台体体积的另证及其应用价值

补割思想是解决立体几何问题的常用方法和技巧.教材通过把台体“补”成锥体,利用锥体的体积公式成功地导出台体的体积公式.下文通过将三棱台“割”为三棱锥,对台体体积的导出作些探索,并展示这种探索所带来的应用价值.题目:三棱台 ABC-A_1B_1C_1的上底面A_1B_1C_1面积为 S~1,下底面 ABC 的面积为 S,高     

割补法求解几何体体积示例

在立体几何中,三棱锥体积公式:V_(三棱锥）=1/3Sh。公式的证明是采用以三棱锥的底面为     

用等积法和割补法求多面体的体积

一、用等积法求三棱锥的体积我们总能够把多面体切割成若干个三棱锥,因此,求多面体的体积可以通过切割转化为求三棱锥的体积.可以认为,三棱锥是多面体的最小单元,求三棱锥的体积是求多面体体积的基础.求三棱锥的体积自然要使用三棱锥的体积公式V_锥=1/3Sh,其中 S 为三棱锥某一底面的面积,h 为该底面上的高.在我们所研究的问题中,往往不直接具备这样一组条件。而是需要经过转化才能代入公式求体     

巧变换 妙求积

在几何体的求积问题中,如果能恰当地做些分割、补形及等积变换,往往能化难为易,简化运算.下面来看两例. 例1 已知正三棱台上、下底面的面积分别为S1和S(S1相似文献   

“锥体的体积”说课提纲

一、教学目的“锥体的体积”是《立体几何》(全一册 )“多面体体积”这一节中非常重要的内容 ,它起着承上启下的作用 ,既是上节“柱体体积公式”的应用 ,也为下一节讲“棱台、圆台的体积”做了准备 .特别是推证公式时所用的割补法思想为今后计算较复杂的几何体的体积奠定了基础 .因此我认为 ,通过这节课的教学 ,应使学生理解三棱锥体积公式的推导 ,掌握三棱锥体积公式并能运用公式进行计算或论证 ,培养学生动手、动脑、发现问题、分析问题、解决问题的能力 ,同时渗透转化、类比等数学思想方法 .二、教学内容这节课的教学内容是课本中的三个…     

数学公式变形要讲究“三有”

数学公式教学是中学数学教学的重要组成部分．为了深刻理解公式的内在本质,就要进行适当的变形．公式变形是公式教学不可缺少的内容,在教学中要讲究“三有”．１．变之有用公式变形的目的最终应体现在其实用的价值．一个公式的等价变形往往有多种,教学中教师应择其有用的变形,以提高应用公式的效能．例如应用棱台体积公式Ｖ台＝１３ｈ（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ１Ｓ２）解决问题：正三棱台ＡＢＣＡ１Ｂ１Ｃ１的上、下底边长之比为２∶３,连结Ａ１Ｂ、ＢＣ１及ＡＣ１把正三棱台分成三个棱锥,则这三个三棱锥的体积之比（由小到大）是多少？如果…     

拟柱体体积公的又一推证

所有的立体几何教材和参考书都用单一的方法去推证拟柱体体积公式 V_拟=1/6h(S_上 S_下 4S_中)这种推证方法不易为学生理解和掌握,笔者这里给出一种新方法,不需借助几何直观,便可简捷地推证出拟柱体体积公式,供同学们参考。根据拟柱体的定义,任一拟柱体都可看作是过某棱台的若干顶点截去m(m≥0)个倒立小棱锥与n(n≥0)个正立小棱锥后下余的凸多面体。当m=n=0时,就是原棱台,即棱台是特殊的拟柱体。设原棱台的高为h,上底面、下底面、中截面面积分别为S_1、S_2、S_0;拟柱体的上底面、下底面、中     

应用等积公式求三棱锥的体积

要求三棱锥的体积,关键在于底面上高的寻求,这是学生的一大难点。为了解决这个难点,扩大学生的知识视野,我们可以采用下述等积公式来简化求高运算,从而算出三棱锥的体积。一、等积公式的证明: 如图,在三棱锥 P-ABC中,过B作 BP’     

三棱锥等积性的灵活应用

我们知道,三棱锥的体积等于它的底面积S与其高h乘积的三分之一.对于同一三棱锥,当以不同的侧面为底时,高h随之发生变化,但体积不变,对于不同的三棱锥,若它们的底面积和高均相等时,体积也相等.我们称之为三棱锥的等积性.在学习中,同学们可以借助三棱锥的等积性,灵活解决一些用常规方法不易解决的问题.一、求三梭锥的体积例1:在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,各条棱长都等于2,各侧棱与底面成60°的角,求三棱锥B1-ABC1的体积.第一步:转换图形VB1-ABC1=VC1-ABB1VC1-ABB1=VC-ABB1VB1-ABB1=VB1-ABC∴VB1-ABC1=VB1-ABC第二步:计算体积…     

三棱锥体积公式的变形及应用

三棱锥底面与侧面的形状都是三角形,因此又叫四面体,可以将任何一个面叫做底面。众所周知,其体积计算法由下述定理表达: 定理:四面体的体积V等于底面积S与高h之积的三分之一,即V=1/3S×h ①若将公式①适当变形,有时用起来更方便,且能由此解决一些公式①很难直接回答的问题。如图一,我们将四面体的四个面及其对应的面积分别用同一字母S_i(i=1,2,3,4)表示,     

正棱台体积和侧面积公式及应用

本文给出了正棱台体积和侧面积公式,并介绍了它的应用。 定理1 如果正n棱台上下底面边长分别为a_1、a_2,下底面与侧面的夹角为θ,那么它的体积是V_(正梭台)=n/24(a_2~3-a_1~3)cot~厂π/ntanθ(a_1相似文献   

台体中截面面积公式推广

高中《立体几何》第 64页例 2“设棱台的两底面 积分别为 S1, S2,它的中截面积是 S0.求证 2 ”中给出了台体中截面面积公式,但用它求平行于台体底面任意截面的面积就比较困难了 .为了便于解决这类问题,本人对台体中截面面积公式作如下推广 . 如图 (1),若台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行,把侧棱 (母线或高 )自上而下分为 m∶ n的两段的截面面积为 S0,则 . 证明：∵ = 即 ∴ 若再令,则上述结论可变为 .于是有以下定理 . 定理 1台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行的平面,…     

三棱锥顶点的射影与三角形的“五心”

本文仅讨论特殊的三棱锥(即四面体)顶点的射影位置与底面三角形的“五心”的位置关系。 命题1 在三棱锥中,若三条侧棱的长相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 证明(略)。 由此还可得推论. 推论:在三棱锥中,若侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 例1 有—三棱锥的高是h,侧棱与底面所成的角都是φ,底面是两个角分别为α和β的三角形,求它的体积(α、β都为锐角).     

一道竞赛选择题的反例及联想

1997年江苏省高中数学竞赛试题第一(5)题是一道判断四个命题真伪的选择题,由于构造不出满足条件的四个反例,导致选择失误 。 为便于解答,现将原题抄录于下: 下列四个命题: 命题1 底面是正多边形其余各面都是等腰三角形的棱锥是正三棱锥。 命题2 底面是正三角形相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 命题3 有两个面互相平行,其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台。     

锥体平行于底面截面性质的运用

锥体被平行于底面的平面所截得的小锥体与原锥体相似,对应的线段比等于相似比,对应的面积比等于相似比的平方,对应的体积比等于相似比的立方.灵活地运用这一个性质,以及等比定理,将使问题的解决,得到大大简化.例1 棱台上下底面对应边长之比为1:4,过高的三等分点分别作平行于底面的截面,把棱台分成三部分,求这三部分的体积比.     

2000年高考数学模拟试卷(二)

参考公式:三角函数的和差化积公式甥哪甲￡‘n S台佣 其中或母线长二合(一 。),。’、。分别表示上、下底面周长,t表示斜高一一2一一2二2a一a一a一51。 51明=25认si。一si明二Zcos__._.___D_,___q兰卫__,‘~,L呷一‘一2~台体的体积公式、,二合‘s’ 厕 s)、~一coyt=一2sta甲sin宁正棱台、圆台的侧面积公式 其中S’、S分别表示上、下底面积,h表示高 一、选择题:本大题共14小题;第1一ro题每小题4分,第11一14题每小题5分.共印分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.—橄橄斌.— 1.设A、B是两个非空集合,存在元素a任A且a桩B…     

一道很有教学价值的几何命题

命题　直三棱柱ＡＢＣ -Ａ1Ｂ1Ｃ1被一个平面所截 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3,若△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,则介于截面与下底面之间的几何体体积为 :Ｖ =13 Ｓ(ｈ1+ｈ2 +ｈ3) ( )1　思路探索从几何图形观察 :当ｈ1、ｈ2 、ｈ3不全相等时 ,截面图 1下面是个不规则的多面体 ,如何求其体积 ?通常采用割补法 ,将其变为规则几何体(如柱、锥、台 ) ,再运用公式。从所证式子观察 :式子右端可拆成三项之和 ,而这三项均为以三棱柱底为底 ,ｈ1、ｈ2 、ｈ3为高的三棱锥体积 ,由此猜想 ,将几何体分割成三个三棱锥 ,故知可连…     

直角三棱锥的一个存在条件--从一道模考错题谈起

某省2004年九所重点中学高三联考第15题: 三棱锥三条侧棱两两垂直,三个侧面与底面所成角分别是30°,45,60°,底面积是√6,则三棱锥体积是____.     

推导棱台体积公式的一种方法

立几教材中推导棱台体积公式的方法是用补形法求两个棱锥体积之差，其实也可用分割法求出棱台的体积，先看三棱台的体积。     

棱台平行于底面的截面的性质

棱台平行于底面的截面的性质西安市第六中学周益平设棱台的上、下底面面积分别是Ｓ、Ｓ；平行于底面的截面面积是Ｓ０，它分棱台侧面成上、下两部分的面积分别是Ｓ上、Ｓ下，分棱台所成上、下两个小棱台的体积分别是Ｖ上、Ｖ下，分棱台的高从上到下两段之比是λ，那么有...