利用“和差代换”简证一类不等式

对于任意实数a与b,都有2aba = ,2ab-.22ababb -=-令,.22ababst -==则有ast= ,bst=-.这就是“和差代换”,本文利用“和差代换”给出几个难度较大的不等式的简捷证明. 例1 已知a、b是任意的正实数,求证: 11()12nnnnnaababbabn-- L. (湖南省中学生数学夏令营试题) 证明 当ab=时,显然等号成立.当ab时,则只须证: 11()(1)()2nnnababnab - -. 设,ast= bst=-,其中0.2abs =>故有 1111()()(1)()(1)2nnnnabststnabnt - --= - ?13225441111nnnnnnCsCstCstn-- = L 11().12nnnnCsabsn == 例2 对任意实数a、b,求证 223366.2222ababab…     

柯西不等式的应用技巧

定理:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是任意实数,则有:等号当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时成立。证明:(可用判别式,求差——配方法、比值法、数学归纳法、及利用不等式xy≤x2 y2/2等方法证明)。应用柯西不等式证题的关键是要善于构造两组数:     

浅谈构造条件解一类最值问题

最值问题中,有一类在给定条件下求最大值的问题,可用构造条件的方法求解。现介绍如下: 有关定理(柯西不等式): 对于任意实数a_i,b_i(i=1,2,…n),有:(a1b1+a2b2+…+a_nb_n)~2≤(a~21+a~22+…+a~2n)·(b~21+b~22+…+b~2n).其中,当且仅当a_i=kbi时取等号。 由柯西不等式,易得如下推论: 如果:(a~21+a~22+…+a~2n=S2(常数S>0) b~21+b~22+…+b~2n=t~2(常数t>0) 那么:a1b1+a2b2+…+a_nb_n≤S·t,当且仅当a_i/b_i=s/t(i=1,2,…,n)时,取等号,即a1b1+a2b2+…+a_nb_n有最大值s·t. 例1:已知:a2+b2+c2=1,求的最大值。 分析:为了利用推论,必须     

一道东南数学奥林匹克试题的进一步推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题)求最小的实数m,使不等式m(a~3 b~3 c~3)≥6(a~2 b~2 c~2) 1对于满足a b c=1的任意实数a,b,c恒成立.文[1]对此题作了以下推广1设a_i>0,i=1,2,…,n,n≥2,sum from i=1 to n a_i=1,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m sum from i=1 to n a_i~3≥A sum from i=1 to n a_i~2 B恒成立.     

二元代换法及其应用

对于两个任意的实数a与b,总有a=a+b/2+a-b/2,b=a+b/2-a-b/2成立,令a+b/2=s,a-b/2=t,则a=s+t,b=s-t,这种把两个毫无关联的量,分别表示成另两个量的和与差形式的方法,不妨称之为二元代换法。因为有a+b=2s,a-b=2t,ab=s~2-t~2,a~n+b~n=2(C_N~0s~n+C_n~2s~(n-2)t~2+C_n~4s~(n-4)t~4+…),故二元代换法既能改变式子结构,又能使加法、减法、乘法、乘方等运算得到简化,借助于此,解题可另辟新径。     

关于函数图象对称性的几个重要结论及应用

结论1设a、b为常数,则函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=a+b/2对称的充要条件是:对任意实数x,都有f(a+x)= g(b-x)．证明:(1)充分性:设点P(a+x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意     

例谈柯西不等式在解题中的应用

柯西不等式可以很好地考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力,因而成为高中数学各类考试中的热门考点.n 维柯西不等式的一般形式:对任意的实数a1,a2,…,an 及b1,b2,…,bn ,有((nΣi=1aibi)2≤(nΣi=1a2i)(nΣi=1b2i)),其中当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时(当bk ...     

巧借a+b≥2((ab)～(1/2))求最值

先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）^1/2.证明:a,b都大于0,所以(a^1/2-b^1/2)²≥0,所以a-2（ab）^1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）^1/2.当a=b时,a+b=2（ab）^1/2.     

一道竞赛题的改进与巧证

第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)     

对偶海伦平均、几何平均与幂平均的不等式(一)

对于任意的实数p,两正数a与b的幂平均定义如下:Mp(a,b)={(ap+bp/2)1/p p≠0(√ab)p=O.以下将证明:M2/3(m+2)(a,b)≤1/3Hm(a,b)+2/3G(a,b)≤Mlog2/long3(m+2)(a,b)其中当且仅当a=b时,等号成立,同时参数2/3(m+2),log2/long3(m+2)对于不等式是最优的临界值.给予两正数a与b,定义Hm=a+b+m(√ab)/m+2,G(a,b)=(√ab).     

一类条件不等式的背景

《数学教学通讯》2001年第10期刊发的一篇文章[1]中利用均值不等式巧妙地证明了一类条件不等式.本文借用这篇文章中的例子进一步探讨这类条件不等式的统一背景. 例 1 已知 a,b∈R~+,a+b=1,求证: (1)a2十b2≥1/2;(2)a3十b3≥1/4. 该例中的第(1)个不等式的背景是 2(a2十b2)≥(a十b)2,①不等式(1)只不过是当a+b=1时的特殊情形.显然不等式①对任意实数a和b都是成立的,因此对不等式(1)就没有必要限制a和b为正实数. 不等式①应该说是中学数学里常见的基本不等式之一,在此没有必要给出它的证明.不     

研究一道奥林匹克试题

2004西部数学奥林匹克试题第三题为:求所有的实数k,使得不等式a2+b2+c2+d2+1≥k(a+b+c+d)对任意a,b,c,d∈[-1,+∞)都成立。文[1]给出它的解为k=34,从而上题可改叙如下:定理1对于任意a,b,c,d∈[-1,+∞),有a3+b3+c3+d3+1≥34(a+b+c+d)。证明见文[1]。进一步研究,又可得到如下的几个定理:定理2设k为大于1的偶数,则当n≥(k-1)k-1时,对坌xi∈R(i=1,2…,n),有:ni=1移xik+1≥nk xi。证明考察函数f(x)=nxk+1-kx,则f'(x)=k(nxk-1-1),令f’(x)=0,由k为大于1的偶数,得x=1k-1姨n,即当xk-1姨1n时f(x)单调增,即fmin(x)=f(1k-1姨…     

柯西不等式与“希望杯”赛题(高一、高二、高三)

柯西不等式:对于任意实数ai,bi(i=1,2,…,n)有 (a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当ai=kbi(k为常数)时成立. 柯西不等式揭示了任意两组实数积之和的平方与平方和之积间的大小关系,应用十分广泛.下面以近十年来的“希望杯”试题为例,供同学们参考.     

例说柯西不等式的巧用

设a1,a2,a3,…,an;b1,b2,b3,…,bn是任意两组实数,则有((n∑i=1)aibi)2≤((n∑i=1)ai2)·((n∑i=1)bi2)当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时,取"="号,这就是柯西不等式.     

一个分式不等式的证明——兼擂题(86)解答

本刊2007年第4期解题擂台(86)提出如下分式型不等式命题:设a、b、c是正实数,且a b c=1,求证:1a 1b 1c≥1 2458abc(1)上述不等式(1)是成立的,笔者运用代换方法给出它的一个证明.证明因(1)式是对称的,故可设a≥b≥c,令a=12 k①得-61≤k≤21,b-c=t(t≥0),∵a b c=1,∴b=1-24k 2t②     

加拿大竞赛题的巧解妙证

一、巧设比值参量,妙借等比定理例1 (第一届加拿大数学竞赛试题)证明:如果a1/b1=a2/b2=a3/b3,且P,P2、P3不全为零,那么对于每个整数n(n>0),都有     

用平均值代换法证一不等式

题　设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明　设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2…     

数学奥林匹克问题

本期问题初149　已知二次函数f(x)=x2-2mx 1.是否存在实数x,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b、c,f(a)、f(b)、f(c)能构成一个三角形的三条边的边长?(王连笑　天津市实验中学,300074)初150　试求出所有的整数n,使得70n 200n2 1是整数.(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院,51     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

利用放缩消元法求多元最值

<正>在高中数学学习中,有学生遇到下面的两个有一定难度的最值问题.问题1已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求M=a+b+c /b-a的最小值.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,求c/a+b+b/c的最小值.不少同学在老师的帮助下,能够解决问题1.但后来遇到问题2时,却感到难以解决.