+a_(n+1)=4n-3(n∈N~*).(1)若数列{a_n}是等差数列,求a_1的值;(2)当a_1=2时,求数列{a_n}前n项的和     

谈等差、等比数列课中的启发式教学

我在等差数列、等比数列的教学中引导学生对其性质想开去,使学生对这部分知识有了一个较全面而深刻的理解,收到了良好的效果。推广得到的,我们暂且把它们叫做定理。 新课引入,我们学了等差、等比数列,若有数列{a_n}满足a_n-a_(n-1)=d(n≥2)或a_n/a_(n-1)=g(n≥2),则其分别为等差或等比数列。这一节课,我们来研究一下与它们相关的性质。设问,等差数列{a_n}中若去掉前面部分项,摘去其中的一部分,a_s,a_(s 1),a_(s 2),…,a_n…组成的数列是否仍成等差数列?同学们异口同声地答,成     

递推数列中的不等变形

解决递推数列有关问题,我们经常要通过恒等变形,将递推式转化为熟知的,简单明了的式子,比如等差或等比数列等,从而顺利解决问题.本文通过几个范例来研究递推数列中的非恒等变形,即通过"不等变形",恰到好处地将递推恒等式化为"不等递推式",再进行类比,推理去论证所求结论.例1已知数列{a_n}中,a_1=1,a_n=a_(n-1)     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n 是其前 n 项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求证2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列.文[1]给出了如下的一个推广:定理1 已知数列{a_n}是公比不为±1的等比数列,S_n 是其前 n 项和,若 xa_m,ya_(m 2k),za_(m k)成等差数列(其中 x,y,z 成等差数列,且均不为0,m,k 均为正整数),则2yzS_k,z~2S_(2k),x~2(S_(4k)-S_(2k))成等比数列.     

谈数列的递推关系与线性数列

现行高中数学课本的等差数列、等比数列的通项公式 a_n=a_1+(n-1)d ① a_n=a_1q~(n-1) ②如果把①改写成 a_n=a_(n-1)+d(首项a_1=a)③把②改写成 a_n=a_(n-1)q(首项a_1=a) ④则③和④就是递推数列。一个数列{a_n},如果对于每一个自然数n,有一种规则将a_(n+1)同a_n联系起来,就     

关于等差数列的一个重要定理

教材中对等差数列的概念、通项公式 a_n=a_1 (n-1)d,前 n 项和的公式 s_n=n(a_1 a_n)/2中的五个基本量 a_1,d,n,a_n,S_n,只要求“知三求二”.但在竞赛题中有一大类较特殊的数列求前 n 项之和用以上知识不易解决.本文先给出关于等差数列的一个重要定理,并给出完整的证     

等比数列性质在解题中的应用

<正>等比数列是两种特殊数列之一,对等比数列有关性质的考查一直都是高考命题的热点。在高考中,经常以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本知识,主要考查等比数列的性质、基本量的计算,以及与等差数列的综合问题。解决等比数列有关问题的常见思想方法有如下几种:(1)方程思想。等比数列中有五个量a_1、n、q、a_n、S_n,一般可以"知三求二",通过列方程(组)求关键量a_1和q,问题迎刃而解。     

一类等比数列的讨论

现行高中教材《数学》第一册(上)第128页有一道数列例题:已知 S_n 是等比数列{a_n}的前 n 项和,S_9,S_9,S_9成等差数列.求证:a_2,a_8,a_5成等差数列.文[1]将其推广,得到定理1 设 S_n 是等比数列{a_n)的前 n 项和,其公比g≠1,k∈N,k≥2,则 s_k,S-(3k),S_(2k)成等差数列的充要条件为 a_(k-1),a_(3k-1),a_(2k-1),成等差数列.这里,从两个方面推广了该例题:其一,由特殊推向一般;其二,由必要性推到充要性.读完该文,似乎觉得尚有进一步讨论的余地.例     

由一道数列题延伸出的问题

<正>近日和学生复习数列时遇到这样一道题目:数列{a_n}满足a_1=2,a_(n+1)=a_n+3,求通项公式a_n。这其实是个很简单的问题,学生看到该题就能发现a_(n+1)-a_n=3,符合等差数列的定义,知道这是一个等差数列,公差是3,首项是2,从而得到通项公式a_n=3_n-1。完成该题后让学生探讨新的方法解决这道题目,展开讨论。     

差分等比数列的一个定理及其应用

本文给出一个差分等比数列有关的一个定理,并用来解决几类常见的由递推公式求通项公式的问题.最后对本刊1989年第11期《再述递推数列求通项》一文作点补充(以上简称为文_1). 定理如果由数列{a_n}的项构成的新数列{a_(n 1)-Ka_n}是公比为l的等比数列,则相应的数列{a_(n 1)-la_n}是公比为k的等比数列. 证明:数列{a_(n 1)-K     

记一堂数列是非辨析课

请同学们思考以下问题:问题1:设数列{a_n}是正数等差数列,数列{b_n}是正数等比数列,且a_1=b_1,a(2n 1)=b_(2n 1).试比较a_(n 1)与b_(n 1)的大小关系.学生S_1很快给出了如下解法:因为a_(n 1)>0,b_(n 1)>0,所以,a_(n 1)=(a_1 a(2n 1))/2≥(a_1a_(2n 1))~(1/2)=     

1999年全国高中数学联合竞赛

一、选择题(满分36分,每小题6分) 1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a_n},设b_1=a_1 a_2 a_3,b_2=a_4 a_5 a_6,…,b_n=a_(3n-2) a_(3n-1) a_(3n),…,则数列{b_n}( ). (A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列 (C)是公比为q~3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点.那么,满足不等式     

错位相减法在数列求和中的应用

<正>数列求和一直是高考考查的重点,求数列的前n项和的基本方法有:(1)公式法;(2)倒序相加(乘)法;(3)错位相减法;(4)裂项相消法;(5)分组求和法。本文主要对错位相减法求数列的前n项和进行探究。错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘组成,此时可把式子S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n两边同乘以公比q,得到qS_n=qa_1+qa_2