对“最简二次根式”的一点浅见

目前全国各类数学书刊对“最简二次根式”的条件都规定:1.被开方数不含分母;2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式.     

如何比较二次根式的大小

比较根式的大小的方法很多,这里介绍6种方法,供同学们参考．1．求差当时时,x＜y．因此,我们可以利用差的关系来比较根式的大小．例1比较与的大小（a＞0,b＞0,且a≠b）．2．求商两个根式都为正,若商大于1,则分子大于分母;若商小于1,则分子小于分母．例2比较与的大小．3．比较被开方数把报号外的因式移入根号内,比较被开方数,从而判断根式的大小．例3比较下列各组数的大小：4．比较倒数两个根式不能直接比较大小,可比较其倒数,倒数大的原根式反而小．例4比较／T4．fo与Al～JIZ的大小．5．分母有理化当分母含有根式时,可先把…     

学习二次根式的基本思路

一、明确几个概念1 .二次根式 :一般地 ,式子 a (a≥ 0 )叫做二次根式。2 .最简二次根式 :(1 )被开方数的因数是整数 ,因式是整式 ;(2 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。3.同类二次根式 :几个二次根式化成最简二次根式以后 ,如果被开方数相同 ,这几个二次根式叫做同类二次根式。4.分母有理化 :把分母中的根号化去 ,叫分母有理化。依据是 :分式的基本性质。5.有理化因式 :两个含有二次根式的代数式相乘 ,如果它们的积不含有二次根式 ,这两个代数式互为有理化因式。其特点是 :(1 )成对出现 ;(2 )两式相加、相乘 ,其结果均为常数。二、…     

怎样掌握二次根式的化简方法

二次根式的化简是初中代数重要内容,但同学们在解题中往往易出错．二次根式化简应遵循的原则：1．被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式;2．．被开方数是带分数的要化成假分数;3．被开方数中不能含有分母;使用√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)化简时,被开方数如果不是乘积形式必须先化成积．     

巧记特殊角的三角函数值

初学三角函数,记忆特殊角三角函数值易错易混.若在理解掌握的基础上,经过变形,使其呈现某种规律,再配以口诀,则可浅显易记,触目成诵.准确、熟练地记忆特殊角三角函数值无疑会给计算、求角带来方便,提高钥匙的速度.     

二次根式计算或化简的方法与技巧

二次根式是初二代数的重要内容．在历年全国各地的中考试题中，都有有关二次根式的试题．因此，掌握二次根式的运算技巧是十分重要的．现举例说明，供同学们参考．一、分母有理化法例1计算；二、分子有理化法例2已知0＜x＜1，计算：三、因式分解法例3化简注分母含有三个以上二次根式时，采用分母有理化法较麻烦．此时，可将分母中的各根式化成最简二次根式，若能因式分解，并且能与分子相约，便用因式分解法．注分母含有三个以上二次根式时，可考虑将分母中的各个二次根式化成最简二次根式，再因式分解；若分子不能因式分解，再考虑将分子拆…     

从最简二次根式概念的一个误解说起

正1、问题提出:一次备课组活动时,听到有位老师谈到自己理解最简二次根式时说到:课本上面好象没有说清楚.最简二次根式其实就是三个特点:1、分母中不含有二次根式;2、被开方数中不含分母;3、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.他的话一下子让我想起,以前自己不也是这样理解的吗?最简二次根式概念是二次根式学习中比较重要的一个概念,它既是二次根式加减法运算的基础,也是二次根式运算结果的一种要求,为二次根式的运算指明了方向.由此看来,这个问题     

巧用分母(或分子)有理化解题

我们知道，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式工为有理化因式．化街一个式于时，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法，可以把分母中的报号化去（即分母有理化）；如果分子是二次根式，那么也可以把分子中的报号化去（即分子有理化）．在根式的运算中，有些题目需要把分母有理化，还有些题目，需要把分子有理化．巧用分母（或分子）有理化解题，往往能化繁为简、化难为易．例1已知，求的值．分析若将代入计算，其运算之繁杂可想而知的；但若将作变换后再代入，运算…     

三角函数式的化简与计算

大家知道,要过河必须有桥或船．桥和船就是过河的方法．学习数学很重要的方面是解题,解题除了掌握基础知识外还必须掌握解题方法．本文介绍三角函数式化简和计算的方法,供同学们参考．一、特殊角的三角函数值法有些三角函数式是由特殊角的三角函数构成的,这类题应写出特殊角的三角函数值再计算．不过应注意准确记忆各特殊角的三角函数值．例1计算：评注特殊角三角函数值在高中有广泛的应用必须认真记忆和掌握,为高中学习数学奠定基础．二、用公式法有些三角函数式不是特殊的三角函数构成的,这类题往往用公式来化简或计算．初中数学课…     

任意角的三角函数概念生成的不同尝试及思考

<正>本文介绍任意角三角函数概念教学的几种不同形式的教学设计并进行分析思考.一、由特殊到一般的教学设计1.创设情境(1)提问:求下列三角函数值sin 30°=,sin 45°=,sin 60°=.(2)提问:在初中我们是如何定义锐角的正弦函数的?(学生回答、教师补充)教师:为了研究方便,我们把锐角α放到直角坐标系中.     

巧用分母或分子有理化解题

我们知道，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．化简一个式子时，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化团式的方法，可以把分母中的根号比去（即分母有理化）；如果分子是二次根式，那么也可以把分子中的根号化去（即分子有理化）．在根式的运算平，有些题目需要把分母有理比，还有些题目，则需要把分子有理比．巧用”＞母或分子有理化解题，往往能化繁为简、此难为易．直接代入计算，其运算之繁杂是可想而知的；但若将有理化，作变换后再代入，运算就简便了。例…     

三角函数式的化简策略

三角函数式的化简是三角函数中的一个重点内容,化简的目标是:能求出值的应求出值、三角函数种类尽量少、项数尽量少、尽量让分母不含三角函数、尽可能不带根号、函数次数最低等.由于三角函数式的化简技巧灵活、方法多样,因此本文着重介绍一些常用的化简策略,供同学们学习时参考. 策略1 回到定义 例1 化简(sinθ+sin2θ)/(1+cosθ+cos2θ) 解:设P(x,y)是角θ的终边上一点,为运算方便,令OP=r=1,     

口诀记忆数学知识两例

1、利用口诀记三角函数值初中阶段学习的特殊角三角函数值如上表所示。因为1，所以按30°、45°、60°的正弦、余弦、工切、亲切的顺序，将其值归纳成口诀来记，既省时，又便于记忆：二分之根号一二三，二分之根号三二一；三分之根三整一根三；根三整一三分之根号三。2、利用口诀解一元一次不等式组两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有下面四种情况，如图（设a＜b）（1）的解集是x＞b；（2）的解集是x＜a；（3）的解集是a＜x＜b；（4）的解集是空集。这四种情况的不等式组的解集，可归纳成口诀来记忆：大大取较大，小小取较小；大干小…     

最简二次根式

学生请问老师,什么是最简二次根式？老师最简二次根式是指满足下列两个条件的二次报式：（1）被开方数的团数是整数,回式是整式;（2）被开方数中不含能开得尽方的国数或团式．如等都是最简二次根式,学生在的被开方数a3中不是含有能开得尽方的因式a2吗？为什么它是最简二次根式？老师被开方数指的是根号下的整个代数式,而不能把其中某一部分看成被开方数．因此,／？T－－一的被开方数应是a3＋2这个整体,而不能说a’是被开方数,这里a的指数虽然是3,但a’不是a’＋2的因式．只要你比较一下／厂方和J25－一的不同之处就明白了．学生为…     

从“角”入手的三角函数解题策略

<正>三角函数与角关系密切,求解三角函数问题从"角"入手十分重要.以下从三个方面举例说明.一、从角的范围入手三角函数值的符号由角的终边所在象限确定,三角函数值的符号必须根据角的范围来确定.例1已知3sinα-cosα=1,α∈(0,π),求sinα.分析∵α∈(0,π),∴sinα> 0.解由3sinα-cosα=1,得cosα=     

怎样识别同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.例如a~(1/a),-a~(1/a)是同类二次根式,2~(1/2)和5×50~(1/50)也能化成同类二次根式.它的最简形式是a×b~(1/b)(b≥0),其中b是不含分母,不含能开得尽方的因式(数).几个二次根式是同类二次根式,必须满足以下两个条件:(1)它们都是最简二次根式;(2)它们的被开方数相同,而与各根式根号外的因式(数)无关.     

锐角三角函数定义及其思维拓展

锐角三角函数是在直角三角形中定义的 ,其实质就是直角三角形的边、角关系。所以我们在学习时 ,应充分利用数与形的结合来理解记忆。1 借助于下图记忆三角函数定义。2 借助于如下两个特殊直角三角形及锐角三角形的定义来记忆特殊角的三角函数。将锐角三函数定义进行拓展可得 :一、锐角三角函数的增减性 (变化规律 )实验 :已知Rt△ABC ,通过旋转斜边AB(长度不变 )来改变∠A的大小 ,如图由图及三角函数定义易结论 :当角度在 0°～ 90°间变化时 ,正弦、正切值随角度的增大 (或减小 )而增大 (或减小 )。即 0° <α <β <90° sinα 相似文献   

巧用“1”的代换证明三角恒等式

在三角变换中,对于同角三角函数习惯于把sin2α cos2α化简为1,下面举例说明之.【例1】　求证1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α=32分析:①易见要解决本题,只需“装腔作势”地把左边化简,且化简的结果为32②注意到左边分子、分母的次数分别为6次、4 次, 故对于分子中的“1”可代换成(sin2α cos2α)3,对于分母中的“1”代换成(sin2α cos2α)2;这样可使分子、分母都化成齐次,有利于问题的解决.证明:左边=(cos2α sin2α)3 -sin6α-cos6α(cos2α sin2α)2 -sin4α-cos4α=3(sin4α·cos2α sin2α·cos4α)2sin2α·cos2α=3sin2α·cos2…     

15°角的三角函数值及运用

由于或～45。因而15。角也可以说是一个特殊角．可以构造下列图形求15“角的三角函数值（我们只求sin15”的值）．如图1，在Rt凸ABC中，上A一3O”。延长CA到H，使AH一AB，则上D一15”，设BC—t…AB＝AD＝Zt，AC。／t，CD＝HC＋AD＝（2十八）t．根据勾股定理BD一厅近万五图1是根据15”一2X3O”构造的直角三角形．还可以如图2进行构造．在Rt凸ABC中，zA—30“，AD是角平分线，利用角平分线的性质来求sin15。另外，15”一45”－30”或15”一60a－45”．因而又可以如图3、图4进行构造．如图3，在Rt凸ABC中，zA一ZB—45”，z…     

留足空间 放飞思维——“探究15°和75°角的三角函数值”的课堂实录

<正>"特殊角的三角函数值"是初中数学教学中的重要内容.2011版的《课程标准》中要求"会利用相似的直角三角形探索并认识锐角三角函数(sin A、cos A、tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值".在实际教学中,数学教师常常通过带领学生探究15°和75°角的三角函数值,达到对三角函数问题中的构造、转化以及计算的熟练运用.特殊角的三角函数值教学完毕,笔者问学生:"如何求15°和75°角的三角函数值?"提出这个问题后,