巧用因式定理解整除问题

因式定理的等价命题是: 如果了(x)是x的多项式,则 f(“)=0<=二(二一a)If(x). 特别地f(0)~0<=。xlf(二). 利用这个命题处理某些整除问题,思路明晰,步骤简捷. 例1求证4415一1是n的倍数. 证明:设多项式f(劝一(2二一1)’“一l, f(O)一O,令二一11, 川f(二)则 j’(11)二21‘。一1~441”一1. 1 1 If(11)~4415一1, 即4415一1为11的倍数. 例2求证1997,,,5 1995‘,9,是1996的倍数. 证明:设f(x)~(:· l)’,95 (x一1)‘9,,, f(0)~0,.‘.二{f(x). 令x~1996,则 f(t996)二1997,’95 1995,,97, 1 996】f(1996)~1997”,5 1995‘997 即1997‘,,5 1995‘,9,为…     

数学综合题练习

一、练习. 1.已知函数f(x)二扩一1(x)1)的图象为。,,曲线‘:与cl关于宜线y二z对称. (1)求曲线。:的函数解析式y~g(x). (2)设函狱y二盯习的定义域为M,若xl、xZ〔M,且二,并介,求证}娜二:)一g(为)!<】x,一x:1, (3)设A、B为曲线‘:上任愈不同两点,证明直线月刀与直线y二z必相文. 2.已知A、B是△ABC的两个内角,且tgA、tgB是方程扩 砒 。 1~。的两个实根,求m的取值范围. 3.已知a>b>c且a b ‘=O,证明方程a扩 2bx ‘~。的两个实根x,、二:满足不等式翻了了<.x:一x:l<2了万几 4.已知函数f(x)=,主=(x<一2) -一一一一‘’一‘J丫乒不‘一 (”求f(x…     

代数与初等函数自测试题(一)

函数\‘厂\厂\厂\厂\厂\乙厂\厂\厂\尹尸 一、填空。 1。表示函数关系的常见方法有—、_和_‘_三种 2.函数x一/仁“)的定义域就是淤函·小学教师数f(x)_的x的_。 3.如果f(一‘)二_,则函数f(二)为奇函数,奇函数的图象是关于_对称图形。 4.如果函数f(二)有反函数f一’(x),则f(‘)的定义域是f一‘〔‘)的_。 5.若函数f(‘)二2二一1,则f(0)《专业合格证书考试专页》·-—4 .y=Zx一1与y一}义}一号一}义一1} ()四、证明函数f(%)一生十%在开区间 义(0,1)内是减函数。 。,_劣一2五、求函数了一牙不万的:h定义域;二,兀f(x)〕二 6。若函数 f义十2,f(…     

对一类题目的讨论

先看几个命题及其证明:题1设二次函数y二axZ bx 。,且I了:二。,1,:.鉴1.证明:max{yl毛4,x任〔O,Zj.这是文〔l]中的一道征解题,原证如下:证:令t=二一1,则,=a:2 6x 。= a(t l)2 b(t l) 。=a 1 tZ 61t 。1二f(t),且If(t)‘二一,,。,lj(1.由于fa一bl e,=厂(一1),、亡t=t、U) L al Dl cl二j Ll)·:.当}xl蕊1时,有If(x)!鉴xZ ‘,(1)1·)守f(一1小(,一二2)f(。){、}夸]·{宁J·__2}土匹丝兰士D.丝丝址述夕.、1 1一荡}=一2十2宁、l一①②③所以al _巡上巨止交二卫2 f(0) _丈丝匕里匕卫XZ,=‘xl ‘一2=一(,劣,一告)2十音…     

函数f（x）=ax^m＋b／x^n的性质与应用

定理:函数f(x)=叮刀, b/尹(a>0,b>0推论2函数f(x)一二 立(。>0,b>o,二爪,·。N,二>。)在(0,’‘溉〕上是减函数,在)0)在(0,是增函数.仔」上是减函数,、仔,十oo)上’‘溉,十一,上是增函数·证明:设。<二,相似文献   

1993年亚太地区数学奥林匹克试题

1.如图,四边形ABCD各边相等,且匕ABC为600.直线l过D点,但与四边形A方CD。~max(1。.、,},}。.}证明:手成,+‘·,…,}‘。)}.不相交(D点除外).1与AB,BC的延长线分别交于E,F.M是CE与AF的交点.证明:CAZ一CM x CE.2.对于实数x(0簇x镇100),求函数f(二)一〔二〕+〔2二二+巨粤〕 O 十〔3x习+g4x〕所取的不同整数值的个数.3.设f(x)~公了十a二x”十…十a。,g(x)一‘。一:工”一’十‘.犷+··一向均是实系数的非零多项式,且对于某实数r有g(二)一(x+:)f(.T).如果a=max({a,},}a二{,…,}a。}) 4.求出使得方程 x,十(2+x)’十(2一x)’一0具有…     

用综合除法判断数的整除

我们先看代数里的一个例子:已知f(x)二x弓 。xZ 7x 上述做法,我们可简单地写成如下格式:9 78g(x) 解: 31=又一3,求f(工)*g(x)8s的余式。利用综合除法: 1 97弃7取余 3 15二1 5 15‘气...........……;:|引 3 36 1291 12 43.137 f(x)‘g(x),的余式是137. 在上例中,若令x二10,则有     

三项式x~m+x~n+1的因式分解

定理若整数仍、.不是3的倍数,而拼+介是3的倍数时,xZ十:十1是三项式‘仍+‘”十1的因式. 证明记f(x)=x“+:”十1.不妨设。=3k+l,佗=31十2(沦、l任z),。为1的一个三次虚根.那么 f(。)=。“,+‘+。,‘+,+1 =。+。2+1=0, f(。“)=。。沁+“+。。‘+4+1 二。2+。+1=0。因此,f(x)含有形如(z一。)(x一。’)二工艺十:十1的因式. 例.分解::7十2:‘十x十2. 解x7十2:”‘卜z十2二(x7十x“+1) +(xs+劣+1)=(x“+劣+1) (劣‘一劣‘十Zx,一劣“一劣+2)。三项式x~m+x~n+1的因式分解@王起凤$湖南道县一中~~…     

一个最小值问题的论证

对于函数f(x)=。1}x一月,} 。2}x一月:} .二 a。}x一风},其中。‘>o(i=1,2,…,n),且任R(￡=1,2,…,n),且月1(月2(…(凡,问:当x为何值时f(x)有最小值?本文将证明如下结论:设“, a2 ‘” 气=‘,若“1)奋则当二二几时f(x)取得最小值,若。1 。2 … a:一1<合,而。1     

巧算四则(高一、高二)

例1如果函数f(x)一 f(1)+f(2)+… x2 1+尹 ，则 ，/2\二，/1000\，，、 从而石i夕十‘”十J气丁示五少的值· +f(9)+ ，/1\.，/1\二。/1\ JI下干.1十JI一了}十’.‘十J几下丁}- \乙/\O/\沙/ 解因为f(x)- 4工 2+4x (96年全国高中联赛) ，则 (。2年全国高考) f(1一x)= 2 2+4x 解因为f(x)~ x2 1+护 。.，/1、l，_，_、 则，l—】一了一下一一万又x小刀U) 、X/1十x‘ 恰有 f(x)+f(士)一‘· 恰有 于是将 ff全丝、. J\1001/’ f(x)+f(1一x)一1. ，(命)与、(黑)，f(儡)与 …，，(器)与、(器)配对，得所求的 于是将f(2)与，(韵，jx3)与了(韵，…     

宁波市高中数学竞赛训练班试题与解答

1989。8 一、设Q是全体有理数集合,求适合下列两个条件的从Q到Q的所函数. (1)f(1)二1 (2)对口中所有的、和万有 沂(x夕)=Zf(刃)f(y)一厂(x 刀) 专 解:令万=1,由条件得 八x 1)一创劝=于① 在①中令二一1,2,…,n一1得 子(2)一沂(1)二告 f(3)一f(2)=专O。十,D土O。B,可得: AB=垂足分别为C、D,由图示荆陈||卜OC了(了,一1 ?,,‘)’~纵口(,’,一i一?’,‘)2侧1,_i?从 O, iCAO。 .己 厂(,z)一沂(,,一1)二专把上述:一1个等式相加得 沂(,,)二士(1 ,2),(,2任N)②同时,根据①,我们有 f(x 1)一f(x)=专 沂(x 2)一厂(x 1)=令一、/(下。一i ?·。、…     

互余函数及其性质

定义I:设五为实数集,Vx‘R,函数f(x)和g(x)均有定义.若满足: (1)f(x一y)=f(x)f(y)+g(,)g(y) (2),之>o,。o (3)f(之)二0则称八笼)与g(x)互余. 互余函数具有以下的性质: 1 09(0)二0 因为:f以一0)=f“)f(0)+g任)g(0),。0二只林)g(0),而g位)>0 所以g(0)二0 2 Of(0)二l 由(一)有:f(0一。)=,2(o)+育2(0) :,f(0)二广(0) 从而f(0)二1或f(0)二O 若了但)二O,则有: o二.f(孟一孟)=f,(义)+:’(孟) 注意到烈刀>0,知了,‘幻+:’(幻>。矛盾,故f(0)沪。 所以:f(0)二l 3 Of,(x)+:,(x)二lx。丑 在(l)中取x二y有:f(x一x)二了2(x)十矿(x);再…     

上期思考题解答

题11.设几是全休实数集合,对于函数 f(x)=x“+ax+b(a,b任R),定义集合 A={x}x=f(x),:任R}, B={x lx二f(f(:)),x任R}. (i)若a=一1,b=一2,求A口B,A{、P; (2)若A二飞一l,3},求B. (3)若A=咬a},求证A自B={a}. 解(1)由己知条件,函数 f(x)二x“一x一2.方程x=f(x)化为xZ一Zx一2=0.其解集为A,所以A=一丫3,1+了3同样,方程x=f(r(‘))为 x=(x“一x一2)2一(x“一x一2)一2化简,得(x“一x一2)“一x“二0.即(xZ一2)(xZ一Zx一2)=0.有‘xZ一2二Q或x竺一Zx一2=0.其解集为B.令xZ一2=0的解集为c,则B=AUC那么A UB=AUAUC二AL少C 二{1一了落因为B卫…     

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…     

抽象函数并不抽象(高一、高二、高三)

任取x>o,y>。且x祥y,则z才‘t、z了.‘、 1.讨论f(习的单调性 例1已知函数y一f(x)对于任意实数x,y都有f(xy)一f(x)·f(贝,且当x>1时,f(x)<1,又f(x)并0.试判断f(二)在(0, oo)上的单调性.九(x) 2几(y)一3几解设。1, X1f(x2).f(与<1. X1·f(1)及f(x)护0,f(1)一1,f(二)=f(1)二1,=(x 1)2 2(夕 1)2一3 2,一下丁戈x一y少‘夕U, O学)三沪川即九(X, 2九(:)>3、祥沪) 一一)、、声夕11,塑x1f(件历式=f又f(l)可推出且所以,,1、J又—)一 1f(二)即有f(xZ)f(二z)<1.而对于任意f(x)都有 f(x)一‘厂(石·丫万) 一f(石)·f(不石)一尹叮于),因为…     

分解因式一法

当m-十x十l。n不是3的倍数的正整数,m>n,且m与n之和是3的倍数时,则代数式xm+x”十]必有因式x“.二这是一个分解因式的方法,现证明如下。设f(劝二xm+xn+1,要证xZ十x+1是f(x)的一个因式,只需证明x,,2=一1土亿 2多1是方程f(劣)的根。由于卫主了互左一cos夸物l7n粤·“了“!,2,=(co,夸“sin争)+(co,兰二:i:in卫卫一、n+i 、33,cos竺性干1 sin 3旦塑些 3十COS4拄派3干isin些丝丝 3=2‘l,S鲤望竺卫王.cos~些竺二竺二』王 66油in生些竺竺生cos土业生少王+1令m+n二3k(左=1,2,3,…),由于m>n,m和n均不是3的倍数,所以m一n=3艇1,_~,,、~__‘~‘___/。…     

用函数性质解一类方程

定理设f(x)为单调奇函数,则方程f(ax+b)+f(x)一O与方程(a二十b)十x一O同解. 证明由f(一二)~一f(x),则方程厂(ax十b)+f(x)一。可化为f(ax+b)~f(一x)‘又f(二)为单调函数,f为一一映射,故f(ax+b)一f(一x)成立的充要条件是ax+b-一x.证毕. (编者按:只是在实数范围内同解.) 例1.解方程 (x+6)工,91+x‘,,‘+Zx+6=0.‘._’解f(x)一x,‘+x为递增奇函数.故有(x十6)+x一O,原方程有唯一实根x-一3. 例2.解方程 (Zx+1)(z+丫(Zx+1),+3 +sx(2+了石压不万)一0. 解令t一3x,则原方程变为(亏+‘)(“+ +,(z+丫砰不压):考虑函数f(t)=t(2+奇函数,原方程化为了砰…     

幂函数的巴兑逼近

设二与n是非负整数,对在x。的邻域内定义的函数,厂(x),若P二(x)一习a,x ,一0q,(x)二习b,x’钾0满足1 im 二一xop,(x)一f(x夕q。(x夕一一牙二丁一不落一U 气再一Xoj’(k二0,1,…,次+n(1)(2)则说P二(x)/ q.(x)二〔。/n〕(x)是f(x)在点x。的巴兑(pad。‘)逼近.巴兑逼近的所有元素构成一个东面和南面可以无限延伸的方阵,其第一行元素〔仇/o〕(x)就是f(x)在x。的戴劳(T四101)级数第二部分和,所以巴兑逼近是戴劳展开的自然拓广.不难证明,当f(x)的幂级数系数{C,}(对护<0令C,一。)对一切非负整数召,,都满足dot(C.+;一,) 幂函数。“.,‘,一:笋0,…     

数学创新试题练习

一、选择题二、填充题1.以下各组函数中,表示同一函数的是().爪xln(l一)、h(1一)②y=(sinx+x斗3)’与y=一co、+2x③f(x斗l)=x呱斗1与f(二)二与+l④f(x,=令与它的反函数瓜)A.①②B.③④C.①④D.②③ 4.若连续且不恒等于零的函数f(x)满足f‘(x)+f(劝=0,试写出一个符合题意的函数f(幻二 5.设f(x)=x2(2一),则f(%)的单调递增区间是_(1997年上海试题) 一C C一尸一 +6.设八二)二(二一a)(二一。)(二一。),求熹 J戈“2气刃万刃. 2·已知““一晋,晋,,且S‘·“+一”一其中一‘”,”则关于tano的值,以下四个答案中,可能正确的是(). A一3 B.3或1乃 …     

一道因式分解题的解法探讨

题目因式分解二， ，， z，一3x，‘·解法1:(利用轮换对称)令f(:，y，:)二x3 ，， :3一3x产.当:二一(， :)时，f(x，，，:)二[一(， z)〕， ，， z， 3(， :)yz二o，所以f(:，y，:)含有因式: y z，设x， ，， ·z，一3xyz二(x ， z)〔，·(x， ，2 z，) n(x， ，: zx)]，取: