构造线段垂直平分线证题

垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线,它具有如下重要性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等．求解某些几何证明问题,从构造线段垂直平分线人手,然后利用其性质,可简化思维过程,收到事半功倍的效果．例１如图１,Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上两点,ＡＢ＝ＡＣ,ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＡＤ＝ＡＥ．证明过Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ．∵ＡＢ＝ＡＣ,∴ＢＦ＝ＣＦ．∵ＢＤ＝ＣＥ,∴ＤＦ＝ＥＦ．∴ＡＦ是ＤＥ的垂直平分线．∴ＡＤ＝ＡＥ．例２如图２,Ｅ为△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线ＡＤ上一点,ＡＢ＞ＡＣ．求证：ＡＢ…     

2002年IMO中国国家集训队选拔考试

一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.①　　再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.②　　比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ…     

证明几何题的几种基本方法

1　分析法分析法就是从题目的结论出发 ,逐步找出使结论成立的原因 ,直到找出所用的原因恰好是题目的已知条件或所学过的定理 ,再按分析的思路从后往前把证题过程写出来 .图 1例 1　如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ ,⊙Ｏ过点Ａ且与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ、ＡＣ分别相交于Ｅ、Ｆ ,ＡＤ与ＥＦ相交于Ｇ .求证 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ .( 2 0 0 1 ,河南省中考题 )证题思路 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ ＡＦＤＣ=ＧＦＦＣ △ＤＣＦ∽ＡＦＧ(连结ＤＦ) ∠ＣＤＦ =∠ＦＡＤ∠Ｃ =∠ＡＦＧ ＥＦ∥ＢＣ ∠ＥＦＤ =∠ＣＤＦ ∠ＥＦＤ =…     

一道几何命题的证明与变式训练

圆与圆的位置关系这一单元 ,两圆相交和相切是重点 在这一单元中有几道证明两线平行的题目 ,通过这几道题目的变式训练 ,可以把两圆相交和相切中辅助线的作法 ,证明命题的方法让学生掌握清楚 已知 :如图 1,⊙Ｏ1 与⊙Ｏ2 相交与Ａ ,Ｂ两点 ,分别过Ａ ,Ｂ两点作直线交⊙Ｏ1 于Ｃ ,Ｅ两点 ,交⊙Ｏ2 于Ｄ ,Ｆ两点 .求证 :ＣＥ ∥ＤＦ .图 1　　　　　　　　图 2证明　连结ＡＢ ,因为四边形ＡＢＥＣ内接于⊙Ｏ1 ,所以∠ＡＢＦ =∠Ｃ (圆内接四边形的性质 ) 因为四边形ＡＢＦＤ内接于⊙Ｏ2 ,所以∠ＡＢＦ +∠Ｄ =180° (圆内接四边形的性质 ) …     

一道几何例题的简短证明

《中学数学教学参考》1 999年第 1 2期第 1 8页之例 3,是一道几何证明题范例 ,但原文是利用很复杂的三角恒等式来解决的 .下面给出该例题之简短几何证明 ,供读者参考 .原题　已知ＡＢＣＤ是正方形(图 1 ) ,在ＢＣ边上任取一点Ｅ ,又ＡＦ平分∠ＤＡＥ交ＣＤ于Ｆ .求证 :ＡＥ =ＢＥ ＤＦ .几何证法 :以Ａ为轴心 ,将△ＡＤＦ旋转 90°到△ＡＢＧ的位置(图 2 ) .显然 ,Ｇ点在ＣＢ的延长线上 .设∠ＤＡＦ =α ,则∠ＤＦＡ =90° -α ,且∠ＦＡＥ=α .但∠ＦＡＧ =90°,故∠ＥＡＧ=90° -α .而∠ＢＧＡ =∠ＤＦＡ ,因此∠ＢＧＡ =∠ＥＡＧ ,所以…     

圆内还有两个重要的结论

在初中数学中有关圆的定理和性质很多 ,作为一线的教师都会发现还有一类问题的解决要费一番周折 ,本人发现解决此类问题可以用一个结论 ,这样基础不好的同学也会很好的得到正确的答案 .下面列举的就是该结论及相关的运用 .图 1　　　　　　　图 2如图 1,在圆Ｏ内 ,Ａ ,Ｂ ,Ｃ是圆上的三点 ,连接ＡＢ并延长 ,Ｄ是延长线上的一点 ,则有结论是 :∠Ａ+∠Ｃ =∠ＡＢＣ或∠Ａ +∠Ｃ +∠ＣＢＤ =180° ,∠ＡＯＣ =2∠ＣＢＤ .如图 2 ,在圆上找一点Ｅ使与Ｂ在线段ＡＣ的异侧证明　因为∠ＡＥＣ =∠ＣＢＤ ,∠ＡＯＣ =2∠ＡＥＣ ,所以∠ＡＯＣ =2∠Ｃ…     

公切线解决相切两圆问题的桥梁

我们知道 ,两圆相内切或外切时 ,只有一个公共点 .这时 ,如果过切点作出两圆的公切线 ,构造弦切角 ,从而架设两圆之间的桥梁 ,往往会使问题得到解决 .一、证明两角互补例 1　已知 :两圆外切于点Ｐ ,一条割线分别交两圆于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ .求证 :∠ＡＰＤ +∠ＢＰＣ=1 80°.分析　如图 1 ,要证明结论成立 ,只需证∠ＢＰＣ =∠Ａ +∠Ｄ .这时想到过点Ｐ作两圆的公切线交ＡＤ于点Ｅ ,构造出两个弦切角 :∠ＥＰＢ和∠ＥＰＣ .从而只需证∠ＥＰＢ =∠Ａ,∠ＥＰＣ =∠Ｄ .这由弦切角定理可得 .图 1　　　　　　　　　图 2二、证明两角相等例 2　如…     

圆幂定理在几何证题中的应用

下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1　如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析　由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明　如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵　∠ 3=∠ 4 ,∴　∠ 1 =∠ 2 .∵　∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴　△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ…     

圆中同一条直线上线段成比例问题

圆中同一条直线上的四条线段成比例问题是常见的题型之一 ,解题思路是通过转化 ,运用相似形或圆中有关定理加以解决 .1　利用相似形例 1　如图 1 ,圆内两弦ＡＢ与ＡＣ的夹角为60°,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ的中点 ,ＥＦ分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｇ、Ｈ ,求证 :ＧＨ2 =ＧＥ·ＨＦ .分析　将乘积转化为比例式 ＧＥＧＨ =ＧＨＨＦ,则只须证△ＡＧＥ∽△ＦＨＡ和△ＡＧＨ为正三角形即可 .证明　因为∠ＢＡＣ =60°,所以ＢＣ =1 2 0°,ＢＡＣ=2 4 0°.又Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ和ＡＣ中点 .所以∠ 2 =∠ 4 ,∠ 1 =∠Ｆ .∠ 3=∠ 1 ∠ 2 ,∠ＡＨＧ =∠ 4 ∠Ｆ …     

三角形有关概念中考题选登

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2　　 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ…     

"a2=bc"型几何题的证明方法

几何“ａ2 =ｂｃ”型的命题 ,综合性强 ,证法灵活 ,是训练初中学生思维能力的重要题型 ,也一直是中考的“热点” .本文举例说明此类题型常用的证明方法利用共边相似三角形证明　　　　　图 1例 1　如图 1,已知⊙Ｏ与⊙Ａ相交于Ｂ、Ｃ两点 ,经过点Ａ ,过Ａ作⊙Ｏ的弦ＡＦ交⊙Ａ于Ｅ ,交ＢＣ于Ｄ .求证 :ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .证明　连结ＢＦ ,ＡＣ ,∵ＡＢ =ＡＣ ,∴∠ＡＢＣ =∠ＡＦＢ .又∵∠ＢＡＤ =∠ＦＡＢ ,∴△ＡＢＤ∽△ＡＦＢ ,有　　 ＡＢＡＦ =ＡＤＡＢ,故　　ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .2　利用等高相似三角形证明　　　　　图 2例 2　　…     

二十一点共圆

本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理　不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 :　如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外…     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

对一个平面几何问题的思考

问题 (不妨称为命题 1 ) :在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ >ＡＣ ,ＡＤ为∠Ａ的平分线… (1 ) ,点Ｅ在△ＡＢＣ内部 ,且ＥＣ⊥ＡＤ交ＡＢ于Ｆ… (2 ) ,ＥＤ∥ＡＣ… (3 ) .求证 :射线ＡＥ平分ＢＣ边… (4 ) .这是《数学教学》2 0 0 1年第 4～ 5期“数学问题与解答”栏的问题 5 3 6,条件中的标号为笔者所加 .原作者使用梅尼劳斯定理及角平分线性质给出了一种证法 ,其证明较繁 .这里首先讨论其证明 ,然后对命题本身谈几点看法 ,供有兴趣的读者参考 .1　问题的证明首先提供一种能使一般初中学生容易接受的纯正的初等方法 .证法 1 :如图 1 ,延长ＤＥ交ＡＢ…     

2002年全国高中数学联赛加试几何题的几种解法

题目　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ ＮＨＯＨ 的值 .由ＢＭ =ＣＮ及线段的差分关系 ,得ＭＨ ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ .因此 ,本题等价于在已知条件下 ,求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面给出几种解法 ,供参考 .解法 1 .如图 2 ,在ＡＢ上截取ＡＤ =ＡＣ ,则△ＡＤＣ为等边三角形 .从而∠ＢＤＣ =1 2 0°.∵Ａ、Ｆ、Ｈ、Ｅ四点共圆 .∴∠ＢＨＣ =1 80° -∠Ａ =1 2 0°由外心张角公式 ,得∠ＢＯＣ=2∠Ａ =1 2 0°∴∠ＢＤＣ =∠…     

巧添辅助线构造轴对称图形

同学们在学习几何时,若能借助某些直线、射线(如角平分线、垂线)为对称轴构造对称图形,便会给解题带来极大方便,下面介绍这类几何题的思路及方法。一、以角平分线为对称轴构造图形图1例1已知,如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证:CE=21BD.分析:因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CE=21CF,再证明BD=CF即可。证明:延长CE和BA交于点F∵∠1=∠2BE=BE∠BEC=∠BEF∴△BEC≌△BEF∴CE=EF=21CF∴∠1+∠F=∠3+∠F=90°∴∠1=∠3又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF∴△ABD…     

角平分线的巧用

平分线除了课本介绍的性质外,还有如下两条性质: 性质1:角平分线 平行线(?)等腰三角形. 如图1,P是∠AOB的平分线OC上一点,PE∥OB,交OA于E,求证:EO=EP. 证明:∵OC平分∠AOB. ∴∠1=∠2. 又∵PE∥OB,∴∠2=∠3.     

一题多解 发展思维──从一道几何证明题谈起

一题多解对发展学生的思维能力,培养学生应用归纳、演绎和类比的方法进行推理,形成良好的思维品质具有积极作用。下面仅以一道几何题的证明为例,说明之。 例：如图,△ＡＢＣ是 Ｏ的内接三角形,ＡＤ是 Ｏ的直径,ＣＥ⊥ＡＤ于Ｅ,ＣＥ的延长线交ＡＢ于Ｆ。 求证：ＡＣ２＝ＡＦ·ＡＢ ｏ 证法一（分析）：所证等积式的三条线段分属两个三角形,只需证明△ＡＣＦ∽△ＡＢＣ即可。∠Ａ＝∠Ａ,根据同弧所对的圆周角相等,∠Ｂ＝∠Ｄ,根据直径所对的圆周角是直角,知△ＡＤＣ为直角三角形。又因为ＣＥ⊥ＡＤ,可推出∠ＡＣＦ＝∠Ｄ＝∠Ｂ,…     

构造等腰三角形解题

等腰三角形是特殊的三角形 ,在解 (证 )题时 ,若能根据已知和图形特点 ,巧妙地构造等腰三角形 ,利用等腰三角形的性质来解决问题 ,将会取得事半功倍的效果 .　　一、由“线段的和差”构造等腰三角形例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＡＢ +ＢＤ =ＡＣ .求∠Ｂ∶∠Ｃ的值 .　解　延长ＡＢ至Ｅ ,使ＢＥ =ＢＤ ,连结ＤＥ ,则△ＢＥＤ是等腰三角形 .∴　ＡＣ =ＡＢ +ＢＤ =ＡＢ +ＢＥ =ＡＥ .∴　△ＡＤＥ≌△ＡＤＣ .∴　∠Ｅ =∠Ｃ .∵　∠ＡＢＣ =2∠Ｅ ,∴　∠ＡＢＣ =2∠Ｃ ,即∠ＡＢＣ∶∠Ｃ =2∶1 .图 1图 2　　二、由“二…