二次曲线定垂轴弦的一个性质

我们把垂直于二次曲线对称轴的弦称为它的垂轴弦.二次曲线的垂轴弦有许多性质,以下分椭圆或双曲线、圆、抛物线几种情形给出它们的垂轴弦的一个性质.     

双曲线函数的几种定义方法

通常，我们依次称为双曲线正弦函数，双曲线余弦函数与双曲线正切函数。为方便计，以下只讨论双曲线正弦函数与双曲线余弦函数，其图象分别为它们都是（－m，＋①）上的连续函数，而且具有如下的基本性质：将双曲线正弦函数Y一上上了一两边同乘以Ze”得到同为。‘“＞0，故应取e”－y＋／尸十1按习惯，调换上式中的X与周身：c’。x＋／X‘＋l由此即得称为反双曲正弦函数，记作类似可得反双曲余弦函数为了进一步了解双曲线函敌的意义和性质，我们另外给出双曲线的数的几种定义方法：l、用双曲线扇形度定义双曲线函数考虑等轴双曲线在此双曲…     

双曲线的参数方程

数学教材中的懈析几何部分．对圆锥曲线中的圆、椭圆的参数方程都做了详尽的论述，而对于双曲线的参数方程．由于参数不好选择．只给出了表达式．现以焦点在x轴，半实轴为a，半虚轴为b的双曲线为例．对其参数方程推导如下：     

再谈等轴双曲线的典型性质

文[1]给出并证明了具有高度对称美的等轴双曲线所独有的五个典型性质.经过本人的进一步研究,发现等轴双曲线还有另外几个典型性质.下面一一列出,并加以证明.性质一等轴双凸线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直.证明:如图1,设等轴双曲线 x~2-y~2=a~2     

等轴双曲线的若干有趣性质

等轴双曲线是特殊的双曲线,它除了具备一般双曲线的所有性质外,还具有一些特殊的性质,本文给出笔者探寻的等轴双曲线的一些特性,以飨读者.     

椭圆与双曲线的对偶性质及应用

在高中数学的知识结构中,椭圆与双曲 线都属于圆锥曲线,它们在性质上有许多统 一性与相似性.它们具有一种对偶性质,通过 类比两者的性质、特征,使问题解决方向明确 下来,进而使问题解决简单化.对它们的深入 研究可以培养学生的类比能力. 1 对偶性质的发现 类型 椭圆 双曲线比较项 定义 | MF1 | | MF2 |= 2a | MF1 | ? | MF2 |= 2a 方程 x2 y2=1 x2 ? y2=1 a2 b2 a2 b2 轴 长轴2a,短轴2b 实轴2a,…     

谈双曲线的渐近线

双曲线的渐近线反映了双曲线的大致走向。我们知道，焦点在X轴上的双曲线一般方程是：，它的渐近线是在双曲线的标准方程中，变形得：我们要问：和双曲线具有共同渐近线的双曲线都有哪些呢？因为具有共同渐近线的双曲线走向相同，所以我们有必要探讨这个问题、我们有如下结论：定理：与双曲线具有共同渐近线的双曲线具有λ（λ≠0）的形式。反之亦然。（证明从略）可见，是一族双曲线，当λ＞0时，它们的焦点在x轴上；当λ＜0时，它们的焦点在y轴上，若λ＝0，则就是渐近线。λ＝0这点可以看作突变点，也就是现代数学中所谓的分支点，在分…     

圆的几个性质在圆锥曲线的推广

圆有如下几个重要性质:P是圆上任一点,O是圆心,AB是直径,l是过P的切线,则(1)kOP·k1=-1;(2)kPA·kPB=-1; (3)kOP·Kl=kPA·kPB．若将它们推广到椭圆和双曲线来研究,则可得到如下几个十分有趣的性质．     

椭圆双曲线涉及两垂直半径的一组性质

设A为椭圆或双曲线上的任意一点，则称线段OA（0为中心）为椭圆或双曲线的半径．本文给出涉及椭圆、双曲线两垂直半径的一组性质，这些性质中的一个为定值结论，其余均为不等式结论．对于这些性质的证明，虽每一个都可独立进行，但下面我们将采取用前面的性质证明后续性质的方法，以显示它们之间的联系，并能简化证明过程．     

椭圆、双曲线外切矩形的一个性质

文[1]介绍了椭圆与双曲线准圆的概念及其准圆与准线的一种关联．笔者在研究椭圆与双曲线外切矩形时,得到了一个和准圆相关的性质,阐述如下。     

等轴双曲线的一个性质的推广

等轴双曲线有很多性质,与等轴双曲线相关的命题也是多种多样。在文中就等轴双曲线的一个性质及其推论的证明进行介绍。以期对等轴双曲线有一个更加深刻的认识。     

开拓思维 高效解题——一道解析几何问题的多种解法

<正>焦点三角形是指以椭圆(或双曲线)的焦距F1F2为底边,顶点P在椭圆(或双曲线)上的三角形.熟练掌握焦点三角形的性质,对培养创新能力和解题能力具有重要意义.例题双曲线x29-y216=1的焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为.分析设P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.解法1(辅助圆法)构造以焦点F1、F2为直径的辅助圆.由圆的知识可知,若点P在圆上,则F1PF2是直角三角形;若点P在圆内,则F1PF2是钝角三角形;若点P在圆外,则F1PF2是锐角三角形.     

“优双曲线”性质的探究

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(上)讲述了一般双曲线的性质,本文针对特殊的双曲线做进一步的探讨和研究.为行文方便,我们规定:离心率e=(5~(1/2)+1)/2的双曲线为优等双曲线,简称优双曲线.通过探究可以得出优双曲线的以下性质.性质1 双曲线是优双曲线的充要条件是以双曲线的实轴的一个端点及离它较远的焦点为直径的圆过双曲线的虚轴的端点.如图1所示,双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1的左顶点为 A,右焦点为 F,B 是虚轴的一个端点.     

圆锥曲线中的四类弦

1．原点弦与对称性 圆锥曲线都是轴对称图形,特别地,圆、椭圆和双曲线又是中心对称图形．当它们的中心在原点时,若其对应弦也过原点,则弦关于原点成中心对称．     

巧用圆锥曲线定义解题例说

解析 显然，与两圆都外切的动圆的圆心的轨迹，满足动圆的圆心到两个定圆的圆心的距离的差的绝对值是常数(即|r1-r2|)．因此动圆心的轨迹一定是双曲线．又两定圆外离，故动圆心的轨迹是双曲线的一支。     

学好椭圆与双曲线的基础知识——抓好两个典型图形

学习椭圆与双曲线的基础知识,有三个要点：定义、标准方程及其图象、性质．对于定义,有第一定义（注意条件）与第二定义两种,一定要深刻理解并牢牢记住．对于图象,也有两类（焦点分别在x轴、y轴上）,能根据方程准确画出它们的图象,椭圆的性质,即顶点坐标、对称轴（长轴与短轴）、焦点坐标与焦距、准线方程及离心率;双曲线的性质,即顶点坐标、对称轴（实轴与虚轴）、焦点坐标与焦距、离心率、准线方程、渐近线方程．     

两视角研究利用圆的性质解决双曲线问题

<正>我们知道,利用仿射变换可以将椭圆变换为圆,采用圆的性质解决椭圆问题,但是极少见到将双曲线仿射变换为圆的研究.一般来说,椭圆所具备的性质双曲线也具备.笔者经过思考,从两个视角谈一下将双曲线仿射变换为圆,利用圆的性质解决双曲线问题.想法不尽成熟,以期抛砖引玉,请同仁辅正.1双曲线化圆的两个视角视角一类比椭圆化圆将双曲线化圆     

巧用三角形剖析双曲线的几何性质

<正>双曲线几何性质的内容繁而杂,学习后,从领会性质及应用性质两方面都存在一定的困难,这里我借助一个三角形对双曲线的几何性质进行剖析.1三角形的构建及其三边的几何意义双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的图象如图1所示,过实轴的     

与双曲线渐近线关联的一组有趣性质

<正>双曲线的渐近线作为和双曲线位置关系最为特殊的直线，有着它自身所独有的一些典型性质．本文以双曲线C:■(a>0,b>0)为例，介绍并推导一组与渐近线有关的有趣性质，其中有的性质甚是优美，我们既可以从解题的角度分析、运用它们，也可以从数学美的角度去欣赏它们．     

高中课程标准实验教科书选修1—1、2—1《数学》（苏教版）“圆锥曲线”教学问答

问 圆锥曲线一章为什么先讲圆锥截线，再分别研究椭圆、双曲线和抛物线的方程？ 答 对解析几何的每一部分（如直线、圆），我们都是按“曲线概念-曲线方程-用方程研究曲线性质”的方式展开的．这样做既体现了解析法研究问题的基本程序（几何特征-建立方程-研究性质），更可以让学生能够从整体上对圆锥曲线的内在联系得到充分的认识．首先，它们都是由平面截圆锥而得到；其次，在分别研究了它们的性质后，又可以得到他们的统一定义；[第一段]