三角形内角和定理及其推论的功能与应用

我们知道,三角形内角和定理及其推论揭示了三角形三个内角之间的等量关系或外角与内角之间的等量关系和不等量关系．由此可知,三角形内角和定理及其推论有下面两个基本功富自：1．利用三角形内角和定理或其推论可求角的度数或求若干个角的和的度数或确定角的取值范围;2．利用三角形内角和定理或其推论可证明角之间的相等关系或不等关系．下面举例说明两个基本功能的应用．例及在thABC中,已知／A－／B＝／B－／C＝20．求／A、ZB和／C的度数．分析要求／A、／B和／C的度数,只要根据已知条件和三角形内角和定理列出关于ZA、ZB、ZC…     

化归思想应用举例

学习数学离不开数学公式，正确理解、灵活运用数学公式离不开化归的思想方法．下面以多边形内角和公式的应用为例，谈谈把非公式形式的数学问题化归为公式形式，从而解决有关的实际问题．例１在图１中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．分析这一图形是一个五角星形，其中五个角的和可化归为三角形的内角和．解设AB和CD相交于M，CD和AE相关于N，则∠AMN＝∠B＋∠C，∠ANM＝∠D＋∠E，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠AMN＋∠ANM＝１８０°．注这种化归为三角形内角和的方法也适用于图２．例２在图３中，求∠A＋∠B＋∠C…     

“一角”定“八角”

责任编辑王写之已知△ABC中，∠A＝７０°，如果要你画出图形，你一定会说可以画无数个，因为△ABC中仅知道∠A＝７０°，∠B或∠C的大小不固定，三角形的任何一条边长也不确定，因此三角形的大小形状都在改变．但这无数个变化的三角形中，有一些特定位置的角的值是固定不变的，它们的大小由∠A的度数决定，而与∠B、∠C的大小无关．举例说明如下：例１△ABC中，已知∠A＝７０°，H是角平分线BD、CE的交点．求∠BHC的度数．解：∠BHC＝１８０°－∠HBC－∠HCB＝１８０°－１２∠ABC－１２∠ACB＝９０°＋１８０°－∠ABC…     

证明三角形内角和定理的基本思路

要证明三角形三个内角的和等于18o,首先应联想,我们所学过的角中,哪些角等于18ry？一是平角等十1800,二是平行线的问旁内角的和等于18fr．由此可知,证明三角形内角和定理有两条基本思路：一、利用平角等于18ry来证就是通过作适当的辅助残,将＿三角形的三个内角迁移到一个平角的位置卜上,然后利＊平角等于18U来证．证法1如图1,延长BC到D,并过C作（：．AN,则／l＝／A,／2＝／B．／A（：＋／l＋／二一18ry,／A＋／B十上;4（：＝18产证法2如图人过A作DE”BC则／l＝。if］,／2＝IL．／BAC＋if＋／2＝18（,／h4（＋／B＋…     

巧变形,快求解

"三角形的内角和等于180°","三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和",掌握三角形外角及内角和公式是解决有关三角形问题的关键,而要快捷且正确地解答三角形中有关角的求解与证明,就必须熟练地进行有关变形.现举例如下.例1△ABC中,若∠A-2∠B+∠C=0°.则∠B的度数是().A.30°B.45°C.60°D.75°解在△ABC中,有∠A+∠B+∠C=180°,可适当变形为∠A+∠C=180°-∠B.而条件∠A-2∠B+∠C=0°,也可变形为∠A+∠C=2∠B,所以可知180°-∠B=2∠B,解此     

“三角形内角和”的应用(初二)

“三角形三个内角的和等于180°”,这是大家熟悉的一个定理.本文举七则中考题说明它的应用. 例1 △ABC中,∠A=∠B ∠C,则∠A=____度. 解因为∠A ∠B ∠C=180°,又∠A=∠B ∠C,所以∠A ∠A=180°,即∠A=90°.例2 如图1,∠1 ∠2     

数学竞赛中的凹四边形(初二、初三)

如图1,在凹四边形ABCD中,必有∠BDC=∠A+∠B+∠C. 此性质的证明有多种途径: 方法1 连结AD并延长,由三角形外角性质易证. 方法2 连结BC,由三角形内角和的定理易证. 方法3 延长CD(或BD)交AB(或AC)于E,利用三角形外角性质易证.     

谈谈数学中的一题多解

在中学的数学问题中,越来越多地出现了灵活应用所学知识一题多解的问题,这对提高同学们分析和解决问题能力,创新、拓展能力的培养,有一定帮助。以下列举几例供同学们参考。图1例1一个零件的形状如图1所示,按规定∠A应等于90°,∠B、∠D应分别是20°和30°。李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?方法1∵这个四边形的内角和为360°,要使零件合格,则∠A ∠B ∠C=140°,即另一个内角为220°·又∵220°的角与∠BCD成一个周角,即当∠BCD=140°时,零件合格。∴这时李叔叔量得∠BCD=142°就可断定零件不合格…     

一道习题浅探

习题如图1,求证:月一乙A+匕B十匕C. 证延长AD交BC于E,根据三角形内角和定理的推论,有口一匕AEC+乙C,艺AEC一乙A十艺B,…月一艺A+艺B十艺C. 这个结论能拓宽我们的解题思路,增强解题的灵活性.下面举几例说明.CE即B 例乙C一1如图2,匕B=450,乙A一300,25“,则乙AL兀〕的大小是 (第九届“希望杯”全国数学邀请赛培训试题) 艺ADC一艺A+ZB+/C~1 000.反上乏、图2图3 例2一个零件的形状如图3,按规定/A应等于900,乙B、乙C应分别是21。和320.检验工人量得匕BDC一1480,就断定这个零件不合格,这是为什么呢? (人教版初中《几何》第二册复…     

圆周角定理及其推论的应用

由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角（或弧）等于另一角（或弧）的２倍或一半，判断直径或直角三角形，求角或弧的度数． 例１ 如图 １，在Ｏ 中，若ＡＥ＝４０°，则∠Ｂ＋∠Ｄ＝ （２０００年湖北省荆门市中考题） 分析 由圆周角定理可知，∠Ｂ等于与的和的度数的一半，∠Ｄ等于与的和的度数的一半．因此，要确定∠Ｂ＋∠Ｄ的度数，只要确定的度数即可．由已知条件可知，上述四条弧的和的度数是３２°．所以∠Ｂ＋∠Ｄ＝１６０°　． 例２ 如图２，在Ｏ中，直径ＡＢ＝４，弦…     

(四)全等三角形测试卷(B)

一、填空题（每空5分，共40分）：1．若三角形三边长分别是4、9、2x＋1，则X的取值范围是_____．2．若三角形三内角的比是2。3：1，则这个三角形是_____三角形．3．如图1，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，BEAC，CDAB，垂足分别是E、D，BE、CD相交手F，则∠ABE=_____，∠BFC_____．4．如图2，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=＿．5．如图3，∠C=90，角平分线AD、BE相交手O，则ZAOE=___．6．在ABC中，若∠C=90°，∠A－∠B=30°，则∠A=____，∠B=___．二、单项选择题（每小题5分，共澳分）；1．在ABC中，a＝4k，b=3k，c=4，k为…     

三角形内角和定理及推论的应用

《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵　∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴　∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ　∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ…     

倍角三角形的几个性质

定义如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的二倍,那么,这样的三角形就称为倍角三角形。
　　倍角三角形有如下性质：
　　性质一如图1,△ABC的三边分别为 a,b,c,且∠B ＝2∠C,则b2＝ c2＋ac。     

借助辅助线求多边形内角和

一些较复杂的图形题，都是由简单图形演变而成的，只要能借助辅助线变形化简，解法就接踵（zhǒnɡ）而至了。例１设任意五边形ABCDE，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝？解：经过A点向C、D作对角线，把五边形ABCDE分成△ABC、△ACD、△ADE。因为每个三角形的内角和为１８００，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝１８００×３＝５４００。例２凸多边形ABCDE……N有n个边，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋……∠N＝（n－２）×１８００证明１：在多边形内任取一点O为顶点，向n边形各顶点引辅助线，把n边形分成n个三角形，其内角…     

二倍角三角形的一个性质及应用

二倍角三角形的一个性质及应用姜玉田（山东省郯城师范学校２７６１００）有一个内角等于另一个内角的二倍的三角形,称为二倍角三角形,本文介绍它的一个重要性质及其应用．定理设△ＡＢＣ的三内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ,若∠Ａ＝２∠Ｂ,则有ａ２＝ｂ...     

三角形内角和定理及其推论的应用

本文将三角形内角和定理及其三个推论在解题中的应用介绍如下,供同学们参考.一、要点归纳三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。推论1直角三角形的两个锐角互余.推论2三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论3三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.     

三角形外角性质的应用

我们知道,三角形的外角有这样的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,大于任何一个与它不相邻的内角．这个性质是研究三角形的重要基础知识,应用也非常广泛．现分类举例说明．一、计算角度例１如图１,Ｄ是△ＡＢＣ中ＣＢ的延长线上一点,ＤＯＡＢ于０,Ｃ＝４０°,Ｄ＝３０°,求１和Ａ．解１＝９０°＋Ｄ＝９０°＋３０°＝１２０°,Ａ＝１８０°－１２０°－４０°＝２０°．例２如图２,△ＡＢＣ中,ＢＤ平分ＡＢＣ,１＝３,４＝５,求５的度数．解设１＝３＝ｘ,则２＝ｘ,５＝４＝１＋３＝２ｘ．在△ＢＣＤ中,…     

三角形内角和定理的证明思路

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于１８０°．它是揭示三角形三个内角关系的一个基本定理．本文试对该定理的证明思路作分析，供同学们参考．要证明三个内角之和等于１８０°，需进行这样的联想：什么角才是１８０°？具有何种关系的角的和等于１８０°？回答这两个问题并不困难，平角是１８０°，两平行直线被第三条直线所截，同旁内角之和等于１８０°．这样，就可以按照将三角形三内角转化成一个平角或两个同旁内角的和的思路去证明定理了．证法１过△ＡＢＣ的顶点Ａ作ＤＥ／／ＢＣ（图１），则∠１＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ所以∠Ｂ＋∠…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图…     

用三角形内角和定理求多角和

运用三角形内角和定理及其推论,可以求一类特殊图形中的多角和.如图1中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E,图2中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和等.求这类图形中几个角的和可采用如下三种方法.