三角形等角共轭点一个性质的再推广

文[1 ]得到如下恒等式:命题1　设P、Q是△ABC的等角共轭点(即∠PAB =∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB=∠QCA) ,则有AP·AQAB·AC BP·BQBA·BC CP·CQCA·CB=1 .①文[2 ]将命题1推广为命题2　设P、Q为△ABC所在平面内任意两点,则AP·AQAB·AC BP·BQBA·BC CP·CQCA·CB≥1 ( =|P、Q为等角共轭点) .②本文将命题2推广到凸n边形,我们有命题3　设P、Q为凸n边形A1A2 …An(n≥3 )所在平面上任意两点,F为这凸n边形的面积,则∑ni=1PAi·QAisinAi≥2F .③注:由正弦定理知②等价于PA·QAsinA PB·QBsinB P…     

一个猜想的证明

文[1]由2005年湖南省高考数学试题(10)定义了多边形面积三角形化定比分点及相关概念并把其推广到三维空间中的棱锥、棱柱中,给出了如下有关体积棱锥化定比分点的定义及相关的一些定理和猜想.定义1设P是n边形A1A2…An(n≥3)内的任意一点,S表示该n边形的面积,λ1=S△PA2A3S,λ2=S     

一个组合几何命题的证明

1935年,著名数学家P.Erd(?)s和G.Szekeres证明了一个著名的命题: 对于任何正整数n≥3,存在一个数f(n),使得当且仅当m≥f(n)时,平面上任意一个无三点共线的m个点组成的集中有n个点围成一凸n边形。猜测 f(n)=2~(n-2) 1。 下面给出n=5时的一个证明。先证明     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

2005女子数学奥林匹克

第一天图11.如图1,点P在△ABC的外接圆上,直线CP、AB相交于点E,直线BP、AC相交于点F,边AC的垂直平分线交边AB于点J,边AB的垂直平分线交边AC于点K.求证:CBEF22=AAKJ··KJEF.(叶中豪供题)2.求方程组5x+1x=12y+1y=13z+1z,xy+yz+zx=1的所有实数解.(朱华伟供题)3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点、12条棱和6个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱?(苏淳供题)4.求出所有的正实数a,使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1,A2,…,An满足A1∪A2∪…∪An=Z,而且对于每个Ai中的任意两数b>c,都有b-c≥ai.(袁汉辉供题…     

一道数学奥林匹克问题的思考

命题 1 [1] 　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .若确保图形中出现以给定点为顶点的三角形 ,求证 :x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) .笔者认为 ,x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) 是充分不必要条件 ,并发现如下命题 .命题 2　平面上给定n(n≥3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是x≥ n2 n - n2 1 ,其中 ,[x]表示不超过x的最大整数 .证明 :设平面上给定的n个点分别为…     

塞瓦定理在n维空间的推广

本文将塞瓦定理推广到了n维空间,得到结论:A0A1…An为n维空间的单形,P为空间任一点(P不在A0,A1,…,An中的任意n个点所确定的超平面上,也不在过其中的任意n-1个顶点且与另外两个顶点所确定的直线平行的超平面上).那么各棱中点,过任意n-1个顶点与点P的超平面与对棱的交点,共2C2(n+1)个点,以及任意三顶点所确定的三角形所在平面与点P和其余顶点所确定的超平面的交点和三角形三个顶点连线的中点,总共(n(n+1)2/2个点在同一n维二次超曲面上.     

2003西部数学奥林匹克

(2 0 0 3- 0 9- 2 7—0 9- 2 8,乌鲁木齐)第一天1.将1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10 .求每一个面上四个数之和的最小值.2 .设2n个实数a1,a2 ,…,a2n满足条件∑2n -1i=1(ai 1-ai) 2 =1.求(an 1 an 2 … a2n) - (a1 a2 … an)的最大值.3.设n为给定的正整数.求最小的正整数un,满足:对每一个正整数d ,任意un 个连续的正奇数中能被d整除的数的个数不少于奇数1,3,5 ,…,2n - 1中能被d整除的数的个数.4 .证明:若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB、BC、CD、DA的距离之和为定值…     

一个三角不等式的推广

一、引言文[1]建立了如下结论：在任意当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时，（1）式取等号．本文将不等式（1）推广为定理在任意凸n边形A_1A_2…_A_n中当且仅当A_1A_2…A_n是等角n边形时（2）式取等号．二、几个引理引理1凸n边形至多有两个内角不超证明用反证法及n边形外角和定理．引理2当n≥3时，关于x的函数族：分别都是增函数．证明引理3证明：不妨设0＜α≤β≤/4，和差化积．引理4当n≥3时，成立不等式递增知（4）（5）成立；当n=3，4，5，6，7时．经验算知（4），（5）也成立．三、定理的证明据引理1及0＜A_1＜π（i＝1，2，…，n）…     

2007美国国家队选拔考试

1.已知圆Γ1与圆Γ2交于点P、Q,线段AC、BD分别是圆Γ1、Γ2的弦,满足AB与射线CD交于点P,AC与射线BD交于点X,Y、Z分别是圆Γ1、Γ2上的点,且满足PY∥BD,PZ∥AC.证明:Q、X、Y、Z四点共线. 2.设实数ai、bi(i=1,2,…,n,n∈N+) 满足 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn, 且有 ∑ik=1ak≤∑ik=1bk(i=1,2,…,n-1),① 及∑nk=1ak=∑nk=1bk.② 若对任意实数m,满足ai-aj =m的整数对(i,j)的个数与满足bk-bl＝m的整数对(k,l)的个数相等,证明:对任意的i=1,2,…,n,有ai＝bi.     

偶数条边的平行凸多边形的一个性质

定理对边平行、对角线交于一点的凸2n 边形,其交点平分任一条对角线.证明:如图,在2n 边形 A_1A_2…A_(2n)中,A_1A_2∥A_(n 1)A_(n 2),…,A_nA_(n 1)∥A_(2n)A_1.对角线 A_1A_(n 1),     

一种离散点集极值问题的几个结果

平面凸n边形A1A2…An中记μn={[∑1≤i≠j≤n d(Ai,Aj)]/[min 1≤i≠j≤n d(Ai,Aj)]}(d(Ai,Aj)表点Ai与点Aj之间距离)，证明了μn的最小值只有当各边长等于min 1≤i≠j≤n d(Ai,Aj)时才能取得，且μn的下确界为15 3√3，下确界取得仅当凸六边形退化为等边三角形。还证明了等边凸六边形当任一对角线长不小于边长时，μn的最大值为12 6√3。     

正多边形的一个有趣的性质

P为正n边形外接圆上任意一点,那么点P与正n边形各个顶点连线的线段的平方和为2nR~2(R为正n边形外接圆的半径) 为了证明这个性质,首先证明两个三角恒等式     

2004年IMO中国国家集训队选拔考试

1 .设∠XOY =90° ,P为∠XOY内的一点 ,且OP=1,∠XOP =30° ,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值 .2 .设u为任一给定的正整数 .证明 :方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解 (n ,a ,b) .3.设n1,n2 ,… ,nk 是k(k≥2 )个正整数 ,且1相似文献   

正n边形内接三角形的个数

定义　平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1　正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC …     

关于格点多边形的性质的讨论

平面直角坐标系中,纵坐标和横坐标都为整数的点称为格点,顶点都为格点的凸n边形称为平面格点凸n边形,1×1的格点正方形称为单位格点正方形.文[1]中提出了下列关于格点凸九边形的几个性质而没有给出证明:命题A(1)平面格点凸九边形的内部至少有11个格点;(2)平面格点凸九边形的内部及边界包含一个长为3,宽为2的格点长方形;(3)平面格点凸九边形的内部及边界最少包含10个两两不同的单位格点正方形.经研究后发现上述3个结论都不正确,事实上如下图,我们取格点A1(0,0),A2(3,1),A3(7,2),A4(12,3),A5(18,4),A6(16,3),A7(12,2),A8(7,1),A9(1,0).则…     

数学问题与解答——1996年第3期问题解答

391.设点A_i(i=1,2,…,n)是凸n边形的顶点。在这n边形内任意给定一点G,求证:可以给各顶点适当地配置质量M_i(i=1,2,…,n),使质点系M_i的重心恰是G。     

用数学归纳法推广余弦定理

余弦定理的推广命题如下: 设a_i(i=1,2,…,n)足凸n边形A_1A_2…A_n的n条边,按逆时针方向(或顺时针方向)定向(见图1),而θ_(ij)为边a_i正方向与边a_j的正方向之间的交角。     

一道极值问题的讨论

一、问题: 本文讨论下列问题: (Ⅰ):设P是凸n边形A_1A_2…A_n上(内部或边界上)任一点,x_i是P到A_iA_(i 1)的距离(i=1,2,…,n,A_(n 1)=A_1),求f(p)=x_1 x_2 … x_n的最大值和最小值,并问何时达到最大值和最小值? 二、特例: 先讨论n=3的特殊情形,此时问题(Ⅰ)转化为 (Ⅱ):在△A_1A_2A_3上找一点P,使它到三边距离和为最大、最小。     

对一类定值问题的探讨

设P为正n边形A_1A_2…A_n外接圆上任意一点,R为这正n边形外接圆半径,则P到各顶点距离平方和为定值2nR~2,即 sum from i=1 to n PA_i~2=2nR~2 (1) 本文试对这一有趣的定值问题作适当引伸,得到一些更一般的结论。定理1 设正n边形A_1A_2…A_n的中心为O,半径为R,P是以O为圆心以r为半径的圆