巧定取值范围(高一、高二、高三)

题已知f(劝一二“一。,且一4毛f(l)毛一1,一1镇f(2)毛5,求f(3)的取值范围. 分析本题的关键是用f(1),f(2)来表示f(3),通常有如下两种解法:解法1依题意,得f(l)=a一ef(2)一4a一。解得a-音、(2卜音z、1),一音f(2卜音f(,),所以f(3)一ga一c一争(2卜普f(1卜专f(2卜夸f(l,一号f(2卜号f“,,因为一4毛f(1)毛一1,一1毛f(2)毛5,所以冬‘一粤f(1)毛馨,一导簇导f(2)(华, j j j 0 OJ 一1镇f(3)毛20. 解法2设f(3)一mj(l) 、f(2),因为f(3)=ga一。, 阴了(1) nf(2)=m(a一e) n(4a一e)=(m 4n)a一(m n)c,所以m 4n=m n-因为f(l)一a一。.f(2)一4a一:,所以一4蕊a一c(…     

一道几何题的联想与推广

众所周知,在△ABC中,若乙B=乙c,则b=c,即b一‘=0. 在△ABC中,若乙B=2乙C,依据正弦定理,则有ae c’一乙’=o(a=域a今e). 联怒:在△ABC中,乙B=乙C,b一c=o,不妨记作:f:(a,石,e)=b一e=0。 当乙B=2匕C时, f,(a,西,c)=a·c c子一b’二0. 那么乙B=3乙C时, f3(a,b,c)=…=o?当乙B=n乙C时,f。(a,b,c)=…=o?(,〔N)-推广.在△ABC中,当乙B=一b年】二尸= ‘sinn乙Csin匕C.由棣莫弗定理、理及复数相等的条件,不难求出:n乙C时,二项式定 sin”乙C2,一ik一i=名(一i)资c七sin“乙e·cos“一“乙c(扎中,任N,k二:二__.(一1).十巴一1、一几,f—,. ‘根…     

1993年全国高中数学联合竞赛

第试 一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 1.若M~{(二,夕)1 Itg二夕l+sin:叙~o卜 N={(x,夕)!xZ+夕2簇2},则M门N的元素个数是(), (A)4(B)5(C)8(D)9 2.已知f(x)=asin二+石别丁+4(a,‘为实数)且f(19109310)=5,则f(191093)的值是()· (A)一5(B)一3 (C)3(D)随a,b取不同值而取不同值 3.集合A沼的并集八U刀={a:,a:,a:},当A笋B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对.则这样的(A,B)对的个数有(). (A)8(B)9(C)26(D)274.若直线x-手被曲线c:任 (x一aresina)(x一areeosa) +(夕一aresina)(少+areeosa)=o所截得的弦长为d,当a变化时d的最小值是( _、农叹…     

一道数学竞赛题的讲评

一九八三年全国省、市、自治区联合数孕竞赛中有这样一个选译题: 已知函数厂(x)二ax’一满足一4(八l)(一l,一1成f(2)镇5,那么八3)应满足(A)7(f(3)(26,(B)一4(f(3)(15;(C)一1提八3)(20;‘D,一警“(‘)簇警. 竞赛结束之后,不少学生及老师在争论亥题的几种解法,在此特作如下讲评,愿与同行们共同探讨. 一、题目的分析 这种类型的题目的凉意是:对于一切满足一4《f(l)《一:,一1(f(2)《5的a、r,了(3)的变动范围应是多少.但是由于题目用了“应满足”三个字,欢使能包含八3)变化范围的任何一个集合均可以作为问题的解.所以,考前临时改选择支(A)为7《…     

高中数学系列复习与辅导 第七部分 综合复习与考试

、综合范例(a,乙). 例1A一{xI劣=已知f(‘)=x’ ax b(a,西‘R)’‘稗(2)设x,“为长方形的·f(x),x〔R},B一{x!x=f〔f(x)〕,竺x,二11执卜}n}J }mJ扮为长方形的边长,则2(x 封)二8, }nl=x任R},(1)若a=1,b=2,求A UB,A门B,(2)若A二{一i,3},求B;(3)若A={a},求a和乙的值. 解,(1)当a=1,     

第34届IMO试题解答

1.解法一假设f(x)可分解为两个整系数多项式之积 f(x)=g(x)·h(x),(,)其中g(x)=x户+a,一:x,一‘+…+a,x+a。, h(x)~x.+b,一lxq一’+…+b:x+b0,且a,=l,bq=1,P,宁,a。,a;,…,a,一1,b。,b,,…,bq一:任2. 首先证明P和q均不小于2.若不然,不妨设P~1,有了(x)~(x+a。)h(x).由aob。~3,有a。~士l或士3,即f(x)有根士1或士3.但 f(1)=8, f(一1)=(一1)‘+5(一l)一’+3 ~(一1)一’·4+3转O, f(3)=3一+5·3‘一’+3笋0, f(一3)~(一3)’+5(一3)一’+3 ~(一3)一’·2十3笋0.所以,士1,士3不会是f(x)的根,即P,q均不小于2. 设2簇户镇q(n一2.由aob。一3,不妨设a…     

一道不等式题错解辩析

有这样一道题:已知:f(x)=ax~2-c,且4≤f(-1)≤-1,-1≤f(2)≤5,则f(3)的取值范围是﹎﹎﹎ 较多的学生解法如下: 解 由题设 由①得:1≤c-a≤4 ③ 由② ③:0≤a≤3(?)0≤9a≤27 ④ 由③得:4≤4c-4a≤16 ⑤ ② ⑤:1≤c≤7(?)-7≤-C≤-1 ⑥ ④ ⑥:-7≤9a-c≤26. 即得:-7≤f(3)≤26. 初看起来,上述解法似乎甚合理,其实这是一个错误的解法。     

求解函数问题的“特别注意”

求解函数值域或与函数单调区间有关问题时要特别注意函数的定义域例1已知f(习=3二一“(2蕊、簇4)，F(:卜旷‘(x)12+f-，(x’)则的值域为( A.[2，5」B.[1，+co)C.【2，10〕D一〔6，13」分析:要注意x，尸均应满足广‘伽)的定义域.解:由f(，)=3一2(2蕊x蕊4)，求得f，(:)二109犷+2(x。[l，91)，则F(x)=旷’(，)〕“+f-，(x，)=109孙+610脚+6二(l卿+3)’一3··:尸(*)的定义域为〔l，9]，F(劝的定义域应满足l岌%簇9，1蕊护续9.解得1城x蕊3 o蕊log3x簇l，…6簇F(x)宾13.选D.李;利用换元法时栗特别注意新元的取值范围例2设a>0，求f(劣卜2a( 51…     

1990年第5期问题解答

/_兀、--一一,一一,一 226·若‘〔又0,司,求证”v”簇”‘,“”+3c的,刀<4. 证:3.柳奋+3c的琦》2甲3a柳‘.3co~ =2甲了. 丫0相似文献   

自然数的一种迭代性质及猜想

设n任N,T是N到N的一个变换.令 T,(n)=T(,:),T,+1(,:)=7’(7’,(,:)),k~l,2,·…称T,为T的k次迭代.现在对自然数,:=a,…a,a。,定义 ,I’(n)~a盆+a二一、十…+a百+a石.(*)则有 定理对任何自然数r,N上的变换(,)在有限次迭代以后必进入循环.设r·gr是k位整数,取,,。~max(10圣,10『),并设 儿=a,…a .a。=a,.10加+一+a,.10+口。,其中甄半0.那么,当n>n。时,。)k,m)r.这时 7’(,:)一a几+…十a万+a么.由于函数f(x)~x(10’一x『一’)(0镇x镇9)递增(’·’f‘(x)~一。。=二x·,李10‘一r .gr妻0),故a.(10”一a万’))10’一l)10盖一1.于是,,一了’(…     

日本1986年高考千叶大学数学试题

l、设P、q、r、:为实数,矩阵月11·2、0_1 4P、。_fro、A=l二‘,、B==I性扩l、C=I‘甘》 、一11‘、q3‘、05’满足B=ACA一’。 (1)求P、g、r、:了4次或反面出现了4次时,便停止投掷。 (1)若投掷4次不能停止,求第5次投掷可停止的概率。 (2)求经5次投掷仍不能停止的概率.9、有函数f,(x) Inx(n 1)劣n(n=1,(2)”是正整数时,求矩阵B“2、有直线l:工一1 2=U l二￡ 1和两个平面a:二一, 2:一3=。。夕:a二十勺十cz一6二O,直线l在平面刀内,两平面所成的角为60。。求a、b、c的值。 3、求函数f(二)=eos“2二 4sinZ二eosx一28sin’“一325五n二的…     

文科数学(必修+选修Ⅰ)(Ⅱ)

第I卷(D)向左平移粤个单位长度 J一选择题1.设集合U=}1,2,3,4,5} 则通n(C。刀)= (A){2}(B){2,3}A二{l,2,3},B=!2,5}(C)}3}(D)}l,3}2.已知函数f(x)=19瓮,若f(a)={则f(一a)二10.已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别 为E、F、‘、H.设四面体E尸‘泞的表面积为:,则兽等于 ~一、一’一、一~一一”一-一’,一~一梦’一一’‘,S’礴, 1,_、4,_、1,_、1 (A)寸(B)寸(C)亩(D)亨11.从1,2,…,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3 个数的和为偶数的概率是‘A,合(B)一告(C)2(D)它们的夹角为 5兀A)一二二一 ,,_、4(b)~二一 ,(e)…     

一个基本不等式的巧证

若a、b、c任R ,则a“ 方3 c3)3a乙c。 证明:’.‘a、乙、‘任五 ,.’.a’十乙3妻2甲i户犷,。3十动c)2召蔽万不,一而甲王户驴 甲石))户)2。乙:,.’.a’ 乙’十。3 a乡:)4ab。.故原不等式成立.一个基本不等式的巧证@王德明$浙江肖山中学~~     

我国数学奥林匹克集训班选拔考试卷

(第一天1986年5月2日8:00一12:30)1。四边形ABCD内接于国,△BCD、△ACD、△刀BD、△ABC的内心依次记为IAIa,Ie,ID,证明:IAI刀Iel。是拒形.2。a:,a:,…,a。;b:,b:,…,久是实数,证明:使得讨任何满足x:(x:( 山白…簇x。的实教,不等式‘买“,xl《‘买”山都成立的充分必要条件是.妙‘气姿”“无=’,“,一”一”且弓a一习b二 3记A:、正明:翻.1。自然数A的十进制表示为口。口。一i…口。令f(A)=2’a。+2“一’a:+…+Za一,+a-使得=f(A),A‘,,=f(A‘)(i=1,2,…)(i》办有自然数k,使得A。,;=A‘(ii、若A二19,‘,问上述的A。等于多少,并…     

浅谈不等式a

张世镕 《数学教学通讯》1989,(2)

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

抛物线的一个性质

命题 在抛物线厂(_ )=驸!十加’ c’((z≠0)上有”个点A,(_,,,y?)(i=1,2,…,,2),设尼,,是连接A,、A,(i≠』,j,,∈;1,2,…,,”})所得直线的斜率,并设是,为点∑_, ∑丁,-(L},/’‘了t一))处切线的斜率·则有 ∑k,,=k C:成立. 证明:是_丛丛』型 ‘‘i ‘0 =“(.r, _’,) b. ∑是,,=∑[“(。, z,) ,’] l-i相似文献   

错题探究——一个函数值的范围问题

) 令鲤叠已知函数f(劝=扩+bx+。,满足一3书f(1)‘2,1岌f(2)岌8,试 确定f(3)的范围. 解答:丫 一3感f(l)蛋2,1鉴f(2)妾8, 一3感1+b+e鉴2 1某4+Zb+e疾8, 即{ 一4蕊b+e蕊l, 一3共Zb+c共4. 又一4城b+c冬l‘二合一1蕊一b一c鉴4幸今一2成一Zb一Zc续& e感l +e疾4 等价于{ 一1簇一b一c感4, 一3‘Zb+c落4. 加性得一4蛋b疾8. 广“‘’汉等价于干 O十c巴二4 一2成一Zb一Zc燕8, 一3鉴Zb+c续4. 可加性得 一5共一e成12,即一12妾e续5. =9+3b+e续38. 上面的解答是否正确?若不正确,请指出错误的原因,并给出正确的 解答. 分析:上面的解答不正确.因为f(3)取…     

数学奥林匹克高中训练题(46)

第一试 一、选择题(每小题6分,满分36分) 1.设集合 s=f(z,y)1 z一百1 y。为奇数,z,y E R}, T={(z,y)1 sin(2丁clz)一sin(7cy。)= COS(2丌z)一COS(Try。),‘z,∥E R}.则S与T的关系是( ). (A)S(==T (B)TCS (C)S=T (D)Sn T=黟 2.已知a∈(0,引^=(tan口)～心=(tan口)。‘。,t3:(cot d)‘“。,t4=(COt口)。‘“.则t。、t 2、t 3、t。的大小关系是( ). (A)t1相似文献   

2005年全国普通高等学校招生统一考试 上海卷数学试题

理科 一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数f(二)=l咱(x+l)的反函数f一’(x)+(一l)”nain,i=1,2,3…,n!.例如:用1,2,3可得数阵如图2,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以‘+bZ+…占6二一12+2X12一3X12=一24.那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,bl+b:十…bl2() 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题. 2.方程4‘+2一r一2=0的解是 3.直角坐标平面及〔卜中,若定点A(1,2)与动点P(二,妇满足茄·成一4,由点尸的轨迹方程是 4.在(二一a)‘“的展开式中,尸的系数是巧,则实数a…