从一个定理的多种证法谈起

证明是中学数学教学的一个重要组成部分。它的重要性,不仅表现在教学命题需要经过严格的推理论证,才能确认其真实性;更重要的还在于通过数学证明,有助于学生弄清概念与概念之间、命题与命题之间以及同一命题的条件与结论之间的本质联系,加深对数学基础知识的认识;有助于发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。从而使学生深刻理解定理、概念、公式的本质,自觉掌握数学的规律。从根本上提高分析问题和解决问题的能力。那     

(?)_内=0不是导体静电平衡的充分条件

在几年的教学中,看到有些《电磁学》参考书中,认为导体的静电平衡条件即其体内场强处处为零(E_内=0)不但是必要条件而且也是充分条件。笔者认为这只是必要条件,而不是充分条件。 所谓充分条件,就是如果已知导体的(E_内=0),则导体必处于静电平衡状态。有些《电磁学》中对此的证明,有两点值得商榷。第一,问题的已知条件是(E_内=0),需要证明的是导体处于静电平衡状态。在证明过程中显然不允许引用静电场边值的唯一性定理。因为这个定理是根据静电平衡这一前题得出的定理,而静电平衡在现在的问题中,并不是已知前提,而是未知的特征结果,所以在证明中就犯了一个倒果为因的逻辑上的错误。第二,唯一性定理要求每一个导体的电位值或每一个导体上的总电量为已知,而在我们的问题中仅仅知道(E_内=0),这只相当于已知每一个导体上的电位值处处一样,而并未给出确切的电位值,例如我们可以设想电位值是一个处处一样但却随时间而同时变化的值,这并不违背(E_内=0),但却不是静电平衡状态。所以即使允许引用唯一性定理,(E_内=0)也是不符合唯一性定理对边值的要求的。     

命题的证明与举反例 条件的削弱与加强

严格的数学证明,是高等数学的一个重要特点,也是数学专业学生必须具备的一种最重要的能力.对此教师应当高度重视,从始至终,一抓到底.在目前的中学数学教科书中,尽管也讲了条件命题的四种形式,必要条件和充分条件以及一些等价命题,看来很多学生并没有很好掌握,以致在数学征明中常犯各式各样的错误.下面仅就《高等代数》中数与一元多项式整除性方面的问题略举几例.     

应用题解答过程的实质及方法论意义刍议

在小学数学教学过程中,适时注重探讨应用题解题过程实质的意义,能够有利于教师在教学过程中对学生进行学习指导,其方法论意义在于指导学生贮存相似块、创设接收信息的态势、处理应用题信息元、学会把语言命题译成符号命题、学会把符号命题译成语言命题及形成良好的解题习惯.     

对称思想及解题

对称思想是一种重要的数学思想,利用对称关系解题也是常用的一种解题技巧。在教学过程中不时地对学生进行对称的训练,不仅可以提高解题的速度,增大正确率、更重要的是增强学生学习数学的兴趣,反映数学的内在美,提高学生数学素质,意义重大。对称思想存在于初等数学的各个领域,故教学时应引起足够重视,潜移默化,提高学生分析问题和解决问题的能力。例１,已知,求,的表达式。分析：以代换可得另一个关于与的关系式。解：把换成,于是已知条件：化成化成得故点评：此题利用与对称性,反应了与的对称性,使得解题思路开阔。例２,作出…     

谈如何灵活运用三角恒等变换提高学生的解题能力

数学教学的重点之一在于培养学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三角函数的化简、求值和证明 ,特别是较复杂的三角题 ,在解法上虽没有一定的程序 ,但是根据已知条件 ,对照求解的要求 ,仍可以找到解题的线索。为此 ,培养和训练学生灵活运用三角恒等变换是提高学生解三角题能力的有效途径。下面归纳出八种常用的解题方法。一、坐标代换法根据三角函数的定义 ,用角的终边上任意一点Ｐ的坐标 (ｘ ,ｙ)以及点Ｐ到原点的距离ｒ组成的比去代换各三角函数 ,可使三角函数式转化为含ｘ、ｙ、ｒ的代数式 ,再通过代数式的化简与变形得出欲证结…     

反例在初中数学教学中的作用

在数学中,要判断一个命题为真命题必须经过严格的证明,但要证明命题为假命题,举出一个反例是有效的逻辑手段。结合初中数学的内容,从概念教学、平面几何证明、推理三个方面列举了几个典型反例,论述了反例在初中数学教学中的作用,意在加强教师对反例的重视。     

谈谈在数学教学中如何使用教材

教材是按照教学大纲编写的,是教师传授知识的主要依据,是学生获得知识掌握技能的主要源泉之一,因此任何学科的教学都必须很好的使用教材,它对提高教学质量起着重要的作用。在数学教学中使用教材包含着两个方面的工作,一是教师在教学中如何恰当地运用教材,另一个是如何经常地指导学生阅读和钻研教材。它的主要作用表现在以下几个方面:1.可以使学生更好地消化教材,牢固地掌握基础知识。教师在课堂上讲过的一些法则、定义、定理及某些结论的叙述和概括,学生通过课后的认真阅读和仔细钻研教材。结合回忆教师的课堂讲解,一般能够加深理解,逐步学会用正确的     

运用逆向思维培养学生的解题能力

习惯于顺向思考问题,正面应用公式,而不习惯于逆向思考问题,反向运用公式,是学生在思考问题中的定势,但是,有些问题直接从正面考虑十分困难,这时若改变思维方向,从反面入手,作逆向探求,则往往化繁为简,化难为易,因此,教师如何能够坚持对学生作逆向思维训练,学生的解题能力则一定能够迅速提高。下面就初中数学教学如何加强学生的逆向思维训练,谈几点体会和做法：１、定义教学中的逆用作为定义的数学命题,其逆命题总是成立的,因此,在运用定义时．不仅运用原命题,还可应用它的逆命题。例如,运用方程根的定义的逆向思维解题…     

Euler定理和Wilson定理的预备定理的证明

Euler定理和 Wilson定理在数论中有着非常重要的作用,探讨它们的预备命题论证,使 Euler定理和 Wilson定理的证明更简洁、明了.     

试论高中数学概念教学

概念是数学知识的基础,是数学思想与方法的载体,学生只有牢固掌握概念的本质属性,才能增强其解决问题的灵活性。从讲清概念的来源,讲清概念的意义,突出概念的本质特征,掌握概念的内涵和外延,变换角度多方面说明概念五个方面就如何讲清高中数学中的概念进行论述。     

关于加强双基教学的一点体会

1 试用排列、组合公式推出、证明与自然数有关的命题用数学归纳法证明与自然数有关的命题,是一种很好的、很重要的方法.这种方法的科学性、严谨性是勿容置疑的.但是,华罗庚说过,数学归纳法并不难掌握,问题是这些与自然数有关的命题是从何而来.弄清这个问题,不仅对数列的求和有益,对推导一些数列的通项公式有益,而且对证明一些与自然数有关的命题也带来不少方便.今举例如下:     

数学语言与数学语言教学

《普通高中数学课程标准(实验)》倡导合作交流等学习方式,提高学生数学表达和交流的能力.本文落实新课改中提出的问题,对数学语言及其教学深入研究.通过对数学语言概念、基本形式和特征的分析,认为在数学语言教学中注意到下列几方面:(1)深刻揭示数学概念的涵义和本质;(2)根据学生心理特点,科学地安排数学语言教学;(3)注意数学语言的语义和句法的教学;(4)加强数学语言间切换的教学,能提高学生数学交流和表达能力.     

圆和圆位置关系基本定理的证明

圆和圆位置关系基本定理是平面几何的重要基础,为减轻学生负担,现行初中教材不作要求,教学参考中也未论及,仅要求教学中根据图形直观地给予解释。但作为教师理应掌握按定义进行严格的证明。本文的目的,就是为初中数学教师们提供点方便,给出严格的证明。定理:设⊙0_1的半径为R,⊙0_2的半径为r,两圆的圆心距为d,则:     

谈谈充分必要条件与命题的关系

充分条件、必要条件及充要条件都是重要的数学概念.它提示了命题的条件和结论的依从关系,由于这三个条件所涉及的抽象思维要求较高.而单纯按照定义讲授又很难使学生透彻理解各自的本质属性和内在联系.学生往往对条件的“充分而不必要”及“必要而不充分”难以判别,对“必要条件”不易接受,而充要条件在数学各分支学科中有着广泛的应用.因此.它既是教材中的重点,同时也是难点.本文试图从概念的外延开始引入,着重谈谈充分必要条件与命题的关系.这样做,符合从特殊到一般、从现象到本质、从具体到抽象的认识论的原则.我们知道,判断的语言形式称为命题,也就是说,命题是陈述事理的语言.它的结构通常分为两分部分:一部分是条件,另一部分是结论.从形式上看,可分为以下四种:原命题:若A则B     

关于Lagrange中值定理的证明方法

由于Rolle(罗尔)定理是Lagrange中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情况,利用Rolle(罗尔)通过倒退分析、几何直观、三角形面积、求解来证明Lagrange中值定理,使证明过程更简明易懂。     

灵活运用自制教具 加强直观教学

在小学数学教材中,慨念、法则比较多也比较抽象,而小学生的抽象思维还不完善,学习抽象的概念会感到困难,因此,教师应根据教材内容和学生掌握知识的实际情况,充分运用教具进行直观教学,引导学生正确地理解概念的意义和法则的来源。农村小学条件差,教具少,教师自己动手制作教具及灵活运用是解决教具不足的最好办法。同一个教具在不同的教材中有不同的作用,如一根米尺,它能扮演好多“角色”:教长度单位、进率和换算时,它清楚地告诉学生1米=10分米=100厘米,比较同分母分数大小时,可把它当做数轴,讲解植树问题时,尺身可比作河堤或公路,尺上的刻线可当做一棵棵树苗;教正比例时,可借助米尺的刻度向学生讲清一个数扩大几倍,另一个数也随着扩大相同倍数的正比例意义。     

浅谈课堂教学情境的创设

1 .在动手中培养学习兴趣好动是初中生的一大特点。教学中可因势利导 ,让学生在动手中探索、发现数学结论、获取数学知识。如学习三角形内角和定理 ,让学生用纸板先剪出三角形 ,再把三个角剪下 ,让学生在拼拼凑凑中发现结论 ,使之获得成功的喜悦 ,提高了学习的主动性 ,也为定理的证明打开了思路。2 .在游戏中引发学习兴趣在数学教学中有机地开展一些游戏活动是提高学习数学内部动机的有效方法。如学习乘法公式 (ａ ｂ) 2 =ａ2 2ａｂ ｂ2 ,师生可先做这样一个游戏 :让学生任意说出一个个位数字是 5的两位数 ,教师马上回答出这个数的平方等…     

数学解题中“附加条件”不可忽视

在数学学习中,我们发现很多的数学概念、公式、定理等都有一定附加条件,往往以括号的形式给出,这是定义、公式、定理的必要条件。但由于放在括号内,许多同学在掌握它们时往往没有引起足够的重视,以致于在解题中出现漏洞。本文就如何避免此类问题的发生,谈一下自己的想法。     

发挥教材特色,培养学生学习兴趣

初中数学教材是编者根据初中数学教学大纲的总体目标 ,数学学习规律和学生的认知心理特点精心编写的 ,它具有以下特色 :(一 )突出基本数学思想和数学方法 ,采取的措施有 :1 强化数形结合的思想 ;2 努力实现已知与未知的转化 ;3 加强基本数学方法的传授和运用训练 ;4 把基本数学思想、方法和知识技能融为一体 ;(二 )在加强双基的同时 ,注意培养能力。采取的措施有 :1 帮助学生学会分析问题的方法 ,学会从不同的角度思索问题。2 发展学生的数学能力 ,提高他们观察、比较、分析、综合、抽象和概括的水平 ,使他们初步学会运用归纳、演绎和类…